核心素养观下几何定理教学的目标定位与策略选择
陈晓曦
学生发展核心素养在各学科具体化为学科核心素养，发展学生的学科核心素养的关键基础是发展学生的核心数学能力，依据《义务教育数学课程标准（2011版）》提出的十个“核心概念”，本文以《多边形的内角和与外角和（2）》一课为例，旨在分析在初中几何定理教学中，如何以发展学生的数学核心素养为契机，谈谈几何教学中落实做好教学目标定位与教学策略的选择.
1 从课标定位确定教学目标
多边形在现实生活中普遍存在，它是初中数学中空间与图形的重要内容之一，本节课是在前面学习了三角形的内（外）角和、认识了多边形（内角、外角、对角线等）并且了解正多边形的基础上探索多边形的内角和与外角和，本节课是三角形内角和知识的延伸与拓展，同时也为后面探究平行四边形、多边形镶嵌、正多边形与圆关系等内容提供了方法和条件，因此，本课的学习有着重要的意义，在平面几何的学习中，起着承前启后的作用.
1.1 知识层面
本节课是在前面学生已学习了三角形的内角和与特殊四边形内角和等知识的基础上引入的，它属于“空间与图形”领域中“图形的认识”部分中的重要内容之一，而且对今后研究特殊多边形起着铺垫作用，在探究过程中其所涉及的类比、从特殊到一般、转化化归等数学思想方法，是学生今后学习和研究数学所必备的思想方法，因此，本课在初中数学学习中占有十分重要的地位和作用，而且为今后继续研究空间几何等内容奠定了基础，同时研究多边形内角和同时也对发展学生的空间观念和几何直观提供很大的帮助，另外考虑到探索过程需要充足的时间和空间，把多边形的基本概念内容安排在第一课时完成，本节则侧重于多边形的内角和与外角和的探索过程和初步应用.
1.2 能力层面
学生在小学阶段与前面学习平面几何过程中，已初步掌握通過一定操作活动经验（剪拼、画图、度量等）以及初步掌握了一定的推理猜想验证方法，已初步积累了一定的数学归纳与推理能力，本节将通过探索多边形的内（外）角和公式，让学生经历“观察（计算）一猜想一验证一应用”的学习过程，组织学生操作实验、观察现象，提出猜想、推理论证等，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及发展学生合情推理与探究实践等.
1.3 思想层面
本节关于多边形的内（外）角和的探索过程中所涉及的从特殊到一般、转化化归、分类讨论、合情推理等数学思想方法，是学生今后学习和研究数学所必备的基本思想，此外本课中还渗透美育，凸显数学的简洁美，让学生在合作学习过程中学会与人相处，感受探索与创造的乐趣，体验获得成功的喜悦，并通过合情推理和演绎推理的有机结合逐步培养学生的数学核心素养等能力，
因此，根据课程标准的要求，笔者在设计《多边形的内角和与外角和（2）》的教学目标时，确定了以下3个方面的教学目标：
1.3.1 知识技能
理解并掌握多边形内（外）角和公式的推导方法，并学会应用公式解决数学问题.
1.3.2 数学能力
①通过类比、推理等数学活动，探索多边形的内角和与外角和公式，感受数学思考过程的条理性，培养推理能力和语言表达能力，并会利用所学知识解决实际问题，
②通过把多边形转化成三角形，体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法.
1.3.3 数学思想
在探究多边形的内角和、外角和公式过程中，进一步体会通过合理推理探索数学结论，并会用演绎推理加以证明，在多种形式的小组活动中，着重培养学生体会到转化化归、分类讨论、合情推理等数学思想的作用，以及体会一定的数学思维方式.
2 从学习实际选择教学策略
根据“教学手段必需为实现教学目标服务，并起到积极辅助教学的作用”，本节课依托多媒体，借用几何画板，Flash动画、投影仪等多种信息技术手段，激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学有效性，在教学实际中主要选取以下教学策略：
2.1 苏格拉底的“产婆法”
即不是直截了当地把知识告诉学生，而是通过循循善诱，揭露认识中的矛盾，引导学生主动参与，寻求问题的答案，老师着眼于引导、学生着眼于探索，整个过程侧重于学生能力的提高，同时考虑学生的个体差异，实施分层递进式教学法.
2.2 预设教学法
即教师对学生可能产生的多种情况，准备好各种预设，并在教学过程中适时与学生交流或为学生的不足作补充，从而提高课堂教学有效性.
2.3 采用荷兰数学家弗兰登塔尔的“再创造”法
即学生在教师的指导下，自主参与知识的构建，由本人把所要学的东西再“创造”出来，而教师仅立足于引导学生观察与实验、朕想与类比、归纳与演绎.
3 从教学策略角度选择处理教学内容
3.1 温故知新
问题1 三角形的内角和是多少？这与形状大小有关吗？你是用什么方法得到结论的？
问题2 平行四边形、长方形、正方形的内角和分别是多少？那么任意四边形的内角和呢？
问题3 你能猜想并验证任意四边形的内角和吗？ （度量法与剪拼法等验证）
问题4 你还能用“剪拼法”继续探索五边形、六边形……的内角和吗？
（学生可能会回答：能或不能，请回答“能”的同学上台利用投影仪演示剪拼过程，同时师生会共同发现随着边数的增加，剪拼难度越来越大.）
3.2 探索发现
师生合作共同按以下步骤讨论和交流：探究求四边形内角和的方法，
预设如下
预设1 “度量法”直接用量角器测量出各角的度数，并计算四边形内角和为360°;
预设2 “奠基法”（用列表法和图形相结合）得到五边形内角和为360°;
预设3 过任一顶点把四边形分成2个三角形，得到四边形内角和：180°x2= 360°（如图3）;
预设4 过内部任一点，把四边形分成4个三角形，得到四边形的内角和为：180°×4-360°=360°（如图4）;
预设5 过边上任一点，把四边形分成3个三角形，得到四边形的内角和为：180°×3-180°=360°（如图5）;
预设6 过外部任一点，把四边形分成3个三角形，得到四边形的内角和为：180°×3-180°=360°（如图6）.……
3.3 总结归纳
（1）通过对四边形内角和的探究，学生已具有探索多边形内角和的激情和能力，这时进一步引导可选择以上其中一种方法继续探究五边形、六边形……n边形的内角和（比如选用预设3，见图7），并猜想、归纳、验证得”边形的内角和为（n-2）x180°.
（2）这里笔者准备了4个预设和学生进行交流或为学生的不足进行补充：
预设1 任取n边形的一个顶点，n边形被过这点的对角线分割成（n-2）个三角形，并求得n边形的内角和为：（n-2）x180°（如图8）;
预设2 在n边形的内部任取一点，该点与多边形各顶点的连线构成n个三角形，并求得n边形内角和为：nx180°- 360°=（n-2）x180°（如图9）;
预设3 在n边形的边上任取一点，该点与多边形各顶点的连线构成（n-1）个三角形，并求得n边形内角和为：（n-1） x180°-180°=（n-2） x180°（如图10）;
預设4 在n边形外部任取一点，该点与多边形各顶点的连线构成n个三角形，并求得n边形内角和为：（n-l）x180°-180° =（n-2）x180°（如图11）.
3.4 引导发展
（1）求图12中x的值.
（2）十边形的内角和是___________度;
（3）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是____;
（4）在四边形ABCD中，∠A =90°，且∠B：∠C：∠D= 4：3：2.试求∠D的度数？
（5）拓展延伸：
（a）如图13，清晨，小明沿着一个五边形广场周围的小路（图中虚线），按逆时针方向跑步，试问：①请在图中标出小明从小路AB转向BC时身体的转角;②当他跑完一圈时，身体转过的角度之和是多少？③如果广场是六边形或七边形，结论是否一样？为什么？
（b）适时引导学生用类似求三角形外角和的推理方法（如图14）探索验证：五边形的外角和：180°×5 -（5-2）x180°= 360°（如图15）;n边形的外角和：180°×n-（n-2）x180°=360°（如图16）.
3.5 成效评价
（1）A层（供全体同学完成）
①一个多边形的内角和是外角和的3倍，试求这个多边形的边数？
②多边形的边数每增加一条时，内角和的变化情况？外角和呢？
A.增加90° B.增加180°
C.增加360°
D.不变
③正多边形的一个外角的度数是36°，则这个正多边形的边数是____;
（2）B层（供学有余力的同学继续完成）
小亮同学从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°…这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，整个过程一共向右转了____次，一共走了_____m.
3.6 小结升华
3.7 课后反馈
（1）A层作业（供全体同学完成）
①七边形的内角和是____;外角和是____;
②如果一个多边形的每个内角都是144°，那么它的内角和为（ ）
A. 1800°B. 1620°C. 1440°D. 1260°
③一个多边形的每个内角都相等，且一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数？
（2）B层作业（供学有余力的同学自主选择完成）
①探索在一个多边形中，最多能有几个内角是锐角？最多能有几个外角是钝角？
②如图18所示，三角形纸片∠A= 60°，∠B= 80°，将纸片一角折叠，使点C落在三角形ABC内部，且∠1= 20°，求∠2的度数？
4 教学思考
在几何定理的教学中，如何能够让学生更好地理解并加以应用，这是我们数学教师都应不断思索探究的问题，而针对几何定理的教学策略与方法的选择固然非常重要，教师应该依据学生的认知规律与学情选取一些更为合适的教学策略与方法，并且要以灵活的课堂模式促进学生对于定理的理解与认知，这样才能够真正促进学生对于几何定理有更好的理解与吸收，并且让学生对于知识的掌握更加透彻，方能有效发展学生的空间观念、几何直观及推理能核心素养能力的全面提升.
学生发展核心素养在各学科具体化为学科核心素养，发展学生的学科核心素养的关键基础是发展学生的核心数学能力，依据《义务教育数学课程标准（2011版）》提出的十个“核心概念”，本文以《多边形的内角和与外角和（2）》一课为例，旨在分析在初中几何定理教学中，如何以发展学生的数学核心素养为契机，谈谈几何教学中落实做好教学目标定位与教学策略的选择.
1 从课标定位确定教学目标
多边形在现实生活中普遍存在，它是初中数学中空间与图形的重要内容之一，本节课是在前面学习了三角形的内（外）角和、认识了多边形（内角、外角、对角线等）并且了解正多边形的基础上探索多边形的内角和与外角和，本节课是三角形内角和知识的延伸与拓展，同时也为后面探究平行四边形、多边形镶嵌、正多边形与圆关系等内容提供了方法和条件，因此，本课的学习有着重要的意义，在平面几何的学习中，起着承前启后的作用.
1.1 知识层面
本节课是在前面学生已学习了三角形的内角和与特殊四边形内角和等知识的基础上引入的，它属于“空间与图形”领域中“图形的认识”部分中的重要内容之一，而且对今后研究特殊多边形起着铺垫作用，在探究过程中其所涉及的类比、从特殊到一般、转化化归等数学思想方法，是学生今后学习和研究数学所必备的思想方法，因此，本课在初中数学学习中占有十分重要的地位和作用，而且为今后继续研究空间几何等内容奠定了基础，同时研究多边形内角和同时也对发展学生的空间观念和几何直观提供很大的帮助，另外考虑到探索过程需要充足的时间和空间，把多边形的基本概念内容安排在第一课时完成，本节则侧重于多边形的内角和与外角和的探索过程和初步应用.
1.2 能力层面
学生在小学阶段与前面学习平面几何过程中，已初步掌握通過一定操作活动经验（剪拼、画图、度量等）以及初步掌握了一定的推理猜想验证方法，已初步积累了一定的数学归纳与推理能力，本节将通过探索多边形的内（外）角和公式，让学生经历“观察（计算）一猜想一验证一应用”的学习过程，组织学生操作实验、观察现象，提出猜想、推理论证等，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及发展学生合情推理与探究实践等.
1.3 思想层面
本节关于多边形的内（外）角和的探索过程中所涉及的从特殊到一般、转化化归、分类讨论、合情推理等数学思想方法，是学生今后学习和研究数学所必备的基本思想，此外本课中还渗透美育，凸显数学的简洁美，让学生在合作学习过程中学会与人相处，感受探索与创造的乐趣，体验获得成功的喜悦，并通过合情推理和演绎推理的有机结合逐步培养学生的数学核心素养等能力，
因此，根据课程标准的要求，笔者在设计《多边形的内角和与外角和（2）》的教学目标时，确定了以下3个方面的教学目标：
1.3.1 知识技能
理解并掌握多边形内（外）角和公式的推导方法，并学会应用公式解决数学问题.
1.3.2 数学能力
①通过类比、推理等数学活动，探索多边形的内角和与外角和公式，感受数学思考过程的条理性，培养推理能力和语言表达能力，并会利用所学知识解决实际问题，
②通过把多边形转化成三角形，体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法.
1.3.3 数学思想
在探究多边形的内角和、外角和公式过程中，进一步体会通过合理推理探索数学结论，并会用演绎推理加以证明，在多种形式的小组活动中，着重培养学生体会到转化化归、分类讨论、合情推理等数学思想的作用，以及体会一定的数学思维方式.
2 从学习实际选择教学策略
根据“教学手段必需为实现教学目标服务，并起到积极辅助教学的作用”，本节课依托多媒体，借用几何画板，Flash动画、投影仪等多种信息技术手段，激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学有效性，在教学实际中主要选取以下教学策略：
2.1 苏格拉底的“产婆法”
即不是直截了当地把知识告诉学生，而是通过循循善诱，揭露认识中的矛盾，引导学生主动参与，寻求问题的答案，老师着眼于引导、学生着眼于探索，整个过程侧重于学生能力的提高，同时考虑学生的个体差异，实施分层递进式教学法.
2.2 预设教学法
即教师对学生可能产生的多种情况，准备好各种预设，并在教学过程中适时与学生交流或为学生的不足作补充，从而提高课堂教学有效性.
2.3 采用荷兰数学家弗兰登塔尔的“再创造”法
即学生在教师的指导下，自主参与知识的构建，由本人把所要学的东西再“创造”出来，而教师仅立足于引导学生观察与实验、朕想与类比、归纳与演绎.
3 从教学策略角度选择处理教学内容
3.1 温故知新
问题1 三角形的内角和是多少？这与形状大小有关吗？你是用什么方法得到结论的？
问题2 平行四边形、长方形、正方形的内角和分别是多少？那么任意四边形的内角和呢？
问题3 你能猜想并验证任意四边形的内角和吗？ （度量法与剪拼法等验证）
问题4 你还能用“剪拼法”继续探索五边形、六边形……的内角和吗？
（学生可能会回答：能或不能，请回答“能”的同学上台利用投影仪演示剪拼过程，同时师生会共同发现随着边数的增加，剪拼难度越来越大.）
3.2 探索发现
师生合作共同按以下步骤讨论和交流：探究求四边形内角和的方法，
预设如下
预设1 “度量法”直接用量角器测量出各角的度数，并计算四边形内角和为360°;
预设2 “奠基法”（用列表法和图形相结合）得到五边形内角和为360°;
预设3 过任一顶点把四边形分成2个三角形，得到四边形内角和：180°x2= 360°（如图3）;
预设4 过内部任一点，把四边形分成4个三角形，得到四边形的内角和为：180°×4-360°=360°（如图4）;
预设5 过边上任一点，把四边形分成3个三角形，得到四边形的内角和为：180°×3-180°=360°（如图5）;
预设6 过外部任一点，把四边形分成3个三角形，得到四边形的内角和为：180°×3-180°=360°（如图6）.……
3.3 总结归纳
（1）通过对四边形内角和的探究，学生已具有探索多边形内角和的激情和能力，这时进一步引导可选择以上其中一种方法继续探究五边形、六边形……n边形的内角和（比如选用预设3，见图7），并猜想、归纳、验证得”边形的内角和为（n-2）x180°.
（2）这里笔者准备了4个预设和学生进行交流或为学生的不足进行补充：
预设1 任取n边形的一个顶点，n边形被过这点的对角线分割成（n-2）个三角形，并求得n边形的内角和为：（n-2）x180°（如图8）;
预设2 在n边形的内部任取一点，该点与多边形各顶点的连线构成n个三角形，并求得n边形内角和为：nx180°- 360°=（n-2）x180°（如图9）;
预设3 在n边形的边上任取一点，该点与多边形各顶点的连线构成（n-1）个三角形，并求得n边形内角和为：（n-1） x180°-180°=（n-2） x180°（如图10）;
預设4 在n边形外部任取一点，该点与多边形各顶点的连线构成n个三角形，并求得n边形内角和为：（n-l）x180°-180° =（n-2）x180°（如图11）.
3.4 引导发展
（1）求图12中x的值.
（2）十边形的内角和是___________度;
（3）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是____;
（4）在四边形ABCD中，∠A =90°，且∠B：∠C：∠D= 4：3：2.试求∠D的度数？
（5）拓展延伸：
（a）如图13，清晨，小明沿着一个五边形广场周围的小路（图中虚线），按逆时针方向跑步，试问：①请在图中标出小明从小路AB转向BC时身体的转角;②当他跑完一圈时，身体转过的角度之和是多少？③如果广场是六边形或七边形，结论是否一样？为什么？
（b）适时引导学生用类似求三角形外角和的推理方法（如图14）探索验证：五边形的外角和：180°×5 -（5-2）x180°= 360°（如图15）;n边形的外角和：180°×n-（n-2）x180°=360°（如图16）.
3.5 成效评价
（1）A层（供全体同学完成）
①一个多边形的内角和是外角和的3倍，试求这个多边形的边数？
②多边形的边数每增加一条时，内角和的变化情况？外角和呢？
A.增加90° B.增加180°
C.增加360°
D.不变
③正多边形的一个外角的度数是36°，则这个正多边形的边数是____;
（2）B层（供学有余力的同学继续完成）
小亮同学从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°…这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，整个过程一共向右转了____次，一共走了_____m.
3.6 小结升华
3.7 课后反馈
（1）A层作业（供全体同学完成）
①七边形的内角和是____;外角和是____;
②如果一个多边形的每个内角都是144°，那么它的内角和为（ ）
A. 1800°B. 1620°C. 1440°D. 1260°
③一个多边形的每个内角都相等，且一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数？
（2）B层作业（供学有余力的同学自主选择完成）
①探索在一个多边形中，最多能有几个内角是锐角？最多能有几个外角是钝角？
②如图18所示，三角形纸片∠A= 60°，∠B= 80°，将纸片一角折叠，使点C落在三角形ABC内部，且∠1= 20°，求∠2的度数？
4 教学思考
在几何定理的教学中，如何能够让学生更好地理解并加以应用，这是我们数学教师都应不断思索探究的问题，而针对几何定理的教学策略与方法的选择固然非常重要，教师应该依据学生的认知规律与学情选取一些更为合适的教学策略与方法，并且要以灵活的课堂模式促进学生对于定理的理解与认知，这样才能够真正促进学生对于几何定理有更好的理解与吸收，并且让学生对于知识的掌握更加透彻，方能有效发展学生的空间观念、几何直观及推理能核心素养能力的全面提升.
