模型解读，视角拓展，实例探讨

    袁媛

    

    

    

    [摘 ?要] 数学模型可用于命制综合问题，对基本模型加以拓展研究可以构建类型问题的求解思路，提升解题效率. “等腰直角—内嵌直角”模型是常见的几何模型，从不同的视角拓展该模型，可以形成不同的问题类型，文章对该模型加以解读，结合实例拓展探究，提出相应的教学建议.

    [关键词] 等腰直角三角形;模型;拓展

    等腰直角三角形是一种十分特殊的三角形，不仅含有等腰三角形的性质，同时具有直角三角形的特性. 单从图形本身来看，其图形结构较为简单，但若在此基础上适度添加线段，则可以构建新的几何模型，其模型所具有的性质、结论有一定的研究价值，同时以其为基础构建的考题具有极强的拓展性，下面对其中的一种等腰直角模型加以解读探讨.

    等腰直角三角形模型

    等腰直角三角形中含有两条等长的直角边，同时两个底角均为45°，兼具等腰和直角双重特性. 分析考题命制思路，存在如下一种以等腰直角三角形为基础的复合图形——“等腰直角—内嵌直角”模型.

    如图1所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点O是底边BC上的一点，过点O作MO⊥NO，与AB交于点M，与AC交于点N.

    则上述所构图形就是“等腰直角—内嵌直角”模型，在该模型中△ABC为等腰直角三角形，而△MON为其内嵌直角三角形，同时将图形分为多个直角三角形. 提取复合图形的性质特征，可以得到如下信息：

    包含五个三角形：△ABC，△MON，△AMN，△MBO，△NOC;

    直角三角形：△ABC，△AMN和△MON;

    等长线段：AB=AC;

    特殊互补角：∠AMN+∠NMO+∠BMO=180°，∠MOB+∠MON+∠NOC=180°，∠ANM+∠MNO+∠ONC=180°.

    上述是从该复合模型中提取的基本信息，实际上该模型具有一定的拓展性，适度添加条件则可以获得一些特殊的结论. 例如使MN与底边平行，则可以获得多组相似三角形，再若令点M和N分别为所在线段上的中点，则可以进一步获得对应的相似比，以及线段关系. 因此十分有必要对该模型进行解读探究.

    基于模型多视角拓展

    “等腰直角—内嵌直角”作为一种特殊的复合模型，极具拓展性，以其为基础可以衍生出多种类型问题，也是中考常见的问题类型，下面举例探究.

    拓展视角一——几何角度关系

    分析角度关系是中学几何常见的问题类型，针对该模型同样可以从内角关联入手进行问题拓展，除了可以直接设定等角关系外，还可以从其中的点入手，将其设定为中点，则综合等腰直角三角形的特性可以获得多组等角关系.

    例1 ?如图2所示△ABC为等腰直角三角形，其中∠A=90°，AB=AC，AD为底边BC上的高，以点D为端点任意作两条垂直的射线，与△ABC的两条腰分别相交于点E和F，连接EF，与AD的交点设为点G，试分析∠AED与∠AGF的大小关系.

    解析 ?本题目以模型为基础进行问题拓展，其添加条件为“AD为底边BC上的高”，由等腰三角形的“三线合一”性质可知，AD既是底边上的高，也是顶角∠BAC的角平分线、底边BC的中线. 分析两角关系需要结合该特性，初步判断两角相等，论证有两个角度：一是依托三角形性质进行等角转化，二是借助全等或相似三角形的性质来直接提取.

    由DE⊥DF，AD⊥BC可证∠ADE=∠CDF. 在△AED与△CFD中，有∠ADE=∠CDF，AD=CD，∠EAD=∠C，可证△AED？艿△CFD，则DE=DF，可推知∠FED=45°. ∠AED=∠AEF+∠FED=45°+∠AEF，∠AGF=∠BAD+∠AEF=45°+∠AEF，所以∠AED=∠AGF.

    拓展视角二——线段最值探索

    线段最值也是中学几何需要关注的重点问题，基于该模型同样可以拓展出线段最值，模型中的内嵌直角三角形没有具体设定两个非直角顶点的位置，因此两顶点之间的距离是可变的，此时就可以基于问题条件来探索其线段最值.

    例2 ?如图3所示，△ABC中∠A=90°，AB=AC=2，点D是BC的中点，现以点D为端点引入两条射线，分别与AB、AC相交于点E和F，若∠EDF=90°，试求线段EF的最小值.

    解析 ?分析模型中线段EF的最小值，连接AD，则AD为顶角∠A的角平分线，分别过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，如图3所示. 由角平分线到角两边的距离相等可得DG=DH，结合∠EDG=∠FDH可证△EDG≌△FDH，从而有DE=DF，则△DEF为等腰直角三角形.

    进一步分析可知DG和DH均为△ABC的中位线，有DG=DH=1. 其中EF= ED，显然EF的长度直接由ED的长度决定，根据垂线段最短原理可知，当DE与DG相重合时DE的长度最小，则EF取得最小值，此时EF= ED= ，即线段EF的最小值为 .

    拓展视角三——求多边形面積

    分析上述复合模型，可知图中含有两类几何图形：三角形和四边形，且利用不同的三角形可以组合出不同特征的四边形. 结合中考试题常考的面积割补法可知根据该模型可以拓展出不规则四边形的面积问题.

    例3 ?如图4所示，△ABC为等腰直角三角形，其中∠A=90°，AB=AC，已知点D是底边BC上的中点，作DE⊥DF，与AB和AC分别相交于点E和F，若BC=4，试求四边形AEDF的面积.

    解析 ?本题目以该模型为基础求解不规则四边形的面积，最为有效的方法是采用面积割补的方法，将其转化为规则三角形的组合，进而利用三角形的面积公式来间接求解.

    连接AD，如图4所示，则S =S +S ，点D为BC的中点，则AD就是∠BAC的角平分线，根据条件可知△ADE？艿△CDF，则S =S ，故S =S +S =S ，即四边形的面积与等腰直角三角形ADC的面积相等，则S = S = ×AD×CD=2，即四边形AEDF的面积为2.

    上述是关于“等腰直角—内嵌直角”模型的三种拓展视角的探究，形成了角关系分析、最值分析、面积求解、形状判断四类问题. 从其思路构建的过程来看，三角形的性质定理、判定定理、“三线合一”定理是核心知识，等角转化、模型构建是常用的解题策略. 问题求解应从模型的基本特征出发，提取全等图形，利用全等性质来转化、简化问题.

    关于模型问题的建议

    本文所探讨的模型是初中几何重要的问题模型，基于模型形成的问题也是中学阶段需要学生重点掌握的类型题，下面基于模型问题提出几点教学建议.

    1. 重视几何模型研究

    上述基于几何模型进行了三大问题拓展，形成了较为系统的解题思路，对于后续复合问题的求解有着一定的帮助. 实则很多中考试题就是基于教材中的几何模型而构建的，若能合理地对原始模型加以拓展探究，则可以使学生充分把握类型问题的本质，掌握问题突破的方法和技巧，同时对模型的迁移思路和变式方法也有助于提升学生的思维. 因此在实际教学中需要教师重视研究教材的几何模型，挖掘原始模型的教学价值，实现教材知识与考题的链接，提升学生解题的灵活性.

    2. 加强数学建模教学

    复合模型是多个基本图形的综合，故模型具有基本图形的性质特征，因此研究几何模型应立足基础图形，关注图形的基本性质和研究方法. 以上述复合模型为例，其中涉及常见的等腰三角形和直角三角形，其性质定理和判定方法是复合模型问题求解的基础. 因此教师应加强数学建模教学，以基本图形为依托，引导学生掌握探究图形的方法，逐步提升学生的模型思维，积累数学建模经验.

    3. 强化几何推理教学

    模型问题的求解过程就是几何推理过程，在该过程中需要学生调用几何知识和分析方法来转化问题，构建思路，学生的推理能力将直接决定解题效率. 因此，在幾何教学中需要教师引导学生分析条件与结论之间的关联，使学生掌握几何探究的方法，提升学生的推理能力. 具体教学时可以采用变式拓展的方法，通过对问题的结构重组和条件变化来引导学生做出猜想，推理论证，激发学生的探索兴趣，提升学生思维的逻辑性和严密性.