类比法在初中数学解题中的应用

    查书平

    [摘 ?要] 初中阶段的数学知识比小学更加复杂与深奥，所以很多学生表现出学习困难的问题. 基于此，文章立足于初中数学教学，分析了类比法的基本内容，通过各类中考数学案例，研究了类比法在初中数学解题中的具体应用形式.

    [关键词] 类比法;初中数学;解题

    类比法可以说是一种应用价值较高的逻辑方法，在数学教学中的应用较为广泛，一直都是教师主要的教学手段之一. 但是就目前初中数学教学情况而言，类比法的应用通常集中于数学基础知识教学，如各类数学概念的类比，在解题中的渗透并不常见，这对于提升学生解题效率、开拓学生思维而言，十分不利.

    数和形的类比

    在数学教学中，数和形之间的联系十分紧密，很多问题都需要在数和形之间的转换中得到最终答案，并且很多教师与学生都将数和形的结合作为主要的教学方法以及解题方法. 而对于数学问题的解决而言，数和形的类比应用就更加重要了.

    例题1 求+的最小值.

    此例题应用数形结合类比方法解决时可以降低运算难度，具体做法如下.

    因为算式中的两个数值均为根号形式，所以可以用线段图形以及三角形的方法对算式进行表示，最终表示为图1.

    这样，原来的已知条件以及问题就可以改变为：已知BD=8，点C在BD上，过点B在直线BD上方作BA⊥BD，且BA=1，过点D在直线BD下方作DE⊥BD，且DE=5，连接AC，CE. 设BC=x，则CD=8-x. 于是+的值就是AC+CE的值. 所以当A，C，E三点共线时，AC+CE的值最小，且最小值为AE的长.

    讲解完上述例题之后，教师可以给出相同类型的试题让学生练习，以进行知识巩固，如下面的练习题.

    练习题 求+的最小值.

    分析 在数形结合的类比教学中，原有的代数式是一个算式，而转变成图形之后，其实就是求两条线段和的最小值，这样，解题难度下降了很多，学生理解起来也更加容易. 之后计算+的最小值时，所有的学生都可以自行解决. 以后，再遇到相同类型的问题时，学生便可以从容应对了.

    类似图形的类比

    类似图形的类比方法其实也可以称之为类似知识点的类比. 通過类似知识点的综合对比分析，学生可以在短时间内找到问题的突破口，并形成相同类型问题的快速解题思维.

    例题2 （1）如图2，在正方形ABCD中，E是AB边上一动点，F在边BC上，且∠DEF=90°. ①求证：△ADE∽△BEF;②已知AB=4，AE=x，BF=y，求y取得最大值时x的值.

    （2）如图3，△ABC是边长为6的等边三角形，D，E分别是BC，AC边上的两个动点，且∠ADE=60°. ①如果DC=x，AE=y，求出y与x的函数关系式;②当y取得最小值时，请说出△AED的形状.

    分析 上述两道小题虽然已知条件不同，图形也存在一定的差异，但在问题求解思路上仍然存在相同之处. 例如，无论是正方形还是三角形，底边都有一个动点，而与动点所构成的三个角也都存在于底边，这样就为证明相似三角形提供了基础条件. 证明相似之后，便可以应用相似三角形边与边之间的关系求得最终答案.

    从简单到复杂的类比

    例题3 （1）如图4，△DOC与△OAB均是等边三角形，且DO=OA，D，O，A三点共线，连接DB与AC交于点E，连接BC，求∠AEB的度数.

    （2）如图5，△DOC与△OAB均是等边三角形，且DO=OA，连接DB与AC交于点E，连接BC，求∠AEB的度数.

    例题4 在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为△ABC斜边上的中点，E，F分别在直线AB和AC上，且BE=AF.

    （1）若E，F分别在线段AB和AC上，如图6，求证：△DEF为等腰直角三角形;

    （2）若E为线段AB延长线上一点，F为线段CA延长线上一点，如图7，求证：△DEF为等腰直角三角形.

    分析 上述两道例题一共四个小问，

    通过分析不难发现，每道例题中的第一小问都较为简单，且第一小问与第二小问所用的证明方法没有太大的出入. 例如，在例题4中，虽然已知条件不同，但第一小问需要证明三角形全等，第二小问同样需要证明三角形全等. 尽管图形复杂了，但算法并没有发生改变. 这便是类比教学方法应用过程中，教师想要达到的教学成果. 其目的并非为了解题，而是帮助学生从不同的角度看待问题，且理解问题的真正内涵，这样，学生在计算过程中就可以节省更多的时间.

    解题规律的类比

    每一道习题都是为了考查相应的知识点，所以教师应该让学生理解不同问题中所包含的相同性质，这样学生才能真正看懂、看透问题.

    例题5 若（x+y）2+x-3=0，求xy的值.

    例题6 若+m-2+（n-3）2=0，求pmn的值.

    分析 对于例题5，无论是平方还是绝对值，都无法等于负数，所以只有当（x+y）2=0，x-3=0时，等式才成立. 这样，x与y的值就可以确定了，xy的值也随之确定. 例题6在例题5的基础之上增加了一个新的式子，即，根据算术平方根的定义，可知的值不能为负数，再结合例题5的解题思路，便可以求出p，m，n的值，于是可求出pmn的值.

    归纳为同一题型的类比

    同一题型的类比分析可以说是教师最为常用的一种类比形式，简单而言，出现的两道题多数都是“换汤不换药”.

    例题7 如图8，现有A，B两个村庄，打算在河边（直线a）修建一个水泵厂，问：水泵厂具体位置设置在哪里，才能使水泵厂距离两个村庄的距离最短？

    例题8 如图9，在正方形ABCD中，AB=4，E是AB的中点，P是线段AC上一点，求△PBE周长的最小值.

    分析 通过分析可以发现，两个问题其实可以划归为一种问题——最短路径问题. 在例题7中，最短路径可以应用对称的方法确定点B关于直线a的对称点B′;在例题8中，只不过将河换作直线AC，根据正方形的性质，我们同样可以在线段AD上找到点E的对称点E′，这样就可以确定点P的位置，从而求出△PBE的最小周长了.

    使用类比要注意的问题

    1. 对类比的结论能进行辩证处理

    因为使用类比有“或然性”，属于“合情推理”：或者正确，或者不正确，或者不完全正确，所以教学时应明确告诉学生类比有可能失败.

    2. 类比可以从多方面进行

    类比法的应用并非固定几种形式，日常教学中，教师不能仅仅局限于某一种方法或形式，可以多种类比，多方位、多角度，从条件、结论、图形、方法、规律等方面进行类比.

    3. 正确应用类比法

    教师在日常教学过程中，应立足于教材以及各类习题，通过深度挖掘这些辅助教学资源，确定类比法得以正确应用，不然将会适得其反.

    结论

    综上所述，类比法的应用可以进一步提高学生的解题效率，且可以让学生将题目与知识联系起来进行综合考虑，既提高学生的知识记忆能力，又完成相似类型习题的训练，这对于学生成绩的提高十分重要. 因此，教师应该整合教学内容，做好类比教学设计，让学生在学习过程中完成思维能力的培养.