数学核心素养下函数概念的教学设计
卜凡敏 黄晓学
我国《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出：“在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，”[1]函数是现代数学最基本的概念，在解决实际问题中发挥重要作用，函数也是贯穿高中数学课程的主线，本文通过对函数概念的教学设计，来阐述如何将数学核心素养真正落实到基础教育的主阵地——课堂教学.
1 教学过程设计
1.1 创设情境，提出问题
情境播放嫦娥一号月球探测卫星成功发射的视频（图略）.
教师：卫星在发射的过程中，我们关注的是卫星与地面的距离随时间的变化，其实早在十六世纪，物体运动的研究已成为自然科学的中心问题，数学家、科学家、思想家都强调用数学的方法和思想来研究事物或现象的变化规律，今天我们就来探讨如何用数学的眼光描述运动变化量之间的依赖关系. 设计意图正如弗赖登塔尔所说：数学化应从“原始的现实开始”，而非接近数学的现实，通过实际情境引发学生思考，激发探究的欲望，概括出蕴涵于问题中变量之间的依赖关系，从而初步抽象出所要研究的数学对象即函数概念.
1.2 唤醒经验，产生认知冲突
问题1 请同学们回忆初中函数概念是如何定义的？初中我们学过哪些函数？
设计意图建构主义理论认为，学习是学习者基于原有的知识经验生成意义、建构理解的过程，通过回顾初中函数概念的学习，激活学生原有知识，使“熟悉”的函数成为新知识的“生长点”，推动学生思维的参与.
问题2 请同学们思考“y=0”是不是函数？并说出判断的理由，
学生1：“y=0“不是函数，因为y与x没有关系，y不随x的变化而变化，所以它不是函数，
教师：我们能不能把“y=0”写成含有y和x的形式呢？
学生2：“y=0”可以改写成“y=O×x”的形式，对于x取任意值，y都等于0.
教师总结：无论x怎样变化，y都是“以不变应万变”，这里的“应”我们可以理解为“对应”的意思，也就是说对于x的每一个值，y都有唯一确定的值“0”和它对应，今天，我们就从“对应”这个新的视角来探究函数概念.
设计意图 通过设置有思考力度的数学问题，引起学生的思维冲突，产生认知失调，从而打开思维的闸门，深入挖掘函数概念的本质，在教师的引导下，“顺理成章”地抽象出函数概念的本质属性与核心部分即“对应”，使教学活动的推进与学生认知活动的发展产生“共振”.
1.3 师生交流，感悟对应关系
用几何画板演示课本第15页的3个问题（人教A版高中必修1）.让学生推断“对应关系”，判断变量之间是否是函数关系？并尝试用集合语言来刻画函数.
设计意图教师利用《几何画板》创设体现运动与变化的问题情境，学生直观的感受到函数是描述事物运动变化规律的数学模型，学生初步建立对“对应关系”的认识，并启发、引导学生用集合和对应的语言描述变量之间的依赖关系，发展学生用数学语言进行交流的能力，在师生交流中，促进学生思维参与，形成和发展学生的逻辑推理素养，使学生体会到数学的严谨性.
1.4 自主探索，发现函数概念本质属性
问题3小组讨论：分析、归纳以上3个实例，你能发现它们有什么不同特点和相同点吗？
学生3：不同点：三个实例的对应关系不同，实例1用解析式来刻画变量之间的对应关系，实例2用图象刻画变量之间的对应关系，实例3用图表刻画变量之间的对应关系，相同点：都有两个非空集合和一个对应关系.
教师补充：三个实例中都是数到数的对應，所以函数有两个非空数集，而且两个非空数集间有一个确定的对应关系，至于用什么方法（解析式、图象、表格）建立对应是完全不重要的.
教师追问：y与x的这种“对应关系”与前面提到的“依赖关系”含义一致吗？
设计意图 函数概念的获得是一系列弱抽象的过程，将初中数学教材中的“变量说”进一步抽象为高中数学教材中的“对应说”，把更加抽象的“对应说”与现实情境中的事物、现象和抽象层次较低的“变量说”联系在一起，逐步“去情境化”，凸显本质属性，最终脱离较低层次的“变量说”的支持，发展为更为一般的“对应说”，让学生意识到函数作为“依赖关系”的描述和作为“对应关系”的描述本质是一致的，是从不同的侧面来认识函数概念的[2].
1.5 巧用类比，引入函数符号
问题4初中我们学过很多运算符号，你能回忆起哪些呢？
学生4：算术平方根符号;绝对值符号Ⅱ正弦符号sin;余弦符号cos等.
教师板书：算术平方根符号√：b→√b;绝对值符号II：6一lbl;正弦符号sin：B→ sinB;余弦符号cos：B → cosB.
教师追问：类比以前学过的运算符号，我们是不是可以把3种“对应”类型（解析式、图象、表格）用一个数学符号统一表示成对应关系？
师生活动：教师在学生探究的基础上引入对应关系f并板书：f：x→y;A→ B.（f也可以用g，h等表示）.让学生交流讨论对“对应关系f”的含义或作用的理解，并尝试用数学符号语言来更加直观、简洁的表达数集A中变量x与数集B中变量y之间的“对应关系”，
师生总结：对应关系的含义，简单地说就是，对变量x施加一个对应关系后得到变量y，对于数集A中的任意一个数x（在黑板上写下x），按照某种确定的对应关系f（在黑板上写出“f”，并用括号将x括起来），得到数集B中唯一的y值（在黑板上已经写下的“f （x）”前写出“y=”），从而写出等式y=f（x），也就是说初中学习的y与f （x）本质是一样的，都表示自变量x所对应的函数值，在师生总结的基础上教师给出课本上对函数概念的完整叙述.
教师追问：那么你能不能准确地判断出问题2中的“y=0”是不是函数？
设计意图 如果不能准确地把叙述性语言转化为数学符号语言，则谈不上数学的应用和具备良好的数学思维能力，由运算符号√、II、sin、cos类比引导学生得出对应关系的符号f，进而给出“函数概念”的定义，使学生不但容易理解概念，而且学会如何将概念转换成数学符号语言，促进数学抽象思维的发展.
1.6 借用比喻，深化对函数概念符号的理解
问题5 符号f（x）最初是由克雷罗和欧拉在1734年前后引进的，因其形象、直观，一直沿用至今，而函数符号y=f（x）是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的，他用符号f （x）替换少，即x→f（x）=y，有人说函数y=f（x），x∈A是个“产品加工厂”，谈谈你的理解，这里的f （x）是“f”和“x”的乘积吗？
师生总结：“f”和“x”不是乘积关系，而表示x对应的函数值，如f（x）= 3x2+1，当x=2时，函数值是13.简便起见，我们分别把它写成f（2） =13.一般地，如果x=a时，函数对应的值是6，那么，就可以记为f（a）=b.
教师追问：你能求出f（a+1）、f（a）+1分别是多少吗？
设计意图 数学的逻辑推理和运算离不开数学符号语言，如果不能理解和把握符号语言的语义和句法，就不可能进行数学推理和运算，借用“产品加工厂”让学生形成感性认知，然后再去伪存真，抽象出共同的本质属性，达到对函数抽象表达理性思维层次的认知，形成对函数概念的本质特征和定义本身的特点与含义的理解.
1.7 概念变式，深度剖析函数概念
问题6 你认为函数的定义中哪些是关键词呢？
学生5：定义域、值域、对应关系.
教师总结：函数是一个整体，它必须具备：两个集合（定义域和值域），一个对应（从定义域到值域的单值对应），因此我们称这3部分为函数的三要素，它最完整的表示是y=f（x），x∈A，因为居函数核心地位的是对应关系，所以在不致混淆的情况下，可以简化写为f（x）或f.
师生活动：让学生分析找出前面三个例题中函数的三要素，并判断表示炮弹飞行高度h与时间f的函数x=y2与一般函数h=130t - 5t2是否相等，讨论如果两个函数相同，那么它们应该满足什么条件，
设计意图 给出了概念的定义并不意味着概念就形成了，教师要引导学生从各个不同的角度、不同层次和不同情形去审视概念，探究和感受概念内涵的丰富性，让学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求“变”的规律，培养学生用数学的眼光观察世界.
设计意图 “数学是思维的体操”，函数概念的学习最终是为了获得数学思维过程训练以及更广泛的运用，从多角度、多层次、全方位地编制类型丰富的变式题目，学生经历艰苦的探索过程，从而让学生学会思维，并能逐步学会想得更清晰、更全面、更深入、更合理[3]，培养学生用数学的思维分析世界.
问题9课本第21页的例5和例6（人教A版高中必修1）.
设计意图 通过例5和例6来了解简单的分段函数，并能够解决简单的实际问题.
1.9 小结反思，提炼深化概念
问题10 与初中学习的函数定义相比较，从知识、能力、思想等方面谈谈你对函数有什么新认识？
设计意图 回顾获得函数概念的整个艰苦历程，发现这是对学生“学”的一种深化过程，通过问题引导学生从总体上理解和掌握知识，培养学生善于思考、归纳总结的能力.
1.10 课后思考，巩固运用概念
问题11 我们为刻画描述现实世界中运动事物或变化现象而构建了函数模型y=f（x）.请你在现实生活中找出至少3个存在函数关系的实例（其中包括用图象法、列表法、解析法表示的函数），并指出它们的三要素.
设计意图 数学模型构建了数学与现实世界的桥梁，使得数学回归于外部世界，诗人陆游有云，“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，学生通过建立函数模型来描述、解释实际问题，不但可以学会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，并理解函数图象的作用，还可以体验成功解决问题所带来的成就感，培养学生的数学情感素养.
2 教学设计反思
函数是现代数学最基本的概念，是中学数学的纽带，其实质是反映变量之间依赖关系的抽象模型，函数概念作为基本的数学语言和工具，在解决问题和表达思想中发挥重要作用，学生对函数概念的学习往往存在很多困难，本文在核心素养背景下构建了该内容的教学设计，通过教学反思凝炼出如下教学主张[4]：（1）教学目标设计要以发展学生的数学核心素养为导向、为宗旨，函数概念教学的目标是帮助学生理解基于对应关系的函数定义，获得数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算等方面的数学素养.（2）教学策略的设计要基于函数概念的数学本质，基于学生学习的原有经验，一方面，问题是数学的心脏（哈尔莫斯），数学的本质是解决问题、描述和理解结构与范型，为了揭示函数概念的数学本质，通过“问题驱动”的教学方式，以“问题来龙一问题实质一问题去脉”為抓手设计教学流程，另一方面，新的学习科学认为，学习是原有经验的迁移，为了保持数学课堂的连贯性，在情境设计时要时刻关注学生过去、现在和未来的经验，并因材设计熟悉的情境、关联的情境、综合的情境，制造不同层次的认知冲突.（3）教学评价设计要通过分层问题测验学生“四基四能”的获得，促进核心素养的达成，通过这样的教学能让学生理解函数概念的本质，感悟数学的精神、思想和方法[5].
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017
[2]贾丕珠.函数学习中的六个认知层次[J].数学教育学报，2004，13（3）：79-81
[3]郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”[J].数学教育学报，2016，25（3）： 1-5
[4]黄晓学.良好的数学教育——基于教学视角[J].扛苏师范大学学报（自然科学版），2016 （1）： 43-46
[5]米山国藏.毛正中，吴素华译，数学的精神、思想和方法[M].成都：四川教育出版社，1986
我国《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出：“在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，”[1]函数是现代数学最基本的概念，在解决实际问题中发挥重要作用，函数也是贯穿高中数学课程的主线，本文通过对函数概念的教学设计，来阐述如何将数学核心素养真正落实到基础教育的主阵地——课堂教学.
1 教学过程设计
1.1 创设情境，提出问题
情境播放嫦娥一号月球探测卫星成功发射的视频（图略）.
教师：卫星在发射的过程中，我们关注的是卫星与地面的距离随时间的变化，其实早在十六世纪，物体运动的研究已成为自然科学的中心问题，数学家、科学家、思想家都强调用数学的方法和思想来研究事物或现象的变化规律，今天我们就来探讨如何用数学的眼光描述运动变化量之间的依赖关系. 设计意图正如弗赖登塔尔所说：数学化应从“原始的现实开始”，而非接近数学的现实，通过实际情境引发学生思考，激发探究的欲望，概括出蕴涵于问题中变量之间的依赖关系，从而初步抽象出所要研究的数学对象即函数概念.
1.2 唤醒经验，产生认知冲突
问题1 请同学们回忆初中函数概念是如何定义的？初中我们学过哪些函数？
设计意图建构主义理论认为，学习是学习者基于原有的知识经验生成意义、建构理解的过程，通过回顾初中函数概念的学习，激活学生原有知识，使“熟悉”的函数成为新知识的“生长点”，推动学生思维的参与.
问题2 请同学们思考“y=0”是不是函数？并说出判断的理由，
学生1：“y=0“不是函数，因为y与x没有关系，y不随x的变化而变化，所以它不是函数，
教师：我们能不能把“y=0”写成含有y和x的形式呢？
学生2：“y=0”可以改写成“y=O×x”的形式，对于x取任意值，y都等于0.
教师总结：无论x怎样变化，y都是“以不变应万变”，这里的“应”我们可以理解为“对应”的意思，也就是说对于x的每一个值，y都有唯一确定的值“0”和它对应，今天，我们就从“对应”这个新的视角来探究函数概念.
设计意图 通过设置有思考力度的数学问题，引起学生的思维冲突，产生认知失调，从而打开思维的闸门，深入挖掘函数概念的本质，在教师的引导下，“顺理成章”地抽象出函数概念的本质属性与核心部分即“对应”，使教学活动的推进与学生认知活动的发展产生“共振”.
1.3 师生交流，感悟对应关系
用几何画板演示课本第15页的3个问题（人教A版高中必修1）.让学生推断“对应关系”，判断变量之间是否是函数关系？并尝试用集合语言来刻画函数.
设计意图教师利用《几何画板》创设体现运动与变化的问题情境，学生直观的感受到函数是描述事物运动变化规律的数学模型，学生初步建立对“对应关系”的认识，并启发、引导学生用集合和对应的语言描述变量之间的依赖关系，发展学生用数学语言进行交流的能力，在师生交流中，促进学生思维参与，形成和发展学生的逻辑推理素养，使学生体会到数学的严谨性.
1.4 自主探索，发现函数概念本质属性
问题3小组讨论：分析、归纳以上3个实例，你能发现它们有什么不同特点和相同点吗？
学生3：不同点：三个实例的对应关系不同，实例1用解析式来刻画变量之间的对应关系，实例2用图象刻画变量之间的对应关系，实例3用图表刻画变量之间的对应关系，相同点：都有两个非空集合和一个对应关系.
教师补充：三个实例中都是数到数的对應，所以函数有两个非空数集，而且两个非空数集间有一个确定的对应关系，至于用什么方法（解析式、图象、表格）建立对应是完全不重要的.
教师追问：y与x的这种“对应关系”与前面提到的“依赖关系”含义一致吗？
设计意图 函数概念的获得是一系列弱抽象的过程，将初中数学教材中的“变量说”进一步抽象为高中数学教材中的“对应说”，把更加抽象的“对应说”与现实情境中的事物、现象和抽象层次较低的“变量说”联系在一起，逐步“去情境化”，凸显本质属性，最终脱离较低层次的“变量说”的支持，发展为更为一般的“对应说”，让学生意识到函数作为“依赖关系”的描述和作为“对应关系”的描述本质是一致的，是从不同的侧面来认识函数概念的[2].
1.5 巧用类比，引入函数符号
问题4初中我们学过很多运算符号，你能回忆起哪些呢？
学生4：算术平方根符号;绝对值符号Ⅱ正弦符号sin;余弦符号cos等.
教师板书：算术平方根符号√：b→√b;绝对值符号II：6一lbl;正弦符号sin：B→ sinB;余弦符号cos：B → cosB.
教师追问：类比以前学过的运算符号，我们是不是可以把3种“对应”类型（解析式、图象、表格）用一个数学符号统一表示成对应关系？
师生活动：教师在学生探究的基础上引入对应关系f并板书：f：x→y;A→ B.（f也可以用g，h等表示）.让学生交流讨论对“对应关系f”的含义或作用的理解，并尝试用数学符号语言来更加直观、简洁的表达数集A中变量x与数集B中变量y之间的“对应关系”，
师生总结：对应关系的含义，简单地说就是，对变量x施加一个对应关系后得到变量y，对于数集A中的任意一个数x（在黑板上写下x），按照某种确定的对应关系f（在黑板上写出“f”，并用括号将x括起来），得到数集B中唯一的y值（在黑板上已经写下的“f （x）”前写出“y=”），从而写出等式y=f（x），也就是说初中学习的y与f （x）本质是一样的，都表示自变量x所对应的函数值，在师生总结的基础上教师给出课本上对函数概念的完整叙述.
教师追问：那么你能不能准确地判断出问题2中的“y=0”是不是函数？
设计意图 如果不能准确地把叙述性语言转化为数学符号语言，则谈不上数学的应用和具备良好的数学思维能力，由运算符号√、II、sin、cos类比引导学生得出对应关系的符号f，进而给出“函数概念”的定义，使学生不但容易理解概念，而且学会如何将概念转换成数学符号语言，促进数学抽象思维的发展.
1.6 借用比喻，深化对函数概念符号的理解
问题5 符号f（x）最初是由克雷罗和欧拉在1734年前后引进的，因其形象、直观，一直沿用至今，而函数符号y=f（x）是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的，他用符号f （x）替换少，即x→f（x）=y，有人说函数y=f（x），x∈A是个“产品加工厂”，谈谈你的理解，这里的f （x）是“f”和“x”的乘积吗？
师生总结：“f”和“x”不是乘积关系，而表示x对应的函数值，如f（x）= 3x2+1，当x=2时，函数值是13.简便起见，我们分别把它写成f（2） =13.一般地，如果x=a时，函数对应的值是6，那么，就可以记为f（a）=b.
教师追问：你能求出f（a+1）、f（a）+1分别是多少吗？
设计意图 数学的逻辑推理和运算离不开数学符号语言，如果不能理解和把握符号语言的语义和句法，就不可能进行数学推理和运算，借用“产品加工厂”让学生形成感性认知，然后再去伪存真，抽象出共同的本质属性，达到对函数抽象表达理性思维层次的认知，形成对函数概念的本质特征和定义本身的特点与含义的理解.
1.7 概念变式，深度剖析函数概念
问题6 你认为函数的定义中哪些是关键词呢？
学生5：定义域、值域、对应关系.
教师总结：函数是一个整体，它必须具备：两个集合（定义域和值域），一个对应（从定义域到值域的单值对应），因此我们称这3部分为函数的三要素，它最完整的表示是y=f（x），x∈A，因为居函数核心地位的是对应关系，所以在不致混淆的情况下，可以简化写为f（x）或f.
师生活动：让学生分析找出前面三个例题中函数的三要素，并判断表示炮弹飞行高度h与时间f的函数x=y2与一般函数h=130t - 5t2是否相等，讨论如果两个函数相同，那么它们应该满足什么条件，
设计意图 给出了概念的定义并不意味着概念就形成了，教师要引导学生从各个不同的角度、不同层次和不同情形去审视概念，探究和感受概念内涵的丰富性，让学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求“变”的规律，培养学生用数学的眼光观察世界.
设计意图 “数学是思维的体操”，函数概念的学习最终是为了获得数学思维过程训练以及更广泛的运用，从多角度、多层次、全方位地编制类型丰富的变式题目，学生经历艰苦的探索过程，从而让学生学会思维，并能逐步学会想得更清晰、更全面、更深入、更合理[3]，培养学生用数学的思维分析世界.
问题9课本第21页的例5和例6（人教A版高中必修1）.
设计意图 通过例5和例6来了解简单的分段函数，并能够解决简单的实际问题.
1.9 小结反思，提炼深化概念
问题10 与初中学习的函数定义相比较，从知识、能力、思想等方面谈谈你对函数有什么新认识？
设计意图 回顾获得函数概念的整个艰苦历程，发现这是对学生“学”的一种深化过程，通过问题引导学生从总体上理解和掌握知识，培养学生善于思考、归纳总结的能力.
1.10 课后思考，巩固运用概念
问题11 我们为刻画描述现实世界中运动事物或变化现象而构建了函数模型y=f（x）.请你在现实生活中找出至少3个存在函数关系的实例（其中包括用图象法、列表法、解析法表示的函数），并指出它们的三要素.
设计意图 数学模型构建了数学与现实世界的桥梁，使得数学回归于外部世界，诗人陆游有云，“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，学生通过建立函数模型来描述、解释实际问题，不但可以学会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，并理解函数图象的作用，还可以体验成功解决问题所带来的成就感，培养学生的数学情感素养.
2 教学设计反思
函数是现代数学最基本的概念，是中学数学的纽带，其实质是反映变量之间依赖关系的抽象模型，函数概念作为基本的数学语言和工具，在解决问题和表达思想中发挥重要作用，学生对函数概念的学习往往存在很多困难，本文在核心素养背景下构建了该内容的教学设计，通过教学反思凝炼出如下教学主张[4]：（1）教学目标设计要以发展学生的数学核心素养为导向、为宗旨，函数概念教学的目标是帮助学生理解基于对应关系的函数定义，获得数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算等方面的数学素养.（2）教学策略的设计要基于函数概念的数学本质，基于学生学习的原有经验，一方面，问题是数学的心脏（哈尔莫斯），数学的本质是解决问题、描述和理解结构与范型，为了揭示函数概念的数学本质，通过“问题驱动”的教学方式，以“问题来龙一问题实质一问题去脉”為抓手设计教学流程，另一方面，新的学习科学认为，学习是原有经验的迁移，为了保持数学课堂的连贯性，在情境设计时要时刻关注学生过去、现在和未来的经验，并因材设计熟悉的情境、关联的情境、综合的情境，制造不同层次的认知冲突.（3）教学评价设计要通过分层问题测验学生“四基四能”的获得，促进核心素养的达成，通过这样的教学能让学生理解函数概念的本质，感悟数学的精神、思想和方法[5].
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017
[2]贾丕珠.函数学习中的六个认知层次[J].数学教育学报，2004，13（3）：79-81
[3]郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”[J].数学教育学报，2016，25（3）： 1-5
[4]黄晓学.良好的数学教育——基于教学视角[J].扛苏师范大学学报（自然科学版），2016 （1）： 43-46
[5]米山国藏.毛正中，吴素华译，数学的精神、思想和方法[M].成都：四川教育出版社，1986
