为何是“最困难的一次”？
于岚
复数相关知识点江苏高考一般只考查一个5分的填空题，很多教师往往只看到5分的价值，对复数章节了解研究不深，例如在概念课“数系的扩充”教学中，简单照搬教材内容，很快地提出概念、形成规则，然后留出大量时间训练解题，其实，在数学史中，复数的产生其实是一个曲折又漫长的过程，很多数学家起初都无法突破根深蒂固的认知障碍，觉得虚数是“虚幻”的，由萌芽阶段直到最终为人们普遍接受和承认，经历了两百多年的时间，是数系扩充史上“最困难的一次”，所以笔者认为，应该认真学习研究和思考，“最困难”体现在哪些方面？如何设置情境和问题进行解决？如何充分利用克服困难的过程，引导学生体会数学发现和创造过程的必要性和合理性，认清概念本质，培养学生理性思维？
教师在课堂上讲什么当然是重要的，然而学生想的是什么，却更是千百倍地重要，学生已有牢固的观点：解方程时遇到负数开平方，无实数解，
难点1方程x2+1=0为什么非要有解呢？
1情境设置
师：学习数学的初始，小学刚开始学习的是什么数？数的运算呢？
生1：0、1、2、3这些数…也就是自然数、运算是加减法，
师：第一次遇到题目1-3=？当时的你有何想法？怎么解决的？
生2：第一次啊…觉得没法做，很困惑，后来学了新的数：负整数，问题就解决了，
师：哦，是引入了新的数来解决这个问题的，后来，数的运算增加了乘除法，第一次遇到题目2÷3=？当时的你有何想法？怎么解决的？
生2：觉得没法做，很困惑，引入新数：分数，问题解决，
师：再后来开始学习方程，第一次遇到题目解方程x2-2=0？当时的你有何想法？怎么解决的？
生2：还是觉得没法做，很困惑，引入新数：无理数，问题解决.
（全班气氛热烈，觉得真是好相似的“心路历程”）
师：中国古代为大家思想家老子的哲学主张之一，就是“无中生有”，天下万物，起始于无，我们所见的一切存在，都是从无开始，从“没有”到“有”就是自然发展的规律，
设计意图让学生体会从不可能变为可能的辩证思想，并为理清数集扩充的主线做好铺垫.
2数学建构
师：作为高中生，见多识广，已经见识过各种各样的数以及它们所构成的数集，回忆一下，学习过哪些数集？它们之间的关系？
生3：自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R. N?Z?Q?R.
师：可见，数集是在一步步不断扩充的，第一步，自然数集N为什么要扩充到整数集Z？怎么扩充的？
生4：在自然数集内，减法运算，小数减大数受到限制（结果未必是自然数）.
师：如果从“解方程”角度看呢？
生4：方程x+2=0，在自然数集中无解，
师：所以，需要引入什么样的新数呢？
生4：负整数，
师：引入负整数后，数集从自然数集N扩充到整数集Z.
师：数集为什么要继续扩充？怎么扩充的？
生4：（有了前面的经验，侃侃而谈）在整数集内，除法运算（不能整除的情况）受到限制，方程3x-2=0在在整数集中无解，引入分数，数集从整数集Z扩充到有理数集Q.在有理数集内，正数开平方开不尽，方程x2-2=0在有理数集中无解，引入无理数，数集从有理集Q扩充到实数集R.
师：生4说得非常好，那么数集扩充的方法和原则是什么呢？
生4：（自告奋勇），老师，我来回答，我认为数集扩充的方法是就引入新的数，
师：这个新的数是随便引入的吗？引入时有什么原则吗？
生4：原有的运算律和运算法则仍然成立，还要解决有些运算在原数集中不能进行的问题，
师：大家为生4鼓掌，他为我们总结了数集扩充的一般规律！
师：方程x2+1=0在实数集内无解，我们可以想办法让它有解吗？
全班（异口同声）：可以，引入新数.（难点一圆满解决）
设计意图每次数集擴充对我们的启示是什么？数的发展的真正阻力在于突破根深蒂固的认知障碍，应通过师生讨论、交流或教师点拨，使学生明确：（1）世上本没有数，数是人类伟大的创造；（2）人们遇到需要时，不断创造新的数，以解决原先无法解决的问题，归纳数系扩充的一般规律和方法，使学生充分理解其必要性和合理性，感悟“可能”与“不可能”之间的辩证唯物关系，体会“特殊”到“一般”的数学思想.[1]
难点2引入什么新数呢？
师：引入负整数、分数、无理数时，新数的形式？
生5：分别有负号、分数线和根号这些符号，
师：都有标志性的符号，因此引入的新数也应该有一个标志性的统一的“符号”，而且要解决平方等于负数这个问题，那么，引入什么样的新数呢？
（全班安静，学生应该一时难以回答）
师：引入的新数是不是实数？
全班：不是，
师：“实”的反义词是虚，那就叫“虚数”吧，虚数英文单词的首字母是i，我们就用i来表示虚数吧，那么i要满足什么呢？
生6：i2为负数，
师：i2可以为任意负数？
全班同学议论，很多同学认为肯定不行，肯定要规定i2到底等于那个负数，
师：好吧，你们觉得应该规定i2_？
生7：应该规定：i2=一1，因为任何一个负数，都可以写成-a=a×（-1）（a>0）的形式，所以只要找到平方等于-1的数即可，
师：你们觉得他说得有道理吗？全班同学表示认可，
师：谢谢生7帮我们解决了这个问题，小结一下，我们引入了一个新数i，准确地说它叫虚数单位（“单位”在哪，生7其实已经回答了）.并规定：（1）i2=-1；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立，
设计意图虚数单位i的单位性往往被忽视、略过，其实意义重大，平方等于负数，负数本有无穷多，但只引入一个平方等于-1的数，就可以不变应万变，
难点3复数的代数一般形式
师：现在你们能写出方程x2+1=0解吗？方程x2+x+l=0的解呢？你还能写一些类似的数吗？这些数的共同形式？
生8：方程x2+1=0的解为x=i或x=-i；方程x2+x+1=0的解为x=-1/2+√3/2i或x=-1/2-√3/2i.这些数形式相同，都可以写成形如a+bi.
生9：就写成a+bi（a，b∈R）就行了，因为减法是加法的逆运算，可以转化为加法，
师：既然实数可以与虚数单位i进行四则运算，原有加、乘运算律仍然成立，这些数形式相同，都可以写成形如a+bi（a，b∈R）的数，我们把它们叫做复数，复数通常用字母z表示，其中a，b分别叫做复数z的实部与虚部，
设计意图学生可以自己归纳得出复数的代数一般形式，但是为什么复数的代数形式中只出现了加号和乘号？因为减法和除法是加法和乘法的逆运算，可以转化为加法和乘法，
难点4复数有什么特征？与实数的区别联系？
师：两个复数相等的条件？
生10：两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等，
师：试比较复数1+ 2i和2+i的大小，
全班讨论，得出结论，无法比较，复数由实部和虚部共同确定，
师：复数如何分类？
生11：当且仅当b=0时，复数z就是实数a；当b≠0时，复数z叫做虚数；当a=0且b≠0时，复数z=bi叫做纯虚数，
师：实数是特殊的复数，对于数的分类，其实每一次数系扩充时，都有所体现，类比、分类、系统化，数学思想一脉相承，融会贯通，
师：复数能构成数集吗？
生12：每个复数都是由有序实数对（a，b）唯一确定的，满足集合定义，构成复数集，
师：复数集用字母C表示，
师：复数集与其它数集之间的关系？
生12： N￠2￠Q￠R￠C.
设计意图从复数形式、复数相等、复数能否比大小，复数分类，等方面来体会复数的“二元特征”，“复数”的“复”正体现在此，复数对实数而言，是一次很大的“跨越”，从“一元数”变为“二元数”.
3数学应用
例1写出复数4，2-31，0，-1/2+4/3i，5+2i，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
不能因为例题的简单，就一带而过，要体现在具体情境下加深对复数概念的理解的价值，
例2实数m取什么数值时，复数z=m（m-1）+（m-l）i是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
注意例题的规范性、示范性，
例3已知（x+y）+（x-2yi=（2x-5）+（3x+y）i，其中x，y∈R，求x与y，
加深对复数“二元数”特征的理解.
4课堂小结
从实数集扩充到复数集，我们遇到了那些困难如何解决的？
5深化与拓展
（学生课后查阅相关资料，思考，交流）
（1）教材中为什么是“数系”的扩充，而不是“数集”的扩充？
完整的数的体系应该是指：数+运算，数系除了研究数集，还要研究相应的运算，运算法则和运算律才是数的本质所在，为什么要解方程？为什么方程无解需要引入新数？其实解方程的本质就是数的运算，所以不仅要注意数的扩充，还要从“运算”的角度进行强调，不仅研究复数集，还要研究复数运算.
（2） 21和i可以比大小吗？
再次深化理解复数的“二元数”特点，也为复数的几何意义做好铺垫.
（3）虚数是“虚构”吗？虚数客观存在吗？
这应该是本节内容学生最难克服的的认知障碍，数学来源生活，负数、分数、无理数（如：√2是边长为1的正方形对角线长度）在现实生活中都能找到，引入时学生很容易体会，这些新的数都不是随便虚构的，而是真实客观存在的，但虚数是否真的存在，是数学家们虚构出来的吗？复数在平时生活中很难找到模型，很难直接感知，复数其实有着重要的物理背景，早在18世纪，就有人把复数应用于流体动力学以及制作地图，到了20世纪，复数在物理学上的应用越加广泛，电工学利用复数表示交流电，量子力学中用复数表示波函数，此外，在空气动力学、弹性理论、位势理论、热流、静电通量、周期现象等方面都用到复数，但对于高中生来讲，非常深奥困难，对于有兴趣的学生，可以上网查阅提供相关资料，教师给予一定帮助.
（4）对于本节内容的学习，还有哪些疑问和想法？
例如：①实数集扩展到复数集后，很多函数的定义域是否也可以由实数集扩展到复数集？如y= sin（i），是否有意义？②复数集能否继续扩充？是否存在“三元数”？
课后反思一些问题可以不用每个学生都思考，也许只有极少数学生去思考，甚至没有学生思考，但是教师应该比学生想得多、想得深，高瞻远瞩，深思熟虑，做学生的引路人，
波利亞总结的“教师十诫”中提到：教师要对自己讲的课题有兴趣；要懂得自己讲的课题，[2]如果教师没有仔细研究过复数的历史和研究价值，没有弄清复数的来龙去脉和复数的本质，把教材中的“引入”和“规定”，看作像公理一样毋庸置疑，整个教学过程就会不可避免地带着“不求甚解”的意味，很大地制约了教师对新课标要求的把握和对教材内容的优化组织，所以一线数学教师应不断努力提高自身的数学素养，用适当的材料进行充分地准备，备好概念课的“难点”，引导学生抓住概念本质，培养学生理性严谨深度的思维.
参考文献
[1]李昌官.布卢姆认知目标新分类指导下的数学一数系的扩充与复数的概念教学设计[J].数学教育学报，2012，3（21）： 67-71
[2]乔治.波利亚.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授[M].北京：科学出版社， 2006
复数相关知识点江苏高考一般只考查一个5分的填空题，很多教师往往只看到5分的价值，对复数章节了解研究不深，例如在概念课“数系的扩充”教学中，简单照搬教材内容，很快地提出概念、形成规则，然后留出大量时间训练解题，其实，在数学史中，复数的产生其实是一个曲折又漫长的过程，很多数学家起初都无法突破根深蒂固的认知障碍，觉得虚数是“虚幻”的，由萌芽阶段直到最终为人们普遍接受和承认，经历了两百多年的时间，是数系扩充史上“最困难的一次”，所以笔者认为，应该认真学习研究和思考，“最困难”体现在哪些方面？如何设置情境和问题进行解决？如何充分利用克服困难的过程，引导学生体会数学发现和创造过程的必要性和合理性，认清概念本质，培养学生理性思维？
教师在课堂上讲什么当然是重要的，然而学生想的是什么，却更是千百倍地重要，学生已有牢固的观点：解方程时遇到负数开平方，无实数解，
难点1方程x2+1=0为什么非要有解呢？
1情境设置
师：学习数学的初始，小学刚开始学习的是什么数？数的运算呢？
生1：0、1、2、3这些数…也就是自然数、运算是加减法，
师：第一次遇到题目1-3=？当时的你有何想法？怎么解决的？
生2：第一次啊…觉得没法做，很困惑，后来学了新的数：负整数，问题就解决了，
师：哦，是引入了新的数来解决这个问题的，后来，数的运算增加了乘除法，第一次遇到题目2÷3=？当时的你有何想法？怎么解决的？
生2：觉得没法做，很困惑，引入新数：分数，问题解决，
师：再后来开始学习方程，第一次遇到题目解方程x2-2=0？当时的你有何想法？怎么解决的？
生2：还是觉得没法做，很困惑，引入新数：无理数，问题解决.
（全班气氛热烈，觉得真是好相似的“心路历程”）
师：中国古代为大家思想家老子的哲学主张之一，就是“无中生有”，天下万物，起始于无，我们所见的一切存在，都是从无开始，从“没有”到“有”就是自然发展的规律，
设计意图让学生体会从不可能变为可能的辩证思想，并为理清数集扩充的主线做好铺垫.
2数学建构
师：作为高中生，见多识广，已经见识过各种各样的数以及它们所构成的数集，回忆一下，学习过哪些数集？它们之间的关系？
生3：自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R. N?Z?Q?R.
师：可见，数集是在一步步不断扩充的，第一步，自然数集N为什么要扩充到整数集Z？怎么扩充的？
生4：在自然数集内，减法运算，小数减大数受到限制（结果未必是自然数）.
师：如果从“解方程”角度看呢？
生4：方程x+2=0，在自然数集中无解，
师：所以，需要引入什么样的新数呢？
生4：负整数，
师：引入负整数后，数集从自然数集N扩充到整数集Z.
师：数集为什么要继续扩充？怎么扩充的？
生4：（有了前面的经验，侃侃而谈）在整数集内，除法运算（不能整除的情况）受到限制，方程3x-2=0在在整数集中无解，引入分数，数集从整数集Z扩充到有理数集Q.在有理数集内，正数开平方开不尽，方程x2-2=0在有理数集中无解，引入无理数，数集从有理集Q扩充到实数集R.
师：生4说得非常好，那么数集扩充的方法和原则是什么呢？
生4：（自告奋勇），老师，我来回答，我认为数集扩充的方法是就引入新的数，
师：这个新的数是随便引入的吗？引入时有什么原则吗？
生4：原有的运算律和运算法则仍然成立，还要解决有些运算在原数集中不能进行的问题，
师：大家为生4鼓掌，他为我们总结了数集扩充的一般规律！
师：方程x2+1=0在实数集内无解，我们可以想办法让它有解吗？
全班（异口同声）：可以，引入新数.（难点一圆满解决）
设计意图每次数集擴充对我们的启示是什么？数的发展的真正阻力在于突破根深蒂固的认知障碍，应通过师生讨论、交流或教师点拨，使学生明确：（1）世上本没有数，数是人类伟大的创造；（2）人们遇到需要时，不断创造新的数，以解决原先无法解决的问题，归纳数系扩充的一般规律和方法，使学生充分理解其必要性和合理性，感悟“可能”与“不可能”之间的辩证唯物关系，体会“特殊”到“一般”的数学思想.[1]
难点2引入什么新数呢？
师：引入负整数、分数、无理数时，新数的形式？
生5：分别有负号、分数线和根号这些符号，
师：都有标志性的符号，因此引入的新数也应该有一个标志性的统一的“符号”，而且要解决平方等于负数这个问题，那么，引入什么样的新数呢？
（全班安静，学生应该一时难以回答）
师：引入的新数是不是实数？
全班：不是，
师：“实”的反义词是虚，那就叫“虚数”吧，虚数英文单词的首字母是i，我们就用i来表示虚数吧，那么i要满足什么呢？
生6：i2为负数，
师：i2可以为任意负数？
全班同学议论，很多同学认为肯定不行，肯定要规定i2到底等于那个负数，
师：好吧，你们觉得应该规定i2_？
生7：应该规定：i2=一1，因为任何一个负数，都可以写成-a=a×（-1）（a>0）的形式，所以只要找到平方等于-1的数即可，
师：你们觉得他说得有道理吗？全班同学表示认可，
师：谢谢生7帮我们解决了这个问题，小结一下，我们引入了一个新数i，准确地说它叫虚数单位（“单位”在哪，生7其实已经回答了）.并规定：（1）i2=-1；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立，
设计意图虚数单位i的单位性往往被忽视、略过，其实意义重大，平方等于负数，负数本有无穷多，但只引入一个平方等于-1的数，就可以不变应万变，
难点3复数的代数一般形式
师：现在你们能写出方程x2+1=0解吗？方程x2+x+l=0的解呢？你还能写一些类似的数吗？这些数的共同形式？
生8：方程x2+1=0的解为x=i或x=-i；方程x2+x+1=0的解为x=-1/2+√3/2i或x=-1/2-√3/2i.这些数形式相同，都可以写成形如a+bi.
生9：就写成a+bi（a，b∈R）就行了，因为减法是加法的逆运算，可以转化为加法，
师：既然实数可以与虚数单位i进行四则运算，原有加、乘运算律仍然成立，这些数形式相同，都可以写成形如a+bi（a，b∈R）的数，我们把它们叫做复数，复数通常用字母z表示，其中a，b分别叫做复数z的实部与虚部，
设计意图学生可以自己归纳得出复数的代数一般形式，但是为什么复数的代数形式中只出现了加号和乘号？因为减法和除法是加法和乘法的逆运算，可以转化为加法和乘法，
难点4复数有什么特征？与实数的区别联系？
师：两个复数相等的条件？
生10：两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等，
师：试比较复数1+ 2i和2+i的大小，
全班讨论，得出结论，无法比较，复数由实部和虚部共同确定，
师：复数如何分类？
生11：当且仅当b=0时，复数z就是实数a；当b≠0时，复数z叫做虚数；当a=0且b≠0时，复数z=bi叫做纯虚数，
师：实数是特殊的复数，对于数的分类，其实每一次数系扩充时，都有所体现，类比、分类、系统化，数学思想一脉相承，融会贯通，
师：复数能构成数集吗？
生12：每个复数都是由有序实数对（a，b）唯一确定的，满足集合定义，构成复数集，
师：复数集用字母C表示，
师：复数集与其它数集之间的关系？
生12： N￠2￠Q￠R￠C.
设计意图从复数形式、复数相等、复数能否比大小，复数分类，等方面来体会复数的“二元特征”，“复数”的“复”正体现在此，复数对实数而言，是一次很大的“跨越”，从“一元数”变为“二元数”.
3数学应用
例1写出复数4，2-31，0，-1/2+4/3i，5+2i，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
不能因为例题的简单，就一带而过，要体现在具体情境下加深对复数概念的理解的价值，
例2实数m取什么数值时，复数z=m（m-1）+（m-l）i是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
注意例题的规范性、示范性，
例3已知（x+y）+（x-2yi=（2x-5）+（3x+y）i，其中x，y∈R，求x与y，
加深对复数“二元数”特征的理解.
4课堂小结
从实数集扩充到复数集，我们遇到了那些困难如何解决的？
5深化与拓展
（学生课后查阅相关资料，思考，交流）
（1）教材中为什么是“数系”的扩充，而不是“数集”的扩充？
完整的数的体系应该是指：数+运算，数系除了研究数集，还要研究相应的运算，运算法则和运算律才是数的本质所在，为什么要解方程？为什么方程无解需要引入新数？其实解方程的本质就是数的运算，所以不仅要注意数的扩充，还要从“运算”的角度进行强调，不仅研究复数集，还要研究复数运算.
（2） 21和i可以比大小吗？
再次深化理解复数的“二元数”特点，也为复数的几何意义做好铺垫.
（3）虚数是“虚构”吗？虚数客观存在吗？
这应该是本节内容学生最难克服的的认知障碍，数学来源生活，负数、分数、无理数（如：√2是边长为1的正方形对角线长度）在现实生活中都能找到，引入时学生很容易体会，这些新的数都不是随便虚构的，而是真实客观存在的，但虚数是否真的存在，是数学家们虚构出来的吗？复数在平时生活中很难找到模型，很难直接感知，复数其实有着重要的物理背景，早在18世纪，就有人把复数应用于流体动力学以及制作地图，到了20世纪，复数在物理学上的应用越加广泛，电工学利用复数表示交流电，量子力学中用复数表示波函数，此外，在空气动力学、弹性理论、位势理论、热流、静电通量、周期现象等方面都用到复数，但对于高中生来讲，非常深奥困难，对于有兴趣的学生，可以上网查阅提供相关资料，教师给予一定帮助.
（4）对于本节内容的学习，还有哪些疑问和想法？
例如：①实数集扩展到复数集后，很多函数的定义域是否也可以由实数集扩展到复数集？如y= sin（i），是否有意义？②复数集能否继续扩充？是否存在“三元数”？
课后反思一些问题可以不用每个学生都思考，也许只有极少数学生去思考，甚至没有学生思考，但是教师应该比学生想得多、想得深，高瞻远瞩，深思熟虑，做学生的引路人，
波利亞总结的“教师十诫”中提到：教师要对自己讲的课题有兴趣；要懂得自己讲的课题，[2]如果教师没有仔细研究过复数的历史和研究价值，没有弄清复数的来龙去脉和复数的本质，把教材中的“引入”和“规定”，看作像公理一样毋庸置疑，整个教学过程就会不可避免地带着“不求甚解”的意味，很大地制约了教师对新课标要求的把握和对教材内容的优化组织，所以一线数学教师应不断努力提高自身的数学素养，用适当的材料进行充分地准备，备好概念课的“难点”，引导学生抓住概念本质，培养学生理性严谨深度的思维.
参考文献
[1]李昌官.布卢姆认知目标新分类指导下的数学一数系的扩充与复数的概念教学设计[J].数学教育学报，2012，3（21）： 67-71
[2]乔治.波利亚.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授[M].北京：科学出版社， 2006
