基于APOS理论下数学史融入一元二次方程概念教学设计

    张敏 李军 孙迪

    [摘 ?要] APOS理论是一种建构主义学习理论，它不仅指明了学生学习数学概念的过程是分为四个阶段的，而且还指导教师如何进行数学教学.文章在APOS理论指导下，以数学史融入一元二次方程概念教学为例，详细地解释了在APOS理论指导下数学概念教学的每个环节，旨在推广APOS理论在实际教学中对于概念教学的应用.

    [关键词] APOS理论;一元二次方程;教学设计

    数学具有广泛的应用性，在现实生产生活中往往需要用到数学知识解决问题，而能够熟练运用数学知识的前提是对于数学基本概念的理解和掌握;此外，数学又具有高度的抽象性，因此对于数学概念的理解和掌握又是十分困难的.对于数学概念的教学《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，抽象数学概念的教学，要关注概念的形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式，还应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过观察、探索、猜测、交流、反思等活动逐步体会数学知识的意义，获得积极的情感体验，发展应用数学知识的意义[1].

    APOS理论概述？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

    20世纪80年代，美国著名教育学家杜宾斯基等人根据皮亚杰的学习理论提出，任何一个数学教育中的理论或模型都应该致力于对“学生是如何学习数学的”及“什么样的教学计划可以幫助这种学习”的理解，基于这个观点杜宾斯基等人建立了APOS理论[2]. APOS理论深入地研究了学生学习数学概念过程中的思维活动，真实地反映了数学知识形成的规律性，这在教学活动中则为教师如何进行数学教学提供了一种具体而实用的教学策略. APOS理论提出数学概念的形成要经过“活动（action）”、“过程（processes）”、“对象（objects）”和“图式（schemas）”4 个阶段.

    第一阶段：活动（action）阶段

    活动阶段（也称为操作阶段）相当于观察、呈现数学概念的本质阶段. 在这个阶段，教师通过具体的活动让学生像数学家们一样亲身感受现实背景和概念之间的关系，让学生通过实际的活动来获得知识. 但这种活动并不仅仅是做游戏、做手工、观察实验，它还需要进行实际的操作演算以及个体在活动中的反思和归纳，将活动中观察到的东西转化为我们需要的知识. 例如，通过现实情景学生发现存在一类整数方程，它们只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，这个过程就是活动.

    第二阶段：程序（processes）阶段

    程序阶段（也称为过程阶段）. 当活动阶段的刺激不断重复，学生不断反思，学生就会在大脑中自发地进行心理建构，他们会尝试概括或者描述活动阶段感知到的内容. 比如，在程序阶段学生会尝试给一元二次方程下定义或者是尝试找到它的一般形式来表示它. 此时的概括或者描述还是浅显的，不完善的，和其他知识相孤立.

    第三阶段：对象（objects）阶段

    在对象阶段学生能更深层次地认识到概念的本质特征，能用数学语言准确地概括或者描述概念，即将概念进行数学化. 例如：会用ax2+bx+c=0这个一般形式表示一元二次方程，并且知道当二次项系数a=0时，方程变为一元一次方程;当二次项系数a≠0，一次项系数b=0或者常数项c=0时，方程变为一元二次方程的两种特殊形式ax2+c=0或ax2+bx=0.

    第四阶段：图式（schemas）阶段

    当学生经历了活动、程序、对象这几个阶段后，在他自己头脑中就会将新知识与原有认知结构进行整合从而产生新的图式. 当学生头脑中构建出新的图式后，他就能利用这个图式很好地区分概念的内涵和外延，能清晰地知道新的概念与其他相关知识之间的联系. 例如，对于“一元二次方程”概念的理解在图式阶段包含具体的一元二次方程实例、抽象出概念的过程、一元二次方程完整的定义，一元二次方程和一元一次方程、二次函数等概念的联系与区别.

    一般情况下APOS理论的这四个阶段是循序渐进、循环上升的，但是图式并不是经历一次教学活动就能完成的，要在学生头脑中建立一个完善的图式通常要经过长期不断的数学学习活动.

    数学史融入数学教学的意义

    数学史融入数学教学架起了两座桥梁，一座沟通了数学与人文，一座沟通了历史与现实. 数学史融入数学教学可以呈现知识的和谐，让学生感受到数学知识的来源，同时展现文化的魅力，让数学课堂彰显人性的光芒和浸润文化的芬芳，有助于培养学生的人文素养.

    下面以北师大版初中数学“一元二次方程”概念教学为例介绍APOS理论指导下的数学史融入概念课教学的设计.

    APOS理论指导下数学史融入一元二次方程概念教学设计

    一元二次方程是初中数学的主要内容之一，在初中数学中占重要地位，一方面，一元二次方程的学习，是对一元一次方程及不等式知识的延续和深化，也是今后学习一元二次不等式、二次函数等知识的基础. 另一方面，一元二次方程的学习对于物理、化学等学科的学习也有重要意义，如物理中变速运动问题的解决就需要借助于一元二次方程.

    教学目标：

    知识与技能：理解并掌握一元二次方程的概念及一般形式，会把一个一元二次方程化为一般形式，并准确地判断出一元二次方程的各项与系数. 通过本节课的学习，培养学生分类、类比、归纳和概括能力.

    过程与方法：本节课将通过APOS理论的指导设计教学活动，让学生一步步经历现实背景中抽象出一元二次方程的概念的过程.

    情感态度与价值观：通过本节课的学习感受到数学历史的悠远和数学知识的趣味.

    教学重点：一元二次方程概念的理解.

    教学难点：从实例中抽象概括出一元二次方程的概念.

    教学过程：

    1. 创设问题情景，让学生在实际情境中感知对象（活动阶段）.

    19世纪上半叶，考古学家在美索不达米亚地区挖掘出大约50万块刻有楔形文字的泥板书. 这些泥板书跨越巴比伦历史许多时期，其中有300多块载有数学表和一些数学问题.一块古巴比伦泥板书上记载了这样一个问题：正方形的面积与边长之和为，求正方形的边长.你知道古巴比伦人是怎么计算出正方形边长的吗？[3]

    如果上面的问题大家觉得有困难，我们不妨先来看看下面这道课本上的题：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米.如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？[4]

    对于上述两个问题，学生不难设出未知数，根据等量关系列得方程：x2+x=和x2+12x-15=0.

    此时，学生就会发现这两个方程是他们不熟悉的，但是它们又是真实存在的.

    2. 自主探究，深入分析和感知对象，概括出对象的特征（程序阶段）.

    由上面的问题我们得到两个方程x2+x=和x2+12x-15=0.请你观察这两个方程说一说你观察到什么？

    请思考这两个方程与3x=15和2x=1有什么区别？与3x+2y=15和5x+3y=24有什么区别？你能举两个相似的例子吗？

    设计意图 通过与一元一次方程和二元一次方程的对比，学生明确一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程的区别，经过逐层思考，不断反思，概括出一元二次方程的本质特征：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次.在此基础上教师再提出问题“根据新方程的特征，你能给上面的新方程取个名字吗？”引导学生将他们脑海中描述性语言数学化.

    3. 合作交流，概括出数学对象的概念，并将其符号化（对象阶段）.

    请再一次观察方程x2+x-=0，x2+12x-15=0的结构特征，你能说出这类方程的一般形式吗？

    学生已经学习过一元一次方程，对于方程的“一般形式”并不陌生，通过类比一元一次方程一般形式的学习，学生能够找到一元二次方程的一般形式. 但是，在学生回答的基础上应进一步引导学生思考，在一般形式ax2+bx+c=0中，

    （1）a，b，c是已知數，还是未知数？

    （2）常数a能等于零吗？你能说出理由吗？

    （3）常数b和c能等于零吗？你能说明理由吗？

    设计意图 经历上面的环节，学生能更深刻地明白一元二次方程的一般形式中a，b，c均为常数，且二次项系数a≠0.若a=0，则方程变为一元一次方程，但是一次项系数b和常数项c可以为零，当b=0时方程变为特殊形式ax2+c=0，当c=0时方程变为另一种特殊形式ax2+bx=0，这一环环的思考能帮助学生更深刻认识一元二次方程的本质特征，并且在这个过程中体会从一般到特殊的思想.

    现在，你能根据新方程的特征给新方程下一个定义吗？

    设计意图 学生在经历上述环节后能用数学语言描述一元二次方程的概念.但是他们的描述并不一定全面，教师在对学生的描述进行总结后，将准确的定义展示出来，并让学生反思自己的描述有哪些不足之处，从而加深学生对概念的认识，也培养了学生的语言表达能力.

    4. 随堂巩固，建立概念图式，完善知识体系（图式阶段）.

    经过上述三个阶段的教学，学生在头脑中能够建立如下的心理图式：一元二次方程是整式方程，它只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，它的二项式系数不能为零，一元一次方程是它的特殊形式.

    （1）请判断下面方程哪些是一元二次方程，哪些不是？

    ①3x3+2x2-x=0

    ②ax2+bx+c=0

    ③8x-5=0

    ④3x2-2x=0

    ⑤x2+3x-1=0

    ⑥+-2=0

    （2）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

    设计意图 通过问题辨析一元二次方程的定义，抓住一元二次方程的本质特征，明确一元二次方程一般形式及二次项系数不为零，帮助学生理清概念的内涵和外延，有助于学生图式的构建.

    5. 课堂总结

    请同学们说一说这节课你学习到哪些内容？并说一说你对本节课学习的感受.

    设计意图 通过总结和反思，强化学生对于一元二次方程的理解.

    6. 作业布置

    必做题：（1）课本第32页，课堂练习1、2题

    选做题：每个同学上网查找关于一元二次方程的历史小趣事，找一个自己感兴趣的故事阅读，并写一篇读后感，一周后上交.

    设计意图 分层作业，充分满足不同学习情况学生的需求.

    参考文献：

    [1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

    [2] 鲍建生，周超. 数学学习的心理基础与过程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

    [3] 颜峰. 数学来了5[M]. 山东：济南出版社，2018.

    [4] 义务教育教科书. 九年级上册[M]. ?北京：北京师范大学出版社，2017.