初中数学实验的实施意义及案例研究

    王新华

    [摘? 要] 开展数学实验是数学课程标准的要求，它对于提高学生数学学习效率、培养学生解决问题能力、发现问题能力和创造能力等具有重要的意义. 为了充分发挥数学实验的优势，需要我们了解数学实验的特点，坚持问题引领，突出学生主体，合理地运用信息技术手段，提高数学实验效能. 实验设计既要注重知识复现型实验，又要开展问题探究型实验，并将数学实验与数学教学内容有机结合起来，从而不断地提高数学实验的有效性，让学生逐步学会数学学习，不断经历、体验知识形成的过程，享受创造的成功体验.

    [关键词] 数学实验;实施意义;案例研究

    初中数学实验的实施意义

    数学实验是数学教学的一个有机组成部分，一般采用测量、手工操作、制作模型等形式. 数学实验的开展，改变了初中数学课堂模态，让数学课堂从静态转向动态，也推动了数学实验实施方式的革命，体现出积极的意义[1].

    1. 数学实验是数学教学的一种有效方法

    数学实验实施的过程中，需要学生进行细致入微的观察，这样才能得出实验的结果，而且突出学生实验主体地位，使学生在数学实验中获得深刻的体验，因此无论是对于数学教师的教学，还是学生的数学学习，数学实验都是有效的方法之一.

    2. 数学实验是解决问题的最具体手段

    观察和实验（又称尝试，对数学学科而言似乎称为尝试更适合），它是发现与解决问题的最形象、最具体的手段之一. 然而，长期以来，有人认为数学是高度抽象和逻辑性极强的学科，不需形象和具体的思考和操作，推理证明才是数学的主旋律. 事实上，这种印象是片面的，越是抽象和复杂就越需要形象和具体的辅助与配合. 因此，开展数学实验、进行细致的实验观察具有重要作用. 20世纪最伟大的数学家约翰·冯·诺依曼（L·J·VonNeumann）指出“大多数最好的数学灵感来源于经验”. 从数学发展的意义上来说，数学作为一种源于社会实践的理性构造的学科，当它远离实践的经验之源而发展时，就会逐渐分化成为众多而又无前途的支流. 唯一的解决方法就是使其回到本源，返老还童. 这种观念，是数学家对数学的一种本质认识. 在数学学习与研究过程中，通过观察与实验，学生不仅能收集新材料和获得新知识，探究和解决新的问题，而且常常通过观察和实验导致数学的发现与理论的创新[2].

    3. 数学实验是发现和创造的必然路径

    数学知识的发现和数学创造性活动，离不开数学实验. 从数学实践来看，数学实验主要体现出如下层次：第一层次是获得数学新知识，强化学生数学知识习得;第二层次是借助数学实验验证新知识、数学理论，从而实现数学知识的自我消化吸收;第三层次是解决实际问题，学生通过数学实验尝试运用数学知识去解决生活中的实际问题;第四层次是創造. 例如，尺规作图一直是一个实验的过程，人类会作正三角形、正五边形和正十二边形，但是在作正七边形、正十一边形和正十七边形时却遇到了极大的困难. 这个历史难题被高斯在大学一年级时解决了. 当高斯告诉他的老师时，据说老师不相信，竟把高斯赶出了家门. 高斯不仅在实验的基础上完成了正十七边形的尺规作图，而且还进一步证明了这个定理：凡边数为费马素数（即22n+1为素数）的正多边形可用尺规作图，当边数是素数但不是费马素数时，这样的正多边形不能用尺规作图. 高斯的成功，不仅在于解决了正十七边形的尺规作图，更为奇妙的是，他把22n+1形的数与正多边形的尺规作图联系了起来.

    4. 数学实验在信息技术发展下表现出更大的优势

    20世纪电子计算机的发展，为数学的实验提供了更多的可能，实验的过程是探索的过程，是发现的过程. 数学实验是用来验证旧知识、探求未知知识和获取新知识的一种必不可少的手段. 计算机尤其是数学软件给数学实验提供了高效、准确、功能强大的实现方式，数学实验借助现代信息技术手段的支持，如计算机技术和数学软件，引导学生借助计算机和计算机软件等，进一步提高学生的数学素养，表现出更大的优势.

    5. 培养学生的思维能力和创造能力

    思维能力和创造能力是学生数学素养之一，这对于培养学生实践能力和运用数学解决实际问题的能力意义深远. 数学实验的开展则有助于培养学生的思维能力和创造能力. 它能够发挥粘合剂作用，将数学知识、数学建模、计算机的运用等，有机地融合起来，从而促进学生对数学知识、数学概念、数学公式等理解，而且能够提高学生对数学软件的掌握程度，促进数学知识和信息技术知识的有机融合，在跨学科之间建立起通道，提高学生运用计算机建模的能力，激活初中生数学创造能力.

    数学实验特点和基本类型

    掌握数学实验的基本特点，有助于我们根据数学实验特点，提高数学实验设计的科学性和有效性;掌握数学实验的基本类型，有助于丰富数学实验的种类，让数学实验从单一化走向多样化，凸显数学实验效能.

    1. 数学实验的一般特点

    通过对数学实验进行归纳分析，数学实验主要表现为以下几个特点：

    （1）以问题为载体.数学实验的开展，一般会借助问题为载体，通过设计问题引导学生进行思考，进而通过数学实验去验证思考，获取数学知识;其次，通过实验寻求问题解决的路径. 学生通过数学实验，检视方法和路径的可行性.

    （2）以学生为主体.数学实验改变传统数学教学现状，不是由教师简单的演示，而是让学生去实验，给学生创造动手、动脑、动嘴的机会. 教师发挥主导作用，对学生实验的过程进行观察，及时地给予适时的引导，最终促进学生数学素养的发展.

    （3）以技术为支持.信息化时代，在初中数学实验过程中，数学实验改变传统模式，善于利用信息技术优势，主要是计算机技术和各种形式的数学软件，从而使数学实验更加直观，使一些高难度的数学实验的开展成为可能，大大地提高了数学实验的有效性.

    2. 数学实验的基本类型

    传统数学课堂教学，陷入了程式化教学泥潭，主要是教师进行系统化的讲解，学生被动接受，然后通过大量的练习加以巩固，最后在借助复习和考试中加以强化，并检视学生数学学习效果. 这种程式化的数学教学模式，显然还处于教师一言堂的现状，学生主体地位得不到充分的尊重，数学实验则不然. 数学实验在发展的过程中，实验类型越来越丰富，有效地激发学生数学学习的积极性. 综合当前实施的数学实验，主要包括以下几种基本类型：

    （1）知识再现型.所谓知识再现型实验，主要以复现知识为目的，属于数学实验的低级层次. 学生通过数学实验，还原数学知识形成的过程，从而理解数学知识的意义，完成对数学知识的再现. 通过数学实验，改变传统数学知识教学现状，变传统的灌输式教学为学生主动建构. 例如，初中数学“勾股定理”的教学，理解勾股定理是运用定理的关键，为了帮助学生理解这一定理，我们可以先介绍勾股定理的相关知识，包括起源、证明资料等，再给学生自主选择的机会，学生通过数学实验，亲历知识形成的过程，对勾股定理的理解就会更加深刻.

    （2）问题探究型.这一类数学实验以问题为驱动，以解决问题为目的，在教师的引导下，学生借助特定的问题情境，开展数学实验，在实验过程中，学生主动去发现问题，进行动手实践，不断将实验推向深入[3]. 问题探究型教学设计指以问题探究为主要形式的教学设计，旨在通过问题探究形式使学生获取知识，获得体验，掌握方法，发展能力. 这种类型的教学设计多适用于数学、自然、科学等学科. 数学问题探究型实验，要充分发挥学生在数学实验中的主动性，让学生积极探究，才能达到实验的目的. 因此，问题性和探究性是其鲜明的特征. 问题探究的有效手段可以是观察、测量、实验等动手操作的活动形式，也可以是调查、搜集等材料分析处理的形式. 这就要求教师在设计此类型的教学时，多采用活动的形式，以活动为载体设计教学.

    问题探究型的教学过程一般分为以下三个阶段：创设问题情境，诱发问题;多途径活动探究;交流探究成果，形成技能.

    作为一般数学实验课，其学习方法是：

    ①确定问题，决定准备做什么，说明目的.

    ②思考解决问题的方法，制订一个计划，找出达到目的的不同方法.

    ③取得对于解题也许有用的材料，实现你的计划，找出典型、关系和概括，想办法发现，寻找不同方法，收集情况.

    ④得出结论，回答问题，解题，分析结论，陈述你的发现.

    ⑤分析和评价你的方法和过程. 比较不同的方法，评价你的发现，寻找你所发现的内容之间的关系.

    例如，“等式性质”“不等式性质”以及“二元一次方程”等教学内容，可以利用天平实验等，把天平置入教室，让学生亲眼所见，体验这些性质的来龙去脉，将抽象的数学知识化解为具体可感知的东西，让学生感到十分熟悉，让学生感到这些数学就在自己的身边.

    初中数学实验的案例

    案例1? “无理数”教学实验.

    实验器材：剪刀、边长为1的正方形纸片2张、计算器等.

    实验过程：要求剪拼面积为2的正方形，小组合作. 提问：拼得的正方形面积为2，估计正方形的边长大约是多少？在哪两个整数之间？能不能用整数、分数等来表示？学生小组内开始操作. 能用分数表示吗？

    实验结论：剪拼的面积为2的正方形边长不是一个整数，也不能用分数来表示，但是这个边长的确存在. 有理数之外还有一类数，引出概念“无理数”.

    实验小结：剪拼图形操作相对而言比较简单，拼出的正方形也比较美觀. 但是揭示所剪出的面积为2的正方形的边长时，学生遇到了相当大的困难. 有的学生说边长是2，教师让学生用计算器验证，结果面积是4;有的学生说边长应该比2小，但是比1大，因为边长为1的正方形的面积是1. 于是教师让学生在小组内继续用计算器进行验证. 边长分别为1.8，1.6，1.5等都不行，面积都比2大. 但当输入边长为1.4时，面积为1.96，比2小. 事实上找不到一个有理数的，使它的平方刚好等于2. 在学生倍感焦急时，强调无理数的出现，即=1.414…是一个无限的不循环小数.

    当然，数学实验离不开教师的有效指导. 例如，给学生提供圆规、量角器和作图纸，他们就能发现平面几何中关于平行线的定理. 下列的一般问题和建议可以作为他们探索的指导：①考虑两条平行线和一条截线所构成的各角之间的关系;②你也许要用一个量角器度量这些角去比较它们，或者你可以作出由一条截线所截的平行线，然后用剪子把其中一个角剪下来，放在其他角上作比较;③当截线和其中的一条直线垂直时，你能得出什么结论？④假设不平行的两条直线被一条截线所截，所构成的各角之间有什么样的关系？⑤根据你的探索，你能否陈述什么命题？用它详细说明了使直线平行所必须满足的什么条件？ ⑥你是否认为你的每个命题的逆命题是另一个真实命题？

    案例2? “四边形的内角和”数学实验.

    实验器材：形状不同的四边形纸片若干张.

    实验目标：验证四边形内角和是一个确定的值.

    实验过程：小组操作：小组一，撕下一个四边形的4个内角，将其四个顶点拼在一起，观察以顶点为中心的角的度数;小组二，沿四边形的对角线剪开为2个三角形，观察并思考2个三角形6个内角的和;小组猜测：四边形的内角和是360°. 小组证明：将该题写出已知、求证的题目、证明过程.

    实验结论：四边形内角和是一个确定的值，即360°.

    仍以“勾股定理”教学为例，在教学勾股定理之前，我们先不讲解勾股定理，而是先让学生操作一个实验：利用数学几何画板，让学生设计一个直角三角形，再引导学生分组开展学习活动，量出三角形的三条边的长度;然后，让学生拖拽三个顶点，在实验过程中，要保持三角形的直角不变. 实验结束后，让学生对实验数据进行比较，分析得出三角形的三边的平方存在怎样的关系. 通过学生的实验，学生自然地得出了勾股定理，这一结论的形成，要比教师直接给出勾股定理的效果明显.

    再如，“相似三角形的应用”一课的教学，如果教师改变传统数学教学思想，采用数学实验的方式，让学生设计一种方案，运用最少的工具，去测量出旗杆的高度. 在得出方案后，再借助数学实验去验证数学实验方案的可行性. 通过数学实验，不同能力层次的学生，基本上都能够轻松地得出结论，而且参与数学学习的积极性会较大提高.

    结语

    总之，数学实验是提高初中数学教学有效性、培养学生数学素养的重要路径. 数学实验设计过程中，教师要准确把握数学实验的一般特点和基本类型，从而将数学实验与学生学情实际有机地结合起来，借助学生既有的数学经验和知识储备，优化数学教学设计，通过“动手实验──收集数据──分析数据──实验思考──得出结论”等教学环节，在数学实验过程中让学生充分体验数学认知的全过程，让学生大胆地去质疑、去猜想，进而借助数学实验去验证、去引申，将数学教学推向一个新的高度[4].

    参考文献：

    [1]李太新.? 谈谈数学实验在中学数学教学中的作用[J].? 数学通报， 2001（10）.

    [2]黎雁. “数学实验”是提高学生数学素质的好方法[J]. 天津职业院校联合学报，2002（04）.

    [3]孙朝仁. 数学实验：基于“做”的学习方式[J]. 江苏教育，2016（10）.

    [4]翟立安. 让数学实验成为数学思维的“催化剂”——谈谈数学实验的必要性和有效性[J]. 中学数学，2009（14）.