数学核心素养视角下“情境-问题”
陈冠峰
1 问题提出
新修订的《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个部分内容”，要求学生通过高中阶段学习，掌握“四基”，发展“四能”，如何培养学生学科核心素养，当前的教育界主要聚焦两个方面问题：一是如何将数学核心素养的培养落实到日常教学，二是如何对学生的数学核心素养进行评价.针对第二个问题，《课标》提出，要构建基于数学学科核心素养的评价框架，包括三个维度的内容，如图1所示：
在第二个维度中，提出了“情境一问题”的教学.所谓“情境一问题”数学教学，指的是教师创设一定的数学情境，提出问题，学生在教师的引导下，通过发现、提出、分析、解决问题，提炼数学思想方法，构建数学知识体系，形成数学思维品质.数学问题是学生学习数学的驱动力之一，也是课堂评价的重要形式，通过课堂评价，能帮助教师在了解学生对知识掌握情况的基础上，及时调整自己的教学手段和方法，从而实现教与学的共同提高，对落实学科核心素养评价研究具有重大现实意义.本文以高中数学人教A版选修2-2《定积分概念》-节为例，谈谈如何构建恰当的数学情境，提出合适的数学问题，从而有效地发挥课堂评价作用.
2 课堂案例
2.1 引入
问题情境1我们已经知道三角形面积的求解方法，同样，长方形（正方形）、平行四边形以及多边形的性质，使我们对于这些图形的面积都赋予了确定的含义.另外，我们也知道了一种由曲线围成的图形——圆的面积计算方法，但是，到目前为止，我们对由曲线所围成的其他图形面积求解方法，还知之甚少，比如弓形.同学们考虑考虑，有什么合适的方法用来求解弓形的面积？
点评“问题情境l”的创设，是从最基本的平面图形之一——三角形展开的，随后立刻把本节课的研究目标锁定在“面积”上，而且是带有“曲线”图形的面积.开门见山的同时，也让学生了解，不管多么复杂的数学问题，都是从最基本的概念出发的，这也是逻辑推理的基本形式.
问题情境2 早在古希腊时期，数学家就开始研究这一方面问题.公元前三世纪，全能科学家阿基米德利用穷竭法推算出了弓形的面积，如图2，请同学们体会一下他的工作是如何开展的？
点评从AC，BC的中点K，L作平行于弓形所在圆直径（线段MC所在直线）的直线，交弓形于P，Q两点，则弓形与MBC之间的部分，可以由AAPC和ABQC的面积“近似代替”.
同理，取线段AP， CP， CQ，BQ的中点，分别作平行于MC的直线，分别交弓形于四个点，又可得到四个小三角形，空白部分的面积就可以再由四个小三角形的面积“近似代替”.如此继续，阿基米德实现了对弓形的“分割”，用这些三角形的面积之和“逼近”弓形的面積，并“近似代替”，此乃“穷竭法”思想.
通过富有浓厚数学味道的数学文化情境构建，适当借助信息技术手段，激发学生学习兴趣，还可以在课后交流探究“穷竭法”在其他图形中的应用，让学生在具体情境中感悟数学本质.
2.2 探究发现
教师给出“曲边梯形”的概念后，并以抛物线y= x2，直线x=l以及x轴所围成的平面图形为例（如图3）.
问题情境3 借鉴阿基米德“穷竭法”思想，我们如何通过“近似代替”，求这个曲面梯形的面积？
探究1：如何分割？用怎样的“直边图形”近似代替？有几种方案？
探究2：哪种方案更合理？如何求分割后直边图形的面积之和？
点评 这是本节课的重点，可以采取学生分组交流讨论的形式，小组汇报近似代替的方案（矩形过剩估计、矩形不足估计、梯形估计），教师要引导学生比较三种方案的优劣，选择便于计算的两种方案：过剩估计和不足估计，并再次分组，让学生尝试求出面积之和.
在小组交流展示过程中，教师要根据学生提出的方案，评价学生知识掌握情况，对于不恰当的思路，要进行及时地校正，并注意引导学生严谨地运用数学语言，交流和表达自己的观点.
问题情境4如何表示分割越来越细，直边图形越来越多时它们的面积之和？随着分割越来越细，采用过剩求和与不足求和所得到的结果呈现怎样的变化和联系？
点评 这是本节课的难点，即极限的思想，教师要引导学生发现这一事实：不足估计值和过剩估计值随着n的增大，越来越接近同一个常数，随后，教师应该指出，正是因为这两种逼近方式得到同样的常数，才初步证明了曲边梯形面积的存在，当然，这种理论上的证明，高中阶段不做要求，是高等数学研究的内容.
由于“极限”是高中阶段难点概念之一，各小组对于“问题情境4”得出的结论，直接反映出组内学生对于“极限”思想的认知程度，因此，教师要积极主动地对小组结果进行评价，适时对求曲边梯形面积的四个步骤：“分割——近似代替——求和——取极限”进行总结，培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理素养，提高教学有效性，当然，“极限”这个概念，对于高中生而言，确实较难理解，课堂上教师也可以结合信息技术手段，演示“近似代替”的过程，以此来辅助教学.
3 教学反思
在利用“情境一问题”课堂教学评价时，需要注意以下几个问题：
3.1“情境-问题”的创设，需要文化融合
数学是有历史积淀的，数学也是在不断发展的，本节课以阿基米德的“穷竭法”这一数学文化背景作为引入，一方面是让学生通过类比，更好地体会曲边梯形面积的求解策略;另一方面，更重要的是让学生了解数学中极限思想的起源和背景，激发学习兴趣的同时，体会数学科学价值、文化价值和应用价值，形成正确的数学观.
3.2“情境-问题”的解决，需要师生协作
数学核心素养下，学生的课堂主体地位更加突出，围绕着“情境一问题”的探讨，学生是解决问题的主角，教师是组织者和协作者;同时，课堂上要注重学生知识的形成过程，在学生探求问题的同时，构建知识体系，提升核心素养;另外，在问题解决过程中，也应该重视信息技术的运用，帮助学生更好地理解数学、掌握数学.
3.3 “情境一问题”的评价，需要讲究策略
课堂教学评价具有导向、激励、诊断、改进、反馈等功能，“情境一问题”的评价，应当更注重诊断和改进的功能，同时，应该把握以学生为中心的原则和发展性的原则，采取不同的评价方法，如纸质评价、口头评价、课堂观察、信息数据收集等方法，教师要兼顾学生整体学习情况和个体学习进展，在关注学生对知识技能掌握的同时，更多地关注学生数学核小素养的发展.
总之，本节课以“曲边梯形面积的求解”为主线，围绕四个情境问题的提出展开教学，学生通过情境问题的探知，构建知识体系，教师通过情境问题的解决方案，适时评价课堂教学，及时调整教学策略，从而有针对性地开展教学活动，在充分提高课堂教学有效性的同时，提升了学生的数学核心素养.
参考文献
[1]曹一鸣，李俊扬，秦华.我国数学课堂教学评价研究综述[J].数学通报，2011 （50）：1
[2]杨溆萍，重新审视课堂教学评价的功能、内容与标准[J].教育理论与实践，2009 （29）： 44
[3]段志贵.基于新课程标准的数学课堂教学评价[J].教育探索，2008 （10）：208
[4]史宁中.高中数学核心素养的培养、评价与教学实施[J].中小学教材教学，2017 （5）：4
[5]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：1一180
1 问题提出
新修订的《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个部分内容”，要求学生通过高中阶段学习，掌握“四基”，发展“四能”，如何培养学生学科核心素养，当前的教育界主要聚焦两个方面问题：一是如何将数学核心素养的培养落实到日常教学，二是如何对学生的数学核心素养进行评价.针对第二个问题，《课标》提出，要构建基于数学学科核心素养的评价框架，包括三个维度的内容，如图1所示：
在第二个维度中，提出了“情境一问题”的教学.所谓“情境一问题”数学教学，指的是教师创设一定的数学情境，提出问题，学生在教师的引导下，通过发现、提出、分析、解决问题，提炼数学思想方法，构建数学知识体系，形成数学思维品质.数学问题是学生学习数学的驱动力之一，也是课堂评价的重要形式，通过课堂评价，能帮助教师在了解学生对知识掌握情况的基础上，及时调整自己的教学手段和方法，从而实现教与学的共同提高，对落实学科核心素养评价研究具有重大现实意义.本文以高中数学人教A版选修2-2《定积分概念》-节为例，谈谈如何构建恰当的数学情境，提出合适的数学问题，从而有效地发挥课堂评价作用.
2 课堂案例
2.1 引入
问题情境1我们已经知道三角形面积的求解方法，同样，长方形（正方形）、平行四边形以及多边形的性质，使我们对于这些图形的面积都赋予了确定的含义.另外，我们也知道了一种由曲线围成的图形——圆的面积计算方法，但是，到目前为止，我们对由曲线所围成的其他图形面积求解方法，还知之甚少，比如弓形.同学们考虑考虑，有什么合适的方法用来求解弓形的面积？
点评“问题情境l”的创设，是从最基本的平面图形之一——三角形展开的，随后立刻把本节课的研究目标锁定在“面积”上，而且是带有“曲线”图形的面积.开门见山的同时，也让学生了解，不管多么复杂的数学问题，都是从最基本的概念出发的，这也是逻辑推理的基本形式.
问题情境2 早在古希腊时期，数学家就开始研究这一方面问题.公元前三世纪，全能科学家阿基米德利用穷竭法推算出了弓形的面积，如图2，请同学们体会一下他的工作是如何开展的？
点评从AC，BC的中点K，L作平行于弓形所在圆直径（线段MC所在直线）的直线，交弓形于P，Q两点，则弓形与MBC之间的部分，可以由AAPC和ABQC的面积“近似代替”.
同理，取线段AP， CP， CQ，BQ的中点，分别作平行于MC的直线，分别交弓形于四个点，又可得到四个小三角形，空白部分的面积就可以再由四个小三角形的面积“近似代替”.如此继续，阿基米德实现了对弓形的“分割”，用这些三角形的面积之和“逼近”弓形的面積，并“近似代替”，此乃“穷竭法”思想.
通过富有浓厚数学味道的数学文化情境构建，适当借助信息技术手段，激发学生学习兴趣，还可以在课后交流探究“穷竭法”在其他图形中的应用，让学生在具体情境中感悟数学本质.
2.2 探究发现
教师给出“曲边梯形”的概念后，并以抛物线y= x2，直线x=l以及x轴所围成的平面图形为例（如图3）.
问题情境3 借鉴阿基米德“穷竭法”思想，我们如何通过“近似代替”，求这个曲面梯形的面积？
探究1：如何分割？用怎样的“直边图形”近似代替？有几种方案？
探究2：哪种方案更合理？如何求分割后直边图形的面积之和？
点评 这是本节课的重点，可以采取学生分组交流讨论的形式，小组汇报近似代替的方案（矩形过剩估计、矩形不足估计、梯形估计），教师要引导学生比较三种方案的优劣，选择便于计算的两种方案：过剩估计和不足估计，并再次分组，让学生尝试求出面积之和.
在小组交流展示过程中，教师要根据学生提出的方案，评价学生知识掌握情况，对于不恰当的思路，要进行及时地校正，并注意引导学生严谨地运用数学语言，交流和表达自己的观点.
问题情境4如何表示分割越来越细，直边图形越来越多时它们的面积之和？随着分割越来越细，采用过剩求和与不足求和所得到的结果呈现怎样的变化和联系？
点评 这是本节课的难点，即极限的思想，教师要引导学生发现这一事实：不足估计值和过剩估计值随着n的增大，越来越接近同一个常数，随后，教师应该指出，正是因为这两种逼近方式得到同样的常数，才初步证明了曲边梯形面积的存在，当然，这种理论上的证明，高中阶段不做要求，是高等数学研究的内容.
由于“极限”是高中阶段难点概念之一，各小组对于“问题情境4”得出的结论，直接反映出组内学生对于“极限”思想的认知程度，因此，教师要积极主动地对小组结果进行评价，适时对求曲边梯形面积的四个步骤：“分割——近似代替——求和——取极限”进行总结，培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理素养，提高教学有效性，当然，“极限”这个概念，对于高中生而言，确实较难理解，课堂上教师也可以结合信息技术手段，演示“近似代替”的过程，以此来辅助教学.
3 教学反思
在利用“情境一问题”课堂教学评价时，需要注意以下几个问题：
3.1“情境-问题”的创设，需要文化融合
数学是有历史积淀的，数学也是在不断发展的，本节课以阿基米德的“穷竭法”这一数学文化背景作为引入，一方面是让学生通过类比，更好地体会曲边梯形面积的求解策略;另一方面，更重要的是让学生了解数学中极限思想的起源和背景，激发学习兴趣的同时，体会数学科学价值、文化价值和应用价值，形成正确的数学观.
3.2“情境-问题”的解决，需要师生协作
数学核心素养下，学生的课堂主体地位更加突出，围绕着“情境一问题”的探讨，学生是解决问题的主角，教师是组织者和协作者;同时，课堂上要注重学生知识的形成过程，在学生探求问题的同时，构建知识体系，提升核心素养;另外，在问题解决过程中，也应该重视信息技术的运用，帮助学生更好地理解数学、掌握数学.
3.3 “情境一问题”的评价，需要讲究策略
课堂教学评价具有导向、激励、诊断、改进、反馈等功能，“情境一问题”的评价，应当更注重诊断和改进的功能，同时，应该把握以学生为中心的原则和发展性的原则，采取不同的评价方法，如纸质评价、口头评价、课堂观察、信息数据收集等方法，教师要兼顾学生整体学习情况和个体学习进展，在关注学生对知识技能掌握的同时，更多地关注学生数学核小素养的发展.
总之，本节课以“曲边梯形面积的求解”为主线，围绕四个情境问题的提出展开教学，学生通过情境问题的探知，构建知识体系，教师通过情境问题的解决方案，适时评价课堂教学，及时调整教学策略，从而有针对性地开展教学活动，在充分提高课堂教学有效性的同时，提升了学生的数学核心素养.
参考文献
[1]曹一鸣，李俊扬，秦华.我国数学课堂教学评价研究综述[J].数学通报，2011 （50）：1
[2]杨溆萍，重新审视课堂教学评价的功能、内容与标准[J].教育理论与实践，2009 （29）： 44
[3]段志贵.基于新课程标准的数学课堂教学评价[J].教育探索，2008 （10）：208
[4]史宁中.高中数学核心素养的培养、评价与教学实施[J].中小学教材教学，2017 （5）：4
[5]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：1一180
