新课改背景下探究类比思维在中学数学中的价值

顾日新
类比是根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似，猜想另一些属性也相同或相似的思维方法.在数学研究(数学猜想、数学应用、数学知识创造等)或数学教育(数学学习、数学解题、数学教学等)中，类比可以说是无处不在.而随着数学新课程改革的深入，对学生类比思维能力的考查已悄然升温.结合多年的中学数学教学以及对新课改精神的理解，我从以下三个方面来探究类比思维在中学数学中的价值.
一、串联归纳知识系统
根据知识系统的连贯性和相似性，运用类比思维可以对其进行有机的串联和归纳，以帮助理解和记忆，从本质上帮助学生自我减负.例如立体几何与平面几何研究问题的思路与方法是相似的，而且许多定理在平面中成立，在空间中也成立.在加以比较的同时，运用类比思维来记忆一些重要的结论，可以达到事半功倍的效果.笔者根据多年的教学经验，举例列表如下：
平面几何立体几何不共线的三点可确定一个圆不共面的四点可确定一个球过平面外一点有且只有一条直线与已知直线平行过平面外一条平行直线有且只有一个平面与已知平面平行过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直周长相等的正三角形、正方形、圆的面积为S1、S2、S3，则S1C2>C3体积相等的正四面体、正方体、球的表面积为S1、S2、S3，则S1>S2>S3等边△ABC内任一点到各边的距离之和为定长(等边△ABC的高)；等腰△ABC底边上任一点到两腰的距离之和为定长
(△ABC一腰上的高)正四面体内任一点到各面的距离之和为定值(正四面体的高)；正三棱锥底面上任一点到各侧面的距离之和为定值(正三棱锥一侧面上的高)三角形被平行于它一边的直线所截得的三角形与原三角形的面积的比等于对应边的平方比棱锥被平行于它底面的平面所截得的小棱锥与原棱锥的体积的比等于对应边的立方比求三角形内切圆的半径用等面积法求三棱锥内切球的半径用等体积法像这样可以类比的结论还有很多，这里就不再一一赘述.
二、获得解题思路的原动力
在《怎样解题》中，波利亚反复强调这种思考策略：“你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题……这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题.你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗……如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题.你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题……”
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”