一道解析几何题目的求解攻略
李桂娟
解析几何的学科特征是“算”，题目一般计算量较大且有一定的技巧性，对学生的意志品质和数学机智都是一种考验和检测，需要学生的“精打细算”，品出其中的“几何味”来，它的第一步是把几何条件转化为代数语言，其中的桥梁是三个公式：与线段有关的，用距离公式;与线段比有关的，考虑定比分点的坐标公式;与角有关的，尝试斜率和夹角公式，这是基本点，一经转化，解析几何问题就成了方程或者函数问题，譬如，讨论一元二次方程根的情况，解二元二次方程组，求代数式的最大值或最小值，等等，而解析几何的解题机智，主要表现在如何选择合理的运算路径上，也就是坐标法、向量法和综合运用几何性质推演这三种运算的选择上.
1 问题的呈现
这是过焦点的直线被圆锥曲线截得的弦被焦点分成线段比，同时已知直线的倾斜角，求圆锥曲线的离心率问题，本题可写出直线方程，通过联立椭圆和直线方程，采用三个公式解答，这是通性通法，但运算量较大，让不少学生望而却步;也可利用椭圆的第二定义将问题转化为平面几何图形的性质进行探究，但是现行人教A版教材只把椭圆的第二定义当作例题处理，明显淡化了椭圆的第二定义及其应用，难道就拿此题束手无策了吗？能否找到解决此类问题的捷径？因此解析几何的解题机智该派上用场了，需要寻求有效的解题策略.
2 问题的解决
3 问题的拓展
从母题的求解过程来看，融入了解决三角形问题的基本策略：第一步，引入变量，设边设角;第二步，利用正弦定理、余弦定理、面积公式建立起待求值关于所设变量的函数，或待求值关于所设变量的方程;第三步，基于函数与方程思想解决问题，母题利用了两次余弦定理，根据两个角互补，则这两个角的余弦值互为相反数来建立等量关系，通过解方程获解，众所周知，解析几何的基本思想，是用代数方法研究几何问题，但是，事物都是一分为二的，如果过分强调某一种方法，必然会使学生形成思维定势，
从方法论的角度来讲，就是转换视角，常态方案不行，换一个方案就行了;这种说法与思路不通，换一个说法就通了;在一个领域内繁杂的问题，换一个领域就简单了，如若不是这样，靠什么考查能力？所谓试题的创新，本质上是视角的转换，我们的解题教学，就是要用创新应对创新，用转换应对转换，
从类比所得的结论来看，椭圆和双曲线的离心率只差一个符号，形式上非常对称，而抛物线的离心率等于1，只需令双曲线的离心率等于1，即得抛物线的结论，就如同把抛物线看成双曲线的一支，非常奇妙，这不得不让人感叹数学之奇，数学之美，
需要指出的是，直线必须要过圆锥曲线的焦点，也就是线段AB必须是焦点弦，事实上，结论中出现了三个量：直线的倾斜角a、焦点分弦AB所成的比λ以及圆锥曲线的离心率e，根据方程的思想，只要已知其中任意两个量，就能求第三个量.
4 结论的应用
5 策略的反思
怎样思维比思維什么更重要，利用其它领域的方法来解决这个领域的问题，利用解三角形的眼光看待解析几何问题，对学生的思维产生的是一种良性刺激，母题的解法抓住了形的特征，在充分分析图形特征的基础上，引入了边变量，借助余弦定理的两次运用，建立起关于边变量的方程，采用“设而不求法”，通过解方程轻松获得问题的答案，此解法体现了数形结合思想、函数与方程思想，避开了解析几何中的坐标与方程的繁琐运算，减少了运算量，而且思路清晰，过程优美，同时，灵活应用解三角形的策略推出圆锥曲线离心率的统一公式，不仅有效地巩固了知识，而且使学生感慨公式的强大致简功能，数学理性精神给以数学结论探寻的动力，数学结论是数学理性精神的结晶，数学结论的应用更是数学理性精神的魅力和威力所在，精彩结论来自不断的探索与反思，学会思考、善于变式，使自己的思维处于一个“流动”的状态，能从一个问题的“生长点”、一个“母题”、一个“题根”出发，通过不断地感悟与联想、反思与提炼，调整与优化，自动自发地拓展出更多的新颖结论来，是教师带领学生一起打造智慧课堂的有效途径.
解析几何的学科特征是“算”，题目一般计算量较大且有一定的技巧性，对学生的意志品质和数学机智都是一种考验和检测，需要学生的“精打细算”，品出其中的“几何味”来，它的第一步是把几何条件转化为代数语言，其中的桥梁是三个公式：与线段有关的，用距离公式;与线段比有关的，考虑定比分点的坐标公式;与角有关的，尝试斜率和夹角公式，这是基本点，一经转化，解析几何问题就成了方程或者函数问题，譬如，讨论一元二次方程根的情况，解二元二次方程组，求代数式的最大值或最小值，等等，而解析几何的解题机智，主要表现在如何选择合理的运算路径上，也就是坐标法、向量法和综合运用几何性质推演这三种运算的选择上.
1 问题的呈现
这是过焦点的直线被圆锥曲线截得的弦被焦点分成线段比，同时已知直线的倾斜角，求圆锥曲线的离心率问题，本题可写出直线方程，通过联立椭圆和直线方程，采用三个公式解答，这是通性通法，但运算量较大，让不少学生望而却步;也可利用椭圆的第二定义将问题转化为平面几何图形的性质进行探究，但是现行人教A版教材只把椭圆的第二定义当作例题处理，明显淡化了椭圆的第二定义及其应用，难道就拿此题束手无策了吗？能否找到解决此类问题的捷径？因此解析几何的解题机智该派上用场了，需要寻求有效的解题策略.
2 问题的解决
3 问题的拓展
从母题的求解过程来看，融入了解决三角形问题的基本策略：第一步，引入变量，设边设角;第二步，利用正弦定理、余弦定理、面积公式建立起待求值关于所设变量的函数，或待求值关于所设变量的方程;第三步，基于函数与方程思想解决问题，母题利用了两次余弦定理，根据两个角互补，则这两个角的余弦值互为相反数来建立等量关系，通过解方程获解，众所周知，解析几何的基本思想，是用代数方法研究几何问题，但是，事物都是一分为二的，如果过分强调某一种方法，必然会使学生形成思维定势，
从方法论的角度来讲，就是转换视角，常态方案不行，换一个方案就行了;这种说法与思路不通，换一个说法就通了;在一个领域内繁杂的问题，换一个领域就简单了，如若不是这样，靠什么考查能力？所谓试题的创新，本质上是视角的转换，我们的解题教学，就是要用创新应对创新，用转换应对转换，
从类比所得的结论来看，椭圆和双曲线的离心率只差一个符号，形式上非常对称，而抛物线的离心率等于1，只需令双曲线的离心率等于1，即得抛物线的结论，就如同把抛物线看成双曲线的一支，非常奇妙，这不得不让人感叹数学之奇，数学之美，
需要指出的是，直线必须要过圆锥曲线的焦点，也就是线段AB必须是焦点弦，事实上，结论中出现了三个量：直线的倾斜角a、焦点分弦AB所成的比λ以及圆锥曲线的离心率e，根据方程的思想，只要已知其中任意两个量，就能求第三个量.
4 结论的应用
5 策略的反思
怎样思维比思維什么更重要，利用其它领域的方法来解决这个领域的问题，利用解三角形的眼光看待解析几何问题，对学生的思维产生的是一种良性刺激，母题的解法抓住了形的特征，在充分分析图形特征的基础上，引入了边变量，借助余弦定理的两次运用，建立起关于边变量的方程，采用“设而不求法”，通过解方程轻松获得问题的答案，此解法体现了数形结合思想、函数与方程思想，避开了解析几何中的坐标与方程的繁琐运算，减少了运算量，而且思路清晰，过程优美，同时，灵活应用解三角形的策略推出圆锥曲线离心率的统一公式，不仅有效地巩固了知识，而且使学生感慨公式的强大致简功能，数学理性精神给以数学结论探寻的动力，数学结论是数学理性精神的结晶，数学结论的应用更是数学理性精神的魅力和威力所在，精彩结论来自不断的探索与反思，学会思考、善于变式，使自己的思维处于一个“流动”的状态，能从一个问题的“生长点”、一个“母题”、一个“题根”出发，通过不断地感悟与联想、反思与提炼，调整与优化，自动自发地拓展出更多的新颖结论来，是教师带领学生一起打造智慧课堂的有效途径.
