浅析初中数学方案设计常见类型
叶延亮
摘 要：初中数学方案设计是初中数学教学的一项重要内容，重视考查现实情况转化为数学情境方案的设计与决策，能更好地促进学生的能力提升.初中数学方案设计常见的数学模型有：方程（组），一元一次不等式（组），一次、二次函数或反比例函数，概率统计，几何知识等等.
关键词：初中数学；方案设计；常见类型
数学建模是一种运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的数学的思考方法，也是一种强有力的数学手段[ 1 ].用数学模型去分析、解决方案设计类型，能提高学生的数学素养，增强学生数学应用意识，能培养学生的创新思维.以下就初中数学方案设计常见类型等进行一些浅析.
1 运用方程（组）方案设计
【例题1】王丽同学带20元钱到商店购买水笔和笔记本，已知每支水笔的单价为2元，每本笔记本的单价为3元，如果20元刚好用完，那么有几种购买水笔和笔记本的方案？
解析：认真阅读题意，理解重要性的句子.已知每支水笔的单价为2元，每本笔记本的单价为3元，20元刚好用完.找出等量关系式，通过设两个未知数，可构建出二元一次方程模型，再依未知数的实际含义，解出二元一次方程的解，从而解答了方案设计问题.
解答：设购买x支水笔，y本笔记本.根据题意得，2x+3y=20 . ∵x，y为非负整数， ∴x=10 ，y=0； x=7， y=2； x=4，y=4 ； x=1，y=6 .故有4种方案.方案1：购买10支水笔，0本笔记本；方案2：购买7支水笔，2本笔记本；方案3：购买4支水笔，4本笔记本；方案4：购买1支水笔，6本笔记本.
2 运用不等式（组）方案设计
【例题2】林华同学到新华都超市购买学习用品，她用了18元刚好买了一副三角板和3个圆规；若用31元则可买同样的2副三角板和5个圆规.①求每副三角板和每个圆规的单价；②期中考后，学校为了奖励成绩突出的同学，用了200元钱购买上述价格的三角板和圆规共48件，且圆规的数量不小于三角板的数量，请写出所有的购买方案.
解析：认真阅读题意，理解重要性的句子.18元刚好买了一副三角板和3个圆规；31元买了同样的2副三角板和5个圆规.从中找出两个等量关系式，构建出方程（组）模型.题目中还有一个重要的语句：用了200元錢购买上述价格的三角板和圆规共48件，且圆规的数量不小于三角板的数量.根据这两个含有不相等关系的语句，可找出含两个不等量的关系式，设出一个未知元，列出不等式组，解得未知元的解集.又考虑未知元的实际意义，从而确定所需的购买方案.
解答：①设每副三角板单价是x元，每个圆规的单价是y元，依题意得， x+3y=18 ，且 2x+5y=31 .解得 x=3，y=5.故每副三角板单价是3元，每个圆规的单价是5元.②设购买a副三角板，购买（48-a）个圆规，依题意得 3a+5（48-a）≤200 ，且48-a≥a.解得20≤a≤24 .又∵a为正整数，∴a=20，21，22，23，24. 所以一共有5种方案.方案①购买20副三角板，28个圆规；方案；②购买21副三角板，27个圆规；方案③购买22副三角板，买26个圆规.方案；④购买23副三角板，购买25个圆规；方案⑤购买24副三角板，24个圆规.
3 运用函数方案设计
【例题3】阳光棉布厂存有A种布料重360千克，B种布料重290千克，计划利用这两种布料加工制造甲，乙两种产品共50件.已知加工每件甲产品需要用A种布料9千克，B种布料3千克，可获利300元；加工每件乙产品需要用A种布料4千克，B种布料10千克，可获利320元.问如何加工制造 甲，乙两种产品的件数使得总利润最大，最大是多少？
解析：在阅读审题中，理解关键的语句：阳光棉布厂存有A种布料重360千克，B种布料重290千克，计划利用这两种布料加工制造甲，乙两种产品共50件.这语句相当于加工甲种产品所需A种布料重不超过360千克，加工乙种产品所需B种布料重不超过290千克.根据两个不等量关系式，构建出不等式组模型.根据题意： 如何加工制造甲，乙两种产品的件数使得总利润最大，最大是多少？依总利润的概念，可建构出函数模型，从而确定利润最大时的设计方案.
解答：设加工甲种产品x件，加工乙种产品（50-x）件.依题意得，9x+4（50-x）≤360，且 3x+10（50-x）≤290.解得 30≤x≤32 .因此有3种设计方案.设总获利为W，则W=300x+320（50-x）=-20x+16000， 所以W是x的一次函数，且W随着x的增大而减小.又∵30≤x≤32，∴当x=30时，W最大，最大值为W=-20×30+16000=15400.∴50-x=20. ∴加工甲种产品30件，加工乙种产品20件才能使利润最大，最大值为15400元.
小结方程、不等式、函数型方案设计题的一般步骤：
①认真审题，找出问题中反映已知量与未知量的等量关系或不等量关系的语句，根据这些语句，建立方程、不等式或函数模型；
②设合适的未知元，构建方程（组）、不等式（组）或函数关系式；
③解方程（组）或不等式（组），求出方程的解，或不等式（组）的解集，或函数的最值；
④根据方程的特殊解或不等式的正整数解，确定解决实际问题的最优方案.
4 运用概率统计方案设计
【例题4】在木制的箱子中装有4个除颜色外大小、重量均相同的乒乓球，球面分别写上数字-1，-2，1，2.设计两种游戏规则，使得这个游戏对两人公平，并说明理由.
方案①，摇匀后随机摸出一个乒乓球，记下标注的数字，然后放回摇匀，又摸出一个乒乓球.A，B两个人完成摸乒乓球游戏，如果A，B两个人摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标表示的点在 y=的图像上，那么A获得胜利；如果A，B两个人摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标表示的点在 y=的图像上，那么B获得胜利.
分析：认真阅读题意后，知道了摸球游戏规则需要两步完成，且第一次摸球后球有放回，需利用画树状图或列表的方法求出事件发生的概率.
理由：所有可能的结果如下表1
有16 种结果，每一种结果的可能性都相同.摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标表示的点在 y=的图像上有4种，即（-1，-2），（-2，-1），（1，2），（2，1）.摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标表示的点在 y=的图像上，有4种，即（-1，2），（-2，1），（1，-2），（2，-1）.所以P（A获胜）=0.25，P（B获胜）=0.25，P（A获胜）=P（B获胜），所以这是公平的游戏.
方案②， 摇匀后随机摸出两个乒乓球，记下标注的数字。如果A，B两个人摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标（a，b）满足 b2 -a2 =3，那么A就获胜；如果A，B摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标（a，b）满足b2 -a2 =-3，那么B就获胜.
分析：认真审题后，知道了摸球游戏规则也需要两步完成，并且第一次摸球后，球没有放回，也需利用画树状图或列表的方法求出事件发生的概率.
理由：所有可能结果如表2：
共有12 种结果，每一种结果的概率相同.摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标（a，b）满足 b2 -a2 =3有4种，即（-1，-2），（-1，2），（1，-2），（1，2），A获得胜利的概率为；摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标（a，b）满足b2 -a2 =-3有4种，即（-2，-1），（-2，1），（2，-1），（2，1），B获得胜利的概率为，因此A，B获胜概率相等，此游戏对双方公平.
5 运用几何知识方案设计
【例题5】图1 A，B两点分别位于一个池塘的两端，王军想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长.请你帮他设计出至少三种测量池塘两端A，B距离的方案.
①先在池塘外边上找到一个合适的点C，如图1，连接AC，BC，再構造△CDE全等于△CAB，测量出DE的长度，那么AB的长度就等于 DE的长度.
②先在池塘外边上找到一个合适的点C，如图2，连接AC，BC并分别取AC，BC的中点M，N，连接MN， 并测量出它的长度，那么AB的长度就等于2MN的长度.
③先在池塘外边找到一个合适的点C，如图3，使得AC垂直于AB，连接并测量出AC，BC的长度，利用勾股定理AB2=BC2-AC2，求出AB的长度.
6 加强初中数学方案设计常见类型的教学，促进学生能力的提升
（1）提升学生阅读思考能力.在例题1的教学中，先引导学生认真审题，捕捉关键性的句子，“已知每支水笔的单价为2元，每本笔记本的单价为3元，如果20元刚好用完”，思考并理解其含义.其次，使学生在阅读课本例题的解题过程中体验思维过程如何用数学语言表达出来.这样学生在问题思考中，慢慢感悟学习数学的快乐，抓在阅读中的灵感点，养成阅读的好习惯，积累有益的阅读经验.
（2）提升学生建模和创新能力.“数学发展所依赖的思想在本质上有3个：抽象，推理，模型…，通过抽象，在现实生活得到数学概念和运算法则，通过推理得到数学公式、性质和判定，使数学得到发展，然后通过模型建立数学与世界的联系”[ 2 ].在例题2教学中从题目找出两个等量关系式，构建出方程（组）模型；在问题2中根据这两个含有不相等关系的语句，可找出含两个不等量的关系式，建立不等式组模型.在例3教学中从题目找出两个不等量关系式，构建出不等式组模型.根据题意： 如何加工制造甲，乙两种产品的件数使得总利润最大，最大是多少？依总利润的概念，可建构出函数模型.方案设计题以日常生活实际问题为情景，在解决问题中需要建立方程（组）、不等式（组）、函数、概率统计、几何等模型，构建模型的过程就是实践，创新的过程.
（3）提升学生数学语言表述能力.例题5教学中，教师运用ppt展示解题过程，或通过板演，或学生阅读课本例题解题过程，让学生得到规范性的数学语言表达.在巩固练习时学生模仿教材和教师相同或相近的方法，自己亲身尝试表达过程，在师生交流，生生交流中感悟数学语言表达的得与失，从而提升数学语言表述能力.
（4）提升学生应用决策的能力.例题3教学中通过建立不等式组模型，解出不等式组的解集，从而设计出符合要求的3种方案，计算出每一种方案所需的结论，结合实际做出科学决策.
因此，通过对方程（组）、不等式（组）、函数、概率、平面几何知识等进行方案设计常见类型案例的浅析，一方面让学生了解此类问题设计情景常常以日常生活实际问题为素材，也让学生感知到此类问题设计是开放和应用结合的综合性类型.另一方面提升了学生的阅读力、思考力、建模能力、应用决策能力和数学语言表述能力；增强了学生思维的发散性、收敛性、创新性等，也为今后解决更难的方案设计打下坚实基础.
参考文献：
[1]李小玲.传统数学教学、数学建模与数学实验一体化教学模式研究[J]考试周刊，2011（91）：11-15.
[2]史宁中.数学思想概论[M].长春：东北师范大学出版社，2015.
摘 要：初中数学方案设计是初中数学教学的一项重要内容，重视考查现实情况转化为数学情境方案的设计与决策，能更好地促进学生的能力提升.初中数学方案设计常见的数学模型有：方程（组），一元一次不等式（组），一次、二次函数或反比例函数，概率统计，几何知识等等.
关键词：初中数学；方案设计；常见类型
数学建模是一种运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的数学的思考方法，也是一种强有力的数学手段[ 1 ].用数学模型去分析、解决方案设计类型，能提高学生的数学素养，增强学生数学应用意识，能培养学生的创新思维.以下就初中数学方案设计常见类型等进行一些浅析.
1 运用方程（组）方案设计
【例题1】王丽同学带20元钱到商店购买水笔和笔记本，已知每支水笔的单价为2元，每本笔记本的单价为3元，如果20元刚好用完，那么有几种购买水笔和笔记本的方案？
解析：认真阅读题意，理解重要性的句子.已知每支水笔的单价为2元，每本笔记本的单价为3元，20元刚好用完.找出等量关系式，通过设两个未知数，可构建出二元一次方程模型，再依未知数的实际含义，解出二元一次方程的解，从而解答了方案设计问题.
解答：设购买x支水笔，y本笔记本.根据题意得，2x+3y=20 . ∵x，y为非负整数， ∴x=10 ，y=0； x=7， y=2； x=4，y=4 ； x=1，y=6 .故有4种方案.方案1：购买10支水笔，0本笔记本；方案2：购买7支水笔，2本笔记本；方案3：购买4支水笔，4本笔记本；方案4：购买1支水笔，6本笔记本.
2 运用不等式（组）方案设计
【例题2】林华同学到新华都超市购买学习用品，她用了18元刚好买了一副三角板和3个圆规；若用31元则可买同样的2副三角板和5个圆规.①求每副三角板和每个圆规的单价；②期中考后，学校为了奖励成绩突出的同学，用了200元钱购买上述价格的三角板和圆规共48件，且圆规的数量不小于三角板的数量，请写出所有的购买方案.
解析：认真阅读题意，理解重要性的句子.18元刚好买了一副三角板和3个圆规；31元买了同样的2副三角板和5个圆规.从中找出两个等量关系式，构建出方程（组）模型.题目中还有一个重要的语句：用了200元錢购买上述价格的三角板和圆规共48件，且圆规的数量不小于三角板的数量.根据这两个含有不相等关系的语句，可找出含两个不等量的关系式，设出一个未知元，列出不等式组，解得未知元的解集.又考虑未知元的实际意义，从而确定所需的购买方案.
解答：①设每副三角板单价是x元，每个圆规的单价是y元，依题意得， x+3y=18 ，且 2x+5y=31 .解得 x=3，y=5.故每副三角板单价是3元，每个圆规的单价是5元.②设购买a副三角板，购买（48-a）个圆规，依题意得 3a+5（48-a）≤200 ，且48-a≥a.解得20≤a≤24 .又∵a为正整数，∴a=20，21，22，23，24. 所以一共有5种方案.方案①购买20副三角板，28个圆规；方案；②购买21副三角板，27个圆规；方案③购买22副三角板，买26个圆规.方案；④购买23副三角板，购买25个圆规；方案⑤购买24副三角板，24个圆规.
3 运用函数方案设计
【例题3】阳光棉布厂存有A种布料重360千克，B种布料重290千克，计划利用这两种布料加工制造甲，乙两种产品共50件.已知加工每件甲产品需要用A种布料9千克，B种布料3千克，可获利300元；加工每件乙产品需要用A种布料4千克，B种布料10千克，可获利320元.问如何加工制造 甲，乙两种产品的件数使得总利润最大，最大是多少？
解析：在阅读审题中，理解关键的语句：阳光棉布厂存有A种布料重360千克，B种布料重290千克，计划利用这两种布料加工制造甲，乙两种产品共50件.这语句相当于加工甲种产品所需A种布料重不超过360千克，加工乙种产品所需B种布料重不超过290千克.根据两个不等量关系式，构建出不等式组模型.根据题意： 如何加工制造甲，乙两种产品的件数使得总利润最大，最大是多少？依总利润的概念，可建构出函数模型，从而确定利润最大时的设计方案.
解答：设加工甲种产品x件，加工乙种产品（50-x）件.依题意得，9x+4（50-x）≤360，且 3x+10（50-x）≤290.解得 30≤x≤32 .因此有3种设计方案.设总获利为W，则W=300x+320（50-x）=-20x+16000， 所以W是x的一次函数，且W随着x的增大而减小.又∵30≤x≤32，∴当x=30时，W最大，最大值为W=-20×30+16000=15400.∴50-x=20. ∴加工甲种产品30件，加工乙种产品20件才能使利润最大，最大值为15400元.
小结方程、不等式、函数型方案设计题的一般步骤：
①认真审题，找出问题中反映已知量与未知量的等量关系或不等量关系的语句，根据这些语句，建立方程、不等式或函数模型；
②设合适的未知元，构建方程（组）、不等式（组）或函数关系式；
③解方程（组）或不等式（组），求出方程的解，或不等式（组）的解集，或函数的最值；
④根据方程的特殊解或不等式的正整数解，确定解决实际问题的最优方案.
4 运用概率统计方案设计
【例题4】在木制的箱子中装有4个除颜色外大小、重量均相同的乒乓球，球面分别写上数字-1，-2，1，2.设计两种游戏规则，使得这个游戏对两人公平，并说明理由.
方案①，摇匀后随机摸出一个乒乓球，记下标注的数字，然后放回摇匀，又摸出一个乒乓球.A，B两个人完成摸乒乓球游戏，如果A，B两个人摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标表示的点在 y=的图像上，那么A获得胜利；如果A，B两个人摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标表示的点在 y=的图像上，那么B获得胜利.
分析：认真阅读题意后，知道了摸球游戏规则需要两步完成，且第一次摸球后球有放回，需利用画树状图或列表的方法求出事件发生的概率.
理由：所有可能的结果如下表1
有16 种结果，每一种结果的可能性都相同.摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标表示的点在 y=的图像上有4种，即（-1，-2），（-2，-1），（1，2），（2，1）.摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标表示的点在 y=的图像上，有4种，即（-1，2），（-2，1），（1，-2），（2，-1）.所以P（A获胜）=0.25，P（B获胜）=0.25，P（A获胜）=P（B获胜），所以这是公平的游戏.
方案②， 摇匀后随机摸出两个乒乓球，记下标注的数字。如果A，B两个人摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标（a，b）满足 b2 -a2 =3，那么A就获胜；如果A，B摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标（a，b）满足b2 -a2 =-3，那么B就获胜.
分析：认真审题后，知道了摸球游戏规则也需要两步完成，并且第一次摸球后，球没有放回，也需利用画树状图或列表的方法求出事件发生的概率.
理由：所有可能结果如表2：
共有12 种结果，每一种结果的概率相同.摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标（a，b）满足 b2 -a2 =3有4种，即（-1，-2），（-1，2），（1，-2），（1，2），A获得胜利的概率为；摸出乒乓球上标注的数字组成的坐标（a，b）满足b2 -a2 =-3有4种，即（-2，-1），（-2，1），（2，-1），（2，1），B获得胜利的概率为，因此A，B获胜概率相等，此游戏对双方公平.
5 运用几何知识方案设计
【例题5】图1 A，B两点分别位于一个池塘的两端，王军想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长.请你帮他设计出至少三种测量池塘两端A，B距离的方案.
①先在池塘外边上找到一个合适的点C，如图1，连接AC，BC，再構造△CDE全等于△CAB，测量出DE的长度，那么AB的长度就等于 DE的长度.
②先在池塘外边上找到一个合适的点C，如图2，连接AC，BC并分别取AC，BC的中点M，N，连接MN， 并测量出它的长度，那么AB的长度就等于2MN的长度.
③先在池塘外边找到一个合适的点C，如图3，使得AC垂直于AB，连接并测量出AC，BC的长度，利用勾股定理AB2=BC2-AC2，求出AB的长度.
6 加强初中数学方案设计常见类型的教学，促进学生能力的提升
（1）提升学生阅读思考能力.在例题1的教学中，先引导学生认真审题，捕捉关键性的句子，“已知每支水笔的单价为2元，每本笔记本的单价为3元，如果20元刚好用完”，思考并理解其含义.其次，使学生在阅读课本例题的解题过程中体验思维过程如何用数学语言表达出来.这样学生在问题思考中，慢慢感悟学习数学的快乐，抓在阅读中的灵感点，养成阅读的好习惯，积累有益的阅读经验.
（2）提升学生建模和创新能力.“数学发展所依赖的思想在本质上有3个：抽象，推理，模型…，通过抽象，在现实生活得到数学概念和运算法则，通过推理得到数学公式、性质和判定，使数学得到发展，然后通过模型建立数学与世界的联系”[ 2 ].在例题2教学中从题目找出两个等量关系式，构建出方程（组）模型；在问题2中根据这两个含有不相等关系的语句，可找出含两个不等量的关系式，建立不等式组模型.在例3教学中从题目找出两个不等量关系式，构建出不等式组模型.根据题意： 如何加工制造甲，乙两种产品的件数使得总利润最大，最大是多少？依总利润的概念，可建构出函数模型.方案设计题以日常生活实际问题为情景，在解决问题中需要建立方程（组）、不等式（组）、函数、概率统计、几何等模型，构建模型的过程就是实践，创新的过程.
（3）提升学生数学语言表述能力.例题5教学中，教师运用ppt展示解题过程，或通过板演，或学生阅读课本例题解题过程，让学生得到规范性的数学语言表达.在巩固练习时学生模仿教材和教师相同或相近的方法，自己亲身尝试表达过程，在师生交流，生生交流中感悟数学语言表达的得与失，从而提升数学语言表述能力.
（4）提升学生应用决策的能力.例题3教学中通过建立不等式组模型，解出不等式组的解集，从而设计出符合要求的3种方案，计算出每一种方案所需的结论，结合实际做出科学决策.
因此，通过对方程（组）、不等式（组）、函数、概率、平面几何知识等进行方案设计常见类型案例的浅析，一方面让学生了解此类问题设计情景常常以日常生活实际问题为素材，也让学生感知到此类问题设计是开放和应用结合的综合性类型.另一方面提升了学生的阅读力、思考力、建模能力、应用决策能力和数学语言表述能力；增强了学生思维的发散性、收敛性、创新性等，也为今后解决更难的方案设计打下坚实基础.
参考文献：
[1]李小玲.传统数学教学、数学建模与数学实验一体化教学模式研究[J]考试周刊，2011（91）：11-15.
[2]史宁中.数学思想概论[M].长春：东北师范大学出版社，2015.
