渗透数学文化 发展核心素养
林京榕
数学文化在培养学生数学素养的教育中扮演着重要角色，如何把数学文化渗透到日常教学中，“润物细无声”般地让学生受到数学文化的熏陶，在发挥数学文化育人功能的同时，追求学生核心素养的发展，是每一位数学教师都必须直面的问题，笔者依托《数系的扩充和复数的概念》的教学设计与实施，对上述问题进行了探讨，取得了较好的效果，现将教学设计与同行进行交流.
1教学设计意图
数系的扩充和复数的概念是高中数学教材中典型的富有浓厚数学思想与文化的内容，复数概念的发展具有丰富的历史背景，涉及到数学中类比、抽象、符号化等重要的数学思想，是典型的数学抽象过程，是向学生渗透数学文化的最好契机.
1.1教材分析
数系的扩充过程体现了数学的发现和创造，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充.本节课学习内容的核心教育价值是理解复数的基本概念和感受数系扩充的数学文化，认识到数学产生和发展既来自于外部的动力，也来自数学内部的动力，形成正确的数学观.
1.2学情分析
在学习本节之前，学生已学过实数，理解各种数集之间的包含关系，但对数的发展历史和生成规律还缺乏整体认识与理性思考.本节课学生的学习困难主要表现在：为什么要引入i？如何引i？i是什么？
1.3教学任务
本节课的核心教学任务是在问题情境中引导学生了解数系的扩充过程与复数的概念，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用.引导学生通过类比发现和提出问题，渗透数系扩充的基本思想.
1.4教学目标
（1）学生通过具体问题情境感受引入复数的必要性，类比实数系的扩充过程实现复数系的扩充，感受类比思想在数学研究中的重要作用.
（2）在复数概念的形成阶段，通过提供典型丰富的具体例证，让学生进行属性的分析、比较、综合，归纳，培养数学抽象素养、逻辑推理素养；
（3）理解复数的基本概念，引导学生用准确的数学语言描述（文字的、符号的），培养严谨的数学思维.
1.5教学重点
充分展现从实数系到复数系的扩充过程，理解复数的基本概念.
1.6教学难点
数系扩充的基本思想及虚数单位i的理解.
2教学过程设计
情境导入教师讲授无理数的发现过程，引发学生对数系扩充过程的兴趣.
（一）概念引入
问题1数学家Cardan在《重要的艺术》（1545年）中出了这么一个题目：把10分成两部分，使其乘积为40.
他按照自己的习惯，设其中一部分为x.列出方程x（10-x）=40.但求出的根令他大为不解，甚至感到有些恐慌，你知道这是为什么吗？
师生活动：因为方程x（10-x）=40，即X2-10x+40 =0在实数集内无解，虽然我们认为不可能的，但卡尔丹却自豪地认为，他找到了解决方法，那就是10=（5+√一15）（5-√15），40=（5+√-15）（5-√-15），但卡爾丹写得并不轻松，“不管良心受到多大的责备”也要写出这两个怪东西，而且发现它们的之和为10，之积为40，正是要找的数.
你认为√-15能作为“数”吗？它表示什么意义？
设计意图一是激发学生学生自己发现问题——在实数范围内无法做到，产生认知冲突；二是充分暴露数学家的思维过程，
问题2根据已有经验，你认为怎么办就可以解决Cardan的问题？回顾数系经历了哪几次扩充？每一次扩充分别解决了哪些问题？
师生活动让学生充分交流、合作、讨论，感受到每一次扩充都要引入新数，与此同时，感受到数系扩充是社会发展的需要，如计数、平均分配、测量等，同时也是数学内部发展的需要，如：不够减了、不能整除了、不能总可以开方了等，特别强调：在正数范围内，方程x+2=0有解吗？我们是怎样让它有解的？类似地，在有理数范围内，X2=2有解吗？我们又是怎样让它有解的？
设计意图一是帮助学生重新建构数集的扩充过程，即自然数集一整数集一有理数集一实数集，并能提炼出数系扩充的一般原则.这是本节课知识的生长点，二是使学生从（x - 5）2= -15出发，自然想到只要“负数开方”行得通，这样的方程就能解了.
问题3（）2=-15=15×（-l）.
设计意图教师引领学生再现卡当问题，将问题转化为求x2=-1有解.
教师讲授i的引入历史.简略介绍意大利数学家邦贝利给出了虚数单位与实数的四则运算；强调在进行四则运算时原有的加法与乘法的运算律（包括交换律、结合律和分配律）仍然成立.
（二）概念形成
问题4在成功地引入i后，请说出方程X2=-1的解？你能写出卡当要找的数吗？根据以往的经验，我们希望i能与实数一起进行运算，你觉得会产生哪些类型的新数？ 设计意图让学生自己“创造”出2i，31，2+3i，2-3i，-i，……
追问1这些“新数”能用一种统一的形式表示吗？
追问2如果把实数与i进行加、乘后得到的数集记作C，那么实数集R与集合C有什么关系？
设计意图引导学生进行抽象，得出这种“新数”的一般符号表示a+bi（其中a，b为实数），感受为什么把集合{a+bi|a，b∈R}作为实数集扩充后的新数集，并得出实数集R是C的子集.
（三）概念固化
（1）复数的定义；（2）复数的表示；（3）复数的分类；（4）复数集，
问题5阅读教科书（人教版选修2-2第103页第一、二自然段），复数的基本概念有哪些？
师生活动学生自主完成复数的概念学案，教师介绍“复数”的概念，“实部”、“虚部”的概念及概念中的注意点，并简单介绍德国著名数学家高斯首先给出了复数的概念.
设计意图由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式，初步理解复数概念，培养学生抽象概括能力.
问题6形如a+bi（a，b，∈R）一定是虚数吗？那么什么情况下是实数呢？有没有比虚数更简单的虚数？
师生活动学生经历对a+bi中，a，b是否为零的讨论的全过程，
设计意图引导学生由实数a，b的不同取值对复数进行分类，从而深化复数的概念，攻克本节课的重点.
问题7请你说出下列集合之间的关系：N，Z，Q， R，C.
教师结合PPT简单介绍复数的发展历史，
设计意图采用概念同化的方式完善认知结构，用符号语言重现数系扩充的过程，像树的年轮一样的生长.通过向学生介绍复数的发展史，说明虽然现在看来简单的数系，但它的发展却历经艰难与艰险.数学的发展如同数系的发展需要经历几代数学家付诸于长时间的努力与毅力才能得到完善，通过暗线的设置顺利地完成了本节课的情感态度价值观的教学目标.
（四）概念应用
问题8实数m取什么值时，复数z=m2-1+（m-1）i？
A.实数 B.虚数 C.纯虚数
设计意图让学生熟悉复数的分类标准，在解决问题的过程中内化复数的有关概念，
问题9在复数范围内，一元二次方程ax2+ bx+c=0（a≠0）解的情况如何？
设计意图首尾呼应，要让学生自始自终地参与这一探索过程，激发学生创造思维的发展.
（五）回顾反思
问题10请大家谈谈我们这堂课学习了哪些知识？运用了哪些思想？又有哪些体验和感悟呢？
其中，教师结合PPT展现复数在数学、力学、电学及其他学科中的应用，例如，利用i2=一1由它所创造的复变函数理论，成为解决电磁理论、航空理论、原子能及核物理等尖端科学的数学工具，让学生明白知识是什么？知识为什么？知识可怎么样？知识有什么用？
设计意图对于数系扩充过程方面以及复数实质理解方面的收获进行小结
（六）布置作业（略）
3教学反思
3.1数学文化的传播是自然流淌的
数学文化的渗透以数学思想方法为主要载体.本节课的教学思路，就是通过引导学生再创造复数概念来渗透数学文化，本节课的主要数学思想方法是类比，
首先，类比“自然数一有理数一实数”的扩充过程，教师从数学概念体系的发展要求和解决实际问题的需要出发，阐述数系扩充的历史、原则与方法，引导学生从实数及其运算中得到启发，自然地提出数系如何扩充、扩充應研究哪些问题，学生借助具体事例，再创造复数概念，感受类比在数学研究中的重要作用，感悟数学对人类及社会发展的价值.
其次指导学生类比方程X2-2=0来解X2+1=0.再次，指导学生类比a+b√2（a，b∈Q）探讨a+bi（a，b∈R）.
本节课的另一数学思想是分类.教师指导学生对复数进行分类、在复数范围内分类解一元二次方程ax2+ bx+c=O（a≠0）.学生在思考数学中，自然实现了数学文化的熏陶，
数学文化的渗透，以数学参与为主要途径.在概念引入环节，教师通过问题1～问题3的设置，从学生已有的知识基础出发，再现历史上数学家卡当的问题，让学生经历与数学大师一起发现问题、思考问题、解决问题的过程，感受到数学家就在自己的身边，数学大师并不神秘，他们也曾有解不开的难题；在虚数单位i引入环节：让学生追随数学大师的足迹一步一步接近复数与虚数，慢慢地揭开复数与虚数的神秘面纱，小小的“i”硬是经过了两个世纪的努力才被人接受；数学发现并不神秘，大师们通常是在别人习以为常的现象中发现新问题并穷追不舍的精神，
数学的统一性是数学的价值追求，是数学文化的重要体现.在本堂课中，学生体会复数是包含实数的更大数系，体验了数学的统一性.学生归纳出复数的代数表示形式，体验数学的统一性，公式eiπ+1=0则向学生展现了数学的统一性.
3.2数学核心素养的发展是水到渠成的
数学核心素养的发展，自然体现在学生的再创造复数过程中，复数概念的发现过程是典型的数学抽象过程.学生通过再创造复数概念，培养了数学抽象素养.本节课从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要（社会需要、运算需要、求解方程需要）出发，构建问题情境1～3，提供契机让学生思考每一次数系扩充的主要原因是什么？每一次扩充遵循哪些规律？启发学生从具体问题中提出实数扩充问题，指导学生从历次数系扩充过程中抽象出数系扩充的主要研究问题：引入一个新的数，就要定义其运算；定义一种运算，就要研究其运算律.进一步指导学生抽象出数系扩充的基本原则：使算术的运算律保持不变.引导学生在问题指引下，逐步抽象出“虚数单位”i，探讨i的运算及性质，在构建复数有关概念这一核心环节中，通过设置问题4—问题9，引领学生合乎情理地建构新知.其中问题4的追问具有概括性、抽象性和挑战性，为攻克“复数的代数形式为z=a+bi（a，b∈R）”这一难关奠定基础.学生在上述问题的引导下，有充分的从具体进入抽象规定的独立认识机会，发展数学抽象核心素养.
数学文化在培养学生数学素养的教育中扮演着重要角色，如何把数学文化渗透到日常教学中，“润物细无声”般地让学生受到数学文化的熏陶，在发挥数学文化育人功能的同时，追求学生核心素养的发展，是每一位数学教师都必须直面的问题，笔者依托《数系的扩充和复数的概念》的教学设计与实施，对上述问题进行了探讨，取得了较好的效果，现将教学设计与同行进行交流.
1教学设计意图
数系的扩充和复数的概念是高中数学教材中典型的富有浓厚数学思想与文化的内容，复数概念的发展具有丰富的历史背景，涉及到数学中类比、抽象、符号化等重要的数学思想，是典型的数学抽象过程，是向学生渗透数学文化的最好契机.
1.1教材分析
数系的扩充过程体现了数学的发现和创造，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充.本节课学习内容的核心教育价值是理解复数的基本概念和感受数系扩充的数学文化，认识到数学产生和发展既来自于外部的动力，也来自数学内部的动力，形成正确的数学观.
1.2学情分析
在学习本节之前，学生已学过实数，理解各种数集之间的包含关系，但对数的发展历史和生成规律还缺乏整体认识与理性思考.本节课学生的学习困难主要表现在：为什么要引入i？如何引i？i是什么？
1.3教学任务
本节课的核心教学任务是在问题情境中引导学生了解数系的扩充过程与复数的概念，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用.引导学生通过类比发现和提出问题，渗透数系扩充的基本思想.
1.4教学目标
（1）学生通过具体问题情境感受引入复数的必要性，类比实数系的扩充过程实现复数系的扩充，感受类比思想在数学研究中的重要作用.
（2）在复数概念的形成阶段，通过提供典型丰富的具体例证，让学生进行属性的分析、比较、综合，归纳，培养数学抽象素养、逻辑推理素养；
（3）理解复数的基本概念，引导学生用准确的数学语言描述（文字的、符号的），培养严谨的数学思维.
1.5教学重点
充分展现从实数系到复数系的扩充过程，理解复数的基本概念.
1.6教学难点
数系扩充的基本思想及虚数单位i的理解.
2教学过程设计
情境导入教师讲授无理数的发现过程，引发学生对数系扩充过程的兴趣.
（一）概念引入
问题1数学家Cardan在《重要的艺术》（1545年）中出了这么一个题目：把10分成两部分，使其乘积为40.
他按照自己的习惯，设其中一部分为x.列出方程x（10-x）=40.但求出的根令他大为不解，甚至感到有些恐慌，你知道这是为什么吗？
师生活动：因为方程x（10-x）=40，即X2-10x+40 =0在实数集内无解，虽然我们认为不可能的，但卡尔丹却自豪地认为，他找到了解决方法，那就是10=（5+√一15）（5-√15），40=（5+√-15）（5-√-15），但卡爾丹写得并不轻松，“不管良心受到多大的责备”也要写出这两个怪东西，而且发现它们的之和为10，之积为40，正是要找的数.
你认为√-15能作为“数”吗？它表示什么意义？
设计意图一是激发学生学生自己发现问题——在实数范围内无法做到，产生认知冲突；二是充分暴露数学家的思维过程，
问题2根据已有经验，你认为怎么办就可以解决Cardan的问题？回顾数系经历了哪几次扩充？每一次扩充分别解决了哪些问题？
师生活动让学生充分交流、合作、讨论，感受到每一次扩充都要引入新数，与此同时，感受到数系扩充是社会发展的需要，如计数、平均分配、测量等，同时也是数学内部发展的需要，如：不够减了、不能整除了、不能总可以开方了等，特别强调：在正数范围内，方程x+2=0有解吗？我们是怎样让它有解的？类似地，在有理数范围内，X2=2有解吗？我们又是怎样让它有解的？
设计意图一是帮助学生重新建构数集的扩充过程，即自然数集一整数集一有理数集一实数集，并能提炼出数系扩充的一般原则.这是本节课知识的生长点，二是使学生从（x - 5）2= -15出发，自然想到只要“负数开方”行得通，这样的方程就能解了.
问题3（）2=-15=15×（-l）.
设计意图教师引领学生再现卡当问题，将问题转化为求x2=-1有解.
教师讲授i的引入历史.简略介绍意大利数学家邦贝利给出了虚数单位与实数的四则运算；强调在进行四则运算时原有的加法与乘法的运算律（包括交换律、结合律和分配律）仍然成立.
（二）概念形成
问题4在成功地引入i后，请说出方程X2=-1的解？你能写出卡当要找的数吗？根据以往的经验，我们希望i能与实数一起进行运算，你觉得会产生哪些类型的新数？ 设计意图让学生自己“创造”出2i，31，2+3i，2-3i，-i，……
追问1这些“新数”能用一种统一的形式表示吗？
追问2如果把实数与i进行加、乘后得到的数集记作C，那么实数集R与集合C有什么关系？
设计意图引导学生进行抽象，得出这种“新数”的一般符号表示a+bi（其中a，b为实数），感受为什么把集合{a+bi|a，b∈R}作为实数集扩充后的新数集，并得出实数集R是C的子集.
（三）概念固化
（1）复数的定义；（2）复数的表示；（3）复数的分类；（4）复数集，
问题5阅读教科书（人教版选修2-2第103页第一、二自然段），复数的基本概念有哪些？
师生活动学生自主完成复数的概念学案，教师介绍“复数”的概念，“实部”、“虚部”的概念及概念中的注意点，并简单介绍德国著名数学家高斯首先给出了复数的概念.
设计意图由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式，初步理解复数概念，培养学生抽象概括能力.
问题6形如a+bi（a，b，∈R）一定是虚数吗？那么什么情况下是实数呢？有没有比虚数更简单的虚数？
师生活动学生经历对a+bi中，a，b是否为零的讨论的全过程，
设计意图引导学生由实数a，b的不同取值对复数进行分类，从而深化复数的概念，攻克本节课的重点.
问题7请你说出下列集合之间的关系：N，Z，Q， R，C.
教师结合PPT简单介绍复数的发展历史，
设计意图采用概念同化的方式完善认知结构，用符号语言重现数系扩充的过程，像树的年轮一样的生长.通过向学生介绍复数的发展史，说明虽然现在看来简单的数系，但它的发展却历经艰难与艰险.数学的发展如同数系的发展需要经历几代数学家付诸于长时间的努力与毅力才能得到完善，通过暗线的设置顺利地完成了本节课的情感态度价值观的教学目标.
（四）概念应用
问题8实数m取什么值时，复数z=m2-1+（m-1）i？
A.实数 B.虚数 C.纯虚数
设计意图让学生熟悉复数的分类标准，在解决问题的过程中内化复数的有关概念，
问题9在复数范围内，一元二次方程ax2+ bx+c=0（a≠0）解的情况如何？
设计意图首尾呼应，要让学生自始自终地参与这一探索过程，激发学生创造思维的发展.
（五）回顾反思
问题10请大家谈谈我们这堂课学习了哪些知识？运用了哪些思想？又有哪些体验和感悟呢？
其中，教师结合PPT展现复数在数学、力学、电学及其他学科中的应用，例如，利用i2=一1由它所创造的复变函数理论，成为解决电磁理论、航空理论、原子能及核物理等尖端科学的数学工具，让学生明白知识是什么？知识为什么？知识可怎么样？知识有什么用？
设计意图对于数系扩充过程方面以及复数实质理解方面的收获进行小结
（六）布置作业（略）
3教学反思
3.1数学文化的传播是自然流淌的
数学文化的渗透以数学思想方法为主要载体.本节课的教学思路，就是通过引导学生再创造复数概念来渗透数学文化，本节课的主要数学思想方法是类比，
首先，类比“自然数一有理数一实数”的扩充过程，教师从数学概念体系的发展要求和解决实际问题的需要出发，阐述数系扩充的历史、原则与方法，引导学生从实数及其运算中得到启发，自然地提出数系如何扩充、扩充應研究哪些问题，学生借助具体事例，再创造复数概念，感受类比在数学研究中的重要作用，感悟数学对人类及社会发展的价值.
其次指导学生类比方程X2-2=0来解X2+1=0.再次，指导学生类比a+b√2（a，b∈Q）探讨a+bi（a，b∈R）.
本节课的另一数学思想是分类.教师指导学生对复数进行分类、在复数范围内分类解一元二次方程ax2+ bx+c=O（a≠0）.学生在思考数学中，自然实现了数学文化的熏陶，
数学文化的渗透，以数学参与为主要途径.在概念引入环节，教师通过问题1～问题3的设置，从学生已有的知识基础出发，再现历史上数学家卡当的问题，让学生经历与数学大师一起发现问题、思考问题、解决问题的过程，感受到数学家就在自己的身边，数学大师并不神秘，他们也曾有解不开的难题；在虚数单位i引入环节：让学生追随数学大师的足迹一步一步接近复数与虚数，慢慢地揭开复数与虚数的神秘面纱，小小的“i”硬是经过了两个世纪的努力才被人接受；数学发现并不神秘，大师们通常是在别人习以为常的现象中发现新问题并穷追不舍的精神，
数学的统一性是数学的价值追求，是数学文化的重要体现.在本堂课中，学生体会复数是包含实数的更大数系，体验了数学的统一性.学生归纳出复数的代数表示形式，体验数学的统一性，公式eiπ+1=0则向学生展现了数学的统一性.
3.2数学核心素养的发展是水到渠成的
数学核心素养的发展，自然体现在学生的再创造复数过程中，复数概念的发现过程是典型的数学抽象过程.学生通过再创造复数概念，培养了数学抽象素养.本节课从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要（社会需要、运算需要、求解方程需要）出发，构建问题情境1～3，提供契机让学生思考每一次数系扩充的主要原因是什么？每一次扩充遵循哪些规律？启发学生从具体问题中提出实数扩充问题，指导学生从历次数系扩充过程中抽象出数系扩充的主要研究问题：引入一个新的数，就要定义其运算；定义一种运算，就要研究其运算律.进一步指导学生抽象出数系扩充的基本原则：使算术的运算律保持不变.引导学生在问题指引下，逐步抽象出“虚数单位”i，探讨i的运算及性质，在构建复数有关概念这一核心环节中，通过设置问题4—问题9，引领学生合乎情理地建构新知.其中问题4的追问具有概括性、抽象性和挑战性，为攻克“复数的代数形式为z=a+bi（a，b∈R）”这一难关奠定基础.学生在上述问题的引导下，有充分的从具体进入抽象规定的独立认识机会，发展数学抽象核心素养.
