新课程背景下数学复习课的探索与实践
王锡昌
长期以来，由于沿袭传统教学方法和应付考试等原因，“数学复习”普遍呈现出了“知识回炉”、“重复练习”的灰色倾向，对此，教师无可奈何，学生兴味索然.新理念下的数学复习课堂出路何在?笔者在实际教学中进行了初步的探索与实践，认为数学复习课堂的构建应把握以下四大策略.
一、激活：在现实情境中重现“知识点”
就数学复习过程而言，“知识点”定然是至关核心的内容.那么，“知识点”该如何重现于学生眼前?在以往的教学中，教师往往或以“这节课我们要复习的知识是……”的导语直接和盘托出，或以“请同学们回忆一下我们学过的知识有哪些?”的问题抛给学生回答.结果是，“知识点”是重现了，但学生的复习兴趣得不到丝毫激发.笔者认为，“知识点”重现的环节不仅担负着拉开复习帷幕的任务，更应承载起激活复习欲望的职能.为此，教师应着力创设现实的生活情境，引导学生在解读情境，反思经验，放飞思维的人性化过程中自主重现“知识点”，从而实现数学复习活动“认知”与“情感”的和谐同步!
［案例1］《函数值域复习课》教学片断
师：江朗山旅游区为方便学生集体旅游，特制学生暑假旅游专用卡，每卡60元，使用规定：不记名，每卡每次一人，每天只限一次，可连续使用一周.我校高一年级现有学生1500名，准备趁暑假分若干批去此风景区旅游(来回只需一天)，除需购买若干旅游卡外，每次都乘坐5辆客车(每辆客车最大客容量为55人)，每辆客车每天费用500元，若使全体同学都到风景区旅游一次，按上述方案，问每位同学最少要交多少钱?若此事让你去办，各项费用不变，只改变买卡及车辆数目，是否还有更经济的办法?
(学生跃跃欲试)
生1：应建立一个函数关系式，再求函数的最值.
(安排几分钟时间让学生独立思考，部分学生出现解题障碍，有强烈求解欲望).
师：这个问题就用到了“构建函数及求函数值域的基本方法”，我们先来回顾一下求函数值域常用哪些方法.
生2：直接法、配方法、不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调性法、求导法、数形结合法.
(针对这些方法教师进行必要的补充与说明并与学生一起解答上面提出的问题，出示一些题目，引导学生用这些常用方法解决.)
教师为“求函数值域”知识点的重现设置了一个富有生活气息，关联生活经验的课堂情境.在欲求而不得的矛盾心理作用下，学生内心产生了较强复习掌握“函数值域”这个知识点的欲望，为复习的展开营造了一个积极的氛围，也为数学知识充实了鲜活具体的现实内涵，增强了数学知识的亲和程度.可以预见，有了这样的知识重现和兴趣激活，学生对后继复习活动的投入定能情趣盎然.
二、疏通：在主体探究中完善“知识链”
布鲁纳曾指出：“知识如果没有完满的结构把它连接在一起，那是一种多半会被遗忘的知识.”的确，学生在每节课里获得的知识是散装的，常用“见叶不见枝，见木不见林”的狭隘感，所以，为了使学生整体系统地把握知识，形成良好的认知结构，基于主体探究的“疏通”环节至关重要.也就是说，教师应实现由传统“讲解者”、“供给者”、“评判者”的权威角色向现代“组织者”、“指导者”、“协作者”的平等身份的转变.引导学生通过“议一议”、“辩一辩”、“理一理”等探究性复习方式尝试构建“知识链”，在教师的适度点拨下完善“认知网络”，并逐步学会整体建构的方法，形成整体建构的思想.
［案例2］《数列复习课》教学片断
问题：已知数列{a璶}的通项公式是a璶=anbn+1,其中a、b均为正常数，那么a璶与a﹏+1的大小关系是().
A.a璶>a﹏+1 B.a璶C.a璶=a﹏+1 D.与n的取值相关
(让学生思考，充分讨论)
生1：比较两个数的大小，可以作差比较：a﹏+1-a璶=a(n+1)b(n+1)+1-anbn+1
=(an+a)(bn+1)-an(bn+b+1)(bn+b+1)(bn+1)
=a(bn+b+1)(bn+1)>0，故选B.
生2：从题意可知a璶,a﹏+1均为正数，所以可用作商比较大小.
a﹏+1猘璶=a(n+1)(bn+1)［b(n+1)+1］an
=abn2+(a+ab)n+aabn2+(a+ab)n
=1+aabn2+(a+ab)n>1,故选B.
师：很好!这两个同学都熟练解决了这个问题，但过程显得有点繁琐，有没有更简单的方法呢?
(学生有的在思考，有的在讨论，几分钟后没发现有新解法，老师作适当提示：“同学们可以从数列是特殊函数这个角度去思考”)
生3：(有点兴奋，激动)我认为可以将a璶看成f(x)=axbx+1，然后根据函数的单调性进行判断，因为f′(x)=a(bx+1)-abx(bx+1)2=a(bx+1)2>0恒成立，即a璶=anbn+1关于n是递增的，∴a﹏+1>a璶,故选B.
案例中，通过一题多解的探究，学生们更加深入理解数列与其他知识模块的联系，构建形成了“数列、函数知识链”，使各个模块知识得到有效“疏通”.
三、澄清：在交流、讨论中明晰“知识点”
从学生主体的视角分析，数学复习活动应当是一个生动活泼的、富有个性的过程.既然如此，教师应秉持开放包容的积极心态，走出以自我为中心，对学生满堂输灌的单一模式，给学生主体暴露思维轨迹、表达认知疑难、倾诉学生困惑提供充分的时空余地.引导学生在观点碰撞、意见争论、交流解惑的过程中，实现对数学知识来龙去脉的清晰把握和深层感悟.
［案例3］《函数的单调性复习课》教学片断
例：求函数y=玸in(2x+π3)的单调递增区间.
生1：把2x+π3看作一个整体，由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2，得函数的单调递增区间是［kπ-512π,kπ+π12］.
师：很好，请大家再分析一下y=玸in(-2x-π3)的单调递增区间如何求解.
生2：(脱口而出)不是一样的吗?由2kπ-π2≤-2x-π3≤2kπ+π2即可求得.
师：可以这样求解吗?
(学生或紧锁眉头、独立思考，或窃窃私语、相互商量，少数学生听了老师的问话觉得可能有问题，生3提出转化成y=-玸in(2x+π3)来求解).
师：请生2、生3到黑板上写出解答过程.
生2解答如下：由2kπ-π2≤-2x-π3≤2kπ+π2得-kπ-512π≤x≤-kπ+π12，
∵k∈Z，∴kπ-512π≤x≤kπ+π12.
生3解答如下：y=玸in(-2x-π3)
=-玸in(2x+π3),∵y=玸in玿与y=-玸in玿的图象关于x轴对称，∴2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，即kπ+π12≤x≤kπ+7π12.
师：哪个答案正确?为什么?(适当提示：“注意复合函数单调性”)
生4：生3解答正确，生2没有考虑此函数为复合函数，应根据“同性得增，异性得减”来求解.即解不等式2kπ+π2≤-2x-π3≤2kπ+32π，可得kπ+π12≤x≤kπ+7π12.
生1：有道理!我明白了.
(到此，与生2一样的错误得到了纠正，知识的来龙去脉因而显得更加清晰.)
应该说，生2的这一负迁移造成的错误对初学者具有普遍性，深入分析错因很有必要.对此，教师开放复习流程，让学生暴露思维过程，支持学生展示充分的思辨说理，澄清了错误，在这里，“问题”不再是阻碍个体学习的消极因素，而是促进复习深入的重要资源.
四、提升：在问题解决中感悟“知识值”
经过激活、梳理、质疑等渐进自主的复习过程，学生的知识得到了巩固，数学理解得到了强化，认知结构得到了完善.于是，教师往往会安排一定篇幅的课堂练习.需要指出的是，由于复习课是建立在以往新授课、练习课的基础上教学的，所以，复习过程 的练习设计应尽量减少单纯模仿，重复操作的机械式内容，而适度引入问题解决，综合应用的拓展性内容.这样一来，学生在应用数学知识、解决实际问题的挑战性过程中，知识的统筹整合能力会逐步增强，数学的实际应用意识会逐步浓厚，“数学知识”的价值也会在应用实践中得以亲身感悟.如在《三角函数复习课》中我给学生配置了如下问题：“在足球比赛中，甲方边锋从乙方所守的球门附近带球过人沿直线向前推进，试问边锋射门的最佳位置在何处?”(最佳位置是指命中的最大射角θ).
此问题能激发学生的兴趣并具有智力挑战，要通过建模、应用三角函数、求最值等知识才能解决.此类问题能促使学生发自内心需要地调用认知结构中的相关知识，使这些知识、技能得到应用 和巩固，同时也能培养学生的创造力、综合应用知识的能力.
综上所述，数学复习课应依循“激活、疏通、澄清、提升”的实践策略，引导学生在现实情境中重现“知识点”，在主体探究中完善“知识链”，在质疑纠错中明晰“知识点”，在问题解决中感悟“知识值”，真正走出数学复习课堂的尴尬境地，向我们的理想课堂更进一步.
参考文献
［1］叶立军著.《数学新课程理念与实施》.浙江大学出版社.
［2］康健.《综合实践活动案例专家点评》.辽海出版社.
［3］沈翔、赵小平.《高中数学应用问题》.华东师范大学出版社.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
长期以来，由于沿袭传统教学方法和应付考试等原因，“数学复习”普遍呈现出了“知识回炉”、“重复练习”的灰色倾向，对此，教师无可奈何，学生兴味索然.新理念下的数学复习课堂出路何在?笔者在实际教学中进行了初步的探索与实践，认为数学复习课堂的构建应把握以下四大策略.
一、激活：在现实情境中重现“知识点”
就数学复习过程而言，“知识点”定然是至关核心的内容.那么，“知识点”该如何重现于学生眼前?在以往的教学中，教师往往或以“这节课我们要复习的知识是……”的导语直接和盘托出，或以“请同学们回忆一下我们学过的知识有哪些?”的问题抛给学生回答.结果是，“知识点”是重现了，但学生的复习兴趣得不到丝毫激发.笔者认为，“知识点”重现的环节不仅担负着拉开复习帷幕的任务，更应承载起激活复习欲望的职能.为此，教师应着力创设现实的生活情境，引导学生在解读情境，反思经验，放飞思维的人性化过程中自主重现“知识点”，从而实现数学复习活动“认知”与“情感”的和谐同步!
［案例1］《函数值域复习课》教学片断
师：江朗山旅游区为方便学生集体旅游，特制学生暑假旅游专用卡，每卡60元，使用规定：不记名，每卡每次一人，每天只限一次，可连续使用一周.我校高一年级现有学生1500名，准备趁暑假分若干批去此风景区旅游(来回只需一天)，除需购买若干旅游卡外，每次都乘坐5辆客车(每辆客车最大客容量为55人)，每辆客车每天费用500元，若使全体同学都到风景区旅游一次，按上述方案，问每位同学最少要交多少钱?若此事让你去办，各项费用不变，只改变买卡及车辆数目，是否还有更经济的办法?
(学生跃跃欲试)
生1：应建立一个函数关系式，再求函数的最值.
(安排几分钟时间让学生独立思考，部分学生出现解题障碍，有强烈求解欲望).
师：这个问题就用到了“构建函数及求函数值域的基本方法”，我们先来回顾一下求函数值域常用哪些方法.
生2：直接法、配方法、不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调性法、求导法、数形结合法.
(针对这些方法教师进行必要的补充与说明并与学生一起解答上面提出的问题，出示一些题目，引导学生用这些常用方法解决.)
教师为“求函数值域”知识点的重现设置了一个富有生活气息，关联生活经验的课堂情境.在欲求而不得的矛盾心理作用下，学生内心产生了较强复习掌握“函数值域”这个知识点的欲望，为复习的展开营造了一个积极的氛围，也为数学知识充实了鲜活具体的现实内涵，增强了数学知识的亲和程度.可以预见，有了这样的知识重现和兴趣激活，学生对后继复习活动的投入定能情趣盎然.
二、疏通：在主体探究中完善“知识链”
布鲁纳曾指出：“知识如果没有完满的结构把它连接在一起，那是一种多半会被遗忘的知识.”的确，学生在每节课里获得的知识是散装的，常用“见叶不见枝，见木不见林”的狭隘感，所以，为了使学生整体系统地把握知识，形成良好的认知结构，基于主体探究的“疏通”环节至关重要.也就是说，教师应实现由传统“讲解者”、“供给者”、“评判者”的权威角色向现代“组织者”、“指导者”、“协作者”的平等身份的转变.引导学生通过“议一议”、“辩一辩”、“理一理”等探究性复习方式尝试构建“知识链”，在教师的适度点拨下完善“认知网络”，并逐步学会整体建构的方法，形成整体建构的思想.
［案例2］《数列复习课》教学片断
问题：已知数列{a璶}的通项公式是a璶=anbn+1,其中a、b均为正常数，那么a璶与a﹏+1的大小关系是().
A.a璶>a﹏+1 B.a璶C.a璶=a﹏+1 D.与n的取值相关
(让学生思考，充分讨论)
生1：比较两个数的大小，可以作差比较：a﹏+1-a璶=a(n+1)b(n+1)+1-anbn+1
=(an+a)(bn+1)-an(bn+b+1)(bn+b+1)(bn+1)
=a(bn+b+1)(bn+1)>0，故选B.
生2：从题意可知a璶,a﹏+1均为正数，所以可用作商比较大小.
a﹏+1猘璶=a(n+1)(bn+1)［b(n+1)+1］an
=abn2+(a+ab)n+aabn2+(a+ab)n
=1+aabn2+(a+ab)n>1,故选B.
师：很好!这两个同学都熟练解决了这个问题，但过程显得有点繁琐，有没有更简单的方法呢?
(学生有的在思考，有的在讨论，几分钟后没发现有新解法，老师作适当提示：“同学们可以从数列是特殊函数这个角度去思考”)
生3：(有点兴奋，激动)我认为可以将a璶看成f(x)=axbx+1，然后根据函数的单调性进行判断，因为f′(x)=a(bx+1)-abx(bx+1)2=a(bx+1)2>0恒成立，即a璶=anbn+1关于n是递增的，∴a﹏+1>a璶,故选B.
案例中，通过一题多解的探究，学生们更加深入理解数列与其他知识模块的联系，构建形成了“数列、函数知识链”，使各个模块知识得到有效“疏通”.
三、澄清：在交流、讨论中明晰“知识点”
从学生主体的视角分析，数学复习活动应当是一个生动活泼的、富有个性的过程.既然如此，教师应秉持开放包容的积极心态，走出以自我为中心，对学生满堂输灌的单一模式，给学生主体暴露思维轨迹、表达认知疑难、倾诉学生困惑提供充分的时空余地.引导学生在观点碰撞、意见争论、交流解惑的过程中，实现对数学知识来龙去脉的清晰把握和深层感悟.
［案例3］《函数的单调性复习课》教学片断
例：求函数y=玸in(2x+π3)的单调递增区间.
生1：把2x+π3看作一个整体，由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2，得函数的单调递增区间是［kπ-512π,kπ+π12］.
师：很好，请大家再分析一下y=玸in(-2x-π3)的单调递增区间如何求解.
生2：(脱口而出)不是一样的吗?由2kπ-π2≤-2x-π3≤2kπ+π2即可求得.
师：可以这样求解吗?
(学生或紧锁眉头、独立思考，或窃窃私语、相互商量，少数学生听了老师的问话觉得可能有问题，生3提出转化成y=-玸in(2x+π3)来求解).
师：请生2、生3到黑板上写出解答过程.
生2解答如下：由2kπ-π2≤-2x-π3≤2kπ+π2得-kπ-512π≤x≤-kπ+π12，
∵k∈Z，∴kπ-512π≤x≤kπ+π12.
生3解答如下：y=玸in(-2x-π3)
=-玸in(2x+π3),∵y=玸in玿与y=-玸in玿的图象关于x轴对称，∴2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，即kπ+π12≤x≤kπ+7π12.
师：哪个答案正确?为什么?(适当提示：“注意复合函数单调性”)
生4：生3解答正确，生2没有考虑此函数为复合函数，应根据“同性得增，异性得减”来求解.即解不等式2kπ+π2≤-2x-π3≤2kπ+32π，可得kπ+π12≤x≤kπ+7π12.
生1：有道理!我明白了.
(到此，与生2一样的错误得到了纠正，知识的来龙去脉因而显得更加清晰.)
应该说，生2的这一负迁移造成的错误对初学者具有普遍性，深入分析错因很有必要.对此，教师开放复习流程，让学生暴露思维过程，支持学生展示充分的思辨说理，澄清了错误，在这里，“问题”不再是阻碍个体学习的消极因素，而是促进复习深入的重要资源.
四、提升：在问题解决中感悟“知识值”
经过激活、梳理、质疑等渐进自主的复习过程，学生的知识得到了巩固，数学理解得到了强化，认知结构得到了完善.于是，教师往往会安排一定篇幅的课堂练习.需要指出的是，由于复习课是建立在以往新授课、练习课的基础上教学的，所以，复习过程 的练习设计应尽量减少单纯模仿，重复操作的机械式内容，而适度引入问题解决，综合应用的拓展性内容.这样一来，学生在应用数学知识、解决实际问题的挑战性过程中，知识的统筹整合能力会逐步增强，数学的实际应用意识会逐步浓厚，“数学知识”的价值也会在应用实践中得以亲身感悟.如在《三角函数复习课》中我给学生配置了如下问题：“在足球比赛中，甲方边锋从乙方所守的球门附近带球过人沿直线向前推进，试问边锋射门的最佳位置在何处?”(最佳位置是指命中的最大射角θ).
此问题能激发学生的兴趣并具有智力挑战，要通过建模、应用三角函数、求最值等知识才能解决.此类问题能促使学生发自内心需要地调用认知结构中的相关知识，使这些知识、技能得到应用 和巩固，同时也能培养学生的创造力、综合应用知识的能力.
综上所述，数学复习课应依循“激活、疏通、澄清、提升”的实践策略，引导学生在现实情境中重现“知识点”，在主体探究中完善“知识链”，在质疑纠错中明晰“知识点”，在问题解决中感悟“知识值”，真正走出数学复习课堂的尴尬境地，向我们的理想课堂更进一步.
参考文献
［1］叶立军著.《数学新课程理念与实施》.浙江大学出版社.
［2］康健.《综合实践活动案例专家点评》.辽海出版社.
［3］沈翔、赵小平.《高中数学应用问题》.华东师范大学出版社.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
