回归教材 发展思维能力

潘强 李锋



《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称“课标”)提出:“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力,人们在学习数学和应用数学解决问题时,不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程,这些过程是数学思维能力的具体体现……”,那么,怎样才能有效提高学生的数学思维能力?众所周知,教材是一种丰富的课程资源,是课堂教学中师生互动的桥梁,同时也是学生开展思维活动、发展思维能力的主要载体,下面,笔者选取人教A版《数学选修2-1》(以下简称“教材”)中的具体例子,谈谈如何回归教材,落实“用教材教”,充分发展学生的思维能力.
1 重视章引言及课后拓展性材料的教学,创设情境激活学生思维
章引言是教材的一部分,是教材编写者精心设计,它置身于每一章的开头,以简明扼要的语言介绍本章的内容、地位及应用,以及蕴涵其中的思想方法与人文背景,体现本章知识的生长点与思维方法,是学生学习本章的开场白,作用不容忽视,一些拓展性材料如“观察与猜想”、“阅读与思考”、“探究与发现”、“信息技术应用”等由于不在教材正文常常被忽视,笔者认为它们作为新教材特色之一是教材正文有益的补充与延伸,具有较强的灵活性与开发空间.
案例1 平面截圆锥
教材在章引言中介绍了圆锥曲线的来源——“平面截圆锥”,在“2.2.1椭圆及其标准方程”课后的“探究与发现”栏目以“为什么截口曲线是椭圆”为题,介绍了数学家Germinal Dandelin从纯几何角度出发给出的证明,由此可见,教材对“平面截圆锥”的教学功能非常重视,以其为“源”引出概念,以其深刻背景为“垫”,统一了概念和名称,以其简捷漂亮的证明为“流”,疏通了概念,学生从中感受到圆锥曲线来源于现实生活,体会数学与生活的联系,欣赏圆锥曲线的一种和谐统一的美,经历了由具体实例观察发现、抽象概括出圆锥曲线以及猜想证明的思维历程,
教学中要有效利用这些素材创设有效情境激发学生思考与探索,要“挖”出隐藏于教材之中内涵丰富的思想,要利用每一个契机发展学生思维,明确椭圆生成方式之一——平面截圆锥,教材在数学家Germinal Dandelin的几何证明之后又提出一个问题:用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱,你能仿照上述方法,证明所得到的截口曲线也是椭圆吗?
例1(2008年高考浙江卷·理10)如图1,AB是平面a的斜线段,A为斜足,若点P在平面a内运动,使得△BP面积为定值,则动点P的轨迹为 (? )
A.圆
B.椭圆
C.一条直线
D.两条平行直线
显然,命题者正是以平面截圆柱为背景来考查学生的思维能力,体现了高考“源于教材而高于教材”的命题思想,因此,平常教学中一定要回归教材,研究教材,渗透思想,发展思维.
2 变式引领,开放探究,充分发挥教材例题与习题的教学功能
例题与习题都是经过教材编写者精挑细选的,它们可改造成为探究性问题的素材,对其进行“变式练习”是开发学生思维的有效方法,
案例2(教材P49习题2.2A组7)如图2,圆0的半径为定长r.A是圆0内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线,和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是什么,为什么?
利用定义学生容易得出点Q的轨迹是椭圆,倘若就此搁笔,无异于“入宝山而空返”,错失一个发展学生思维能力的好机会,笔者曾对该题进行了适度开发,充分挖掘蕴涵其中的教学功能,现简要摘录片段如下:
教师:若条件没有点A在圆O内的限制,点Q的轨迹是什么?
通过演示,学生发现:当点A在圆上,点Q与0重合;当点A在圆外,点Q“不翼而飞”,表明直线l与半径OP没有交点,如何改变题设的条件使得交点Q出现,其轨迹又是什么?(借助画板直观演示,最后学生共同归纳出以下情形,如图3)
生:当点A在圆外时,直线l与OP所在的直径的交点的轨迹是以0,A为焦点的双曲线左支位于圆O内的部分;直线l与射线PO的交点的轨迹是以0,A为焦点的双曲线的左支;直线l与直线OP的交点的轨迹是以0,A为焦点的双曲线,
本例通过开放探究,开拓学生思维,用运动变化的观点揭示曲线的变化规律,训练学生观察、归纳、运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法,欣赏并体会其中蕴涵的数学美,提升思维品质,
教师:若直线AM,BM斜率之积为4/9,点M的轨迹方程如何?由此你发现了什么?
通过对例题的适当改编,进一步激活学生思维,并创设情境让学生“拾级而上”,知识的生成自然、水到渠成,学生经历从特殊到一般的归纳思维,接受函数与方程、归纳类比、分类讨论、化归转化等数学思想方法的熏陶,体验了先猜想后证明的数学理性思维的本质,
上述案例2通过改变题设的条件引发学生进行开放探究,案例3通过对不同形式的特殊实例的研究中发现规律,并将其推广到一般的情形,以此扩大题目的训练功能,与其煞费苦心从大量泛乱的教辅材料中挑选,不如从贴近学生实际的教材中精选例题或习题,通过改变题目的设问方式、加强或削弱条件、在一定范围下将该题进行引申或推广等进行有意义的变式训练,实践证明,“变式练习”重复而不呆板,为学生思维能力的发展搭好了“脚手架”,既夯实了双基,又提升了思维的品质.
3 充分挖掘教材例、习题中蕴含的数学思想方法,发展数学思维能力
张奠宙教授提出:数学教师要具有数学思想方法的教学意识,掌握数学思想方法的内涵,将数学思想方法用于解题,发展学生的数学思维能力,因此,我们要以形成数学思想来统领日常的课堂教学,尤其是函数与方程、数形结合、分类讨论、化归转化思想,比如上述案例无一不渗透这四种重要的思想方法,在教师精心设计与合理引导下,通过变式引领,开放探究,发展学生的直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、推理证明等思维能力,“课标”把推理论证能力确定为一项基本能力,对推理论证能力的要求既包括原来的演绎推理,又包括归纳、类比猜想等合情推理,推理论证被认为是数学学科以及数学家实践的中心,是进行数学学习活动必备的首要的能力,因此教学中,要引导学生正确处理猜想与证明的关系,即不仅注重数学发现、创造过程中的合情推理——归纳与类比,而且将这种非形式化的探索式论证转化成有效的数学证明,比如截口曲线是椭圆的几何证明;案例3的代数证明等,这样,学生的思维不只是停留在感观的基础上,而是向深层次发展——继续探究问题的本质,用理性思维去验证所得的猜想.
4 充分利用教材进行审美意识的培养,体会数学的美学意义
圆锥曲线这部分内容,处处都有“美”的痕迹,值得大力开发,对学生进行审美意识的培养,提高审美能力,比如“平面截圆锥”体现圆锥曲线光滑美、动态美、统一与和谐美;圆锥曲线的定义具有统一美与数学语言美;圆锥曲线的方程蕴涵简洁美等等,本文几个案例的探究过程中,也处处体现出上述各种美,还有解题方法的简洁美以及所折射出数学思维的理性之美等,所有这些在教师精心设置的问题情境下,通过学生的亲身体验、用心感悟,培养其强烈的审美意识,同时对数学的美深刻的感悟,对数学的美学意义深切的体会,进一步提高学生学习的兴趣和探究数学问题本质的欲望,
案例4(教材改编)几何画板探索方程KX2+y2=1所表示的曲线当K变化时,曲线的形状变化如下:
上图清晰地反映出K自小而大变化时,图象由双曲线演变成椭圆的过程,蕴涵了深刻的数学美,一个含参数的方程式通过“K”的变化从图象上非常生动地表现出曲线的变化规律(将两条双曲线逐渐拉直成为两条直线,让它们在无穷远处接上头,再进行收缩,成为椭圆),揭示出美的本质,同时学生通过自我实践,自我发现获得对美的认识,形成了美的观念,且在欣赏中得到愉快的情感体验,
现行教材精雕细琢,集百家之长于一身,我们也应以课标为标,以教材为本,合理利用与适宜开发教材资源,开展探究活动,发展学生的数学思维能力,
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003
[2]李锋,活用类比放飞思维——关于《类比推理》的教学与思考[J].福建中学数学,2015 (6):17-21
[3]李锋,回归概念本质发展双基教育——一道教科书习题的探究性教学与反思[J].中学数学教学参考(上旬),2010 (4): 25-29
[4]方勤華.教好数学的一个重要视角[J].数学通报,2010 (1): 34-37
相关文章!
  • 改进演示实验,提高演示实验教

    曹雪梅众所周知,化学是以实验为基础的学科.实验是化学的灵魂,也是提高学生学习兴趣的主要因素.教学实践证明,化学实验教学可以让学生

  • 素质教育在中职教育中的重要性

    杨天摘要:进入21世纪之后,素质教育已经成为全社会非常关注的一个重要话题。而在职业教育中,许多学生和家长错误的认为职业教育的本质就

  • 质谱法测定水中溶解氙的含量及

    李军杰+刘汉彬 张佳+韩娟+金贵善+张建锋<br />
    <br />
    <br />
    <br />
    摘要 利用设计的一套水样中提取并分离Xe的装置,与稀有气体质谱