最是“转换”能致知,“构造”迎来解题美

黄毅辉 林新建



对于常规数学题,许多考生的解答可谓潇洒自如,让人赏识有加,可一旦应对把关题,则判若两人:或干脆到此“戛然而止”,或因抓不住解决问题的关键,浮游于问题之外,很少见到思路清晰、简洁明了、彰显考生功力和灵性的完整解答,至于新颖别致、颇具创意的方法更是风毛麟角,为何考生过不了把关题这道坎呢?是否归因于把关题肩负着区分考生水平的重任,既考知识更考能力,难度上去了,自然多不作为吗?若是,我们又有何破解对策呢?本文以2018年高考全国卷I的几道把关题为例,谈谈“转换构造”策略在高考试题解答中的应用,以饗读者.
1 最是“转换”能致知
解题需要套路,看到这道题,你的第一反应是什么?迅速生成常规方案,也即第一方案,为什么要有套路?因为80%的高考题是基本的、稳定的,考查运算的敏捷性,没有套路,就没有速度,问题是,当实施第一方案(套路)遇到障碍时,我们的策略是什么?
解析 在本题的求解中,我们可将已知条件“函数g(x)存在2个零点”转换为“方程f(x)+x+a=0存在两个实根”,即“方程f (x)= -x-a存在两个实根”,再转换为“函数y=f(x)的图象与直线y= -x-a有两个交点”,进而作出函数y=f(x)与直线y= -x-a的图象,问题不难获解,因为转换,我们将试题解答进行得如此轻松!
例2 (2018年高考全国卷I.理12)已知正方体的棱长为l,每条棱所在的直线与平面a所成的角都相等,则a截此正方体所得截面面积的最大值为(? )
解析 本题是个难题,难在“与每条棱所在的直线所成的角都相等”的平面a在哪里?如何寻找?注意到正方体有三组互相平行的棱(每组4条),故若能将“与12条棱所成角都相等”这一条件转换为“与一个顶点的三条棱所成的角都相等”,则不难发现与顶点A1处的三条棱A1B1,A1D1,A1A所成角都相等的平面AB1D1,与12棱所成角都是相等的,这么一转换,问题就好办了,接下来我们只要将平面AB1D1平移,发现截面面积慢慢变大,当截面经过D1C1中点时截面面积最大,随后又慢慢变小了,至此,我们不难求得截面六边形的面积,即为截面面积的最大值,问题获解,处理难题,从方法论的角度讲就是转换视角,常态方案不行,换一个方案行了;这种说法与思路不通,换一个说法通了;在一个领域内繁复的问题,换一个领域简单了,如若不是这样,靠什么考查能力?又凭什么说高考是一种选拔性考试呢?
2“构造”迎来解题美
把转换作为一种解题的思想和策略无疑是合理和必要的,它要求我们在求解难题时必须具备转换意识,这样才能有效地解决问题,
但是,转换并不总是永远畅通无阻的,正像走路一样,我们要迈向目的地(结论),从起点(条件)出发,不断地变换方向和路径,从一处转向另一处逐渐向结论靠拢,但有的地方却无法过去,需要修筑道路,架设桥梁,这就需要构造,
“最是转换能致知,构造迎来解题美”,因为转换,我们找到了问题解决的方向;因为构造,我们将问题的解答臻于完美!
参考文献
[1]林新建.数学高考解题的“三化四策八关注”[M].厦门:厦门大学出版社,2015
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