关于辅助线添加的解题优化探讨

    范红

    

    

    

    [摘? 要] 辅助线是打开几何问题突破口的重要工具，合理地添加辅助线不仅可以改善图形，深度认识问题，还可以串联条件链，为后续思路的展开打基础. 辅助线的添加具有一定的技巧，需要充分考虑题干条件，结合图形结构. 文章结合实例详细探讨添加辅助线的解题效果，以及添加的思路，以期对师生的教学备考有所帮助.

    [关键词] 辅助线;模型;数形;方程

    添加辅助线是平面几何问题求解的重要手段，合理添加辅助线往往可以有效降低思维难度，实现问题的简化求解. 而对于不同情形的几何问题，通过添加辅助线可以达到不同的转化效果，下面将深入探讨辅助线添加的解题便利性.

    添加辅助线，化“无形”为“有形”

    辅助线是平面几何问题的“生命线”，尤其是对于一些抽象的图形，合理添加辅助线可以将图形分解为简单常见的基本图形，达到化“无形”为“有形”的解析效果. 常见的问题类型有扇形的阴影面积求解、函数问题中的一般三角形面积分析等.

    例1（2018年十堰中考数学）如图1所示，在扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB，交于点D，以OC为半径的交OA于点E，试求图中阴影部分的面积.

    难点分析? 阴影部分的图形涉及圆弧，但属于抽象图形，难以利用基本图形的面积公式来求解，最为有效的方式是通过添加辅助线，将图形分割为几个基本图形的组合，则可以分别利用基本图形的面积公式来解答.

    添加探讨? 对于该图形的辅助线添加需要借助圆弧，尽量将其分解为与扇形相关的图形，为后续利用扇形面积公式计算做铺垫. 圆弧上的一点D可以作为关键的分割点，连接OD，设OD与相交于点F. 则左半部分阴影可以由两扇形割补获得，即S1=S扇形AOD-S扇形EOF;而右半部分阴影可以利用三角形与扇形的割补获得，即S2=S△COD-S扇形COF，则总的阴影面积就为两者之和，其中的圖形均为已知面积公式的基本图形.

    详解? 如图2所示，连接OD，设OD与相交于点F，再连接DB，已知点C为OB的中点，则OC=OB=6，又知AO=BO=OD，则Rt△ODC内的∠DOC=60°，则△DOB为等边三角形，推知DC=6. 阴影部分的面积可以表示为S阴影=S扇形AOD-S扇形EOF+S△COD-S扇形COF=S扇形AOD+S△COD-S扇形COE，其中S扇形AOD=，S扇形COE=，S△COD=×6×6，综合可知S阴影=18+6，即阴影部分的面积为18+6.

    添加辅助线，化“分散”为“集中”

    添加辅助线也是条件转化、调换的一种方式，即通过添加辅助线可以使一些看似没有联系、较为分散的条件集中起来，形成一个较为完整的条件链. 尤其是对于一些图形复杂度高、条件众多的综合题，可以充分研究条件，利用条件之间隐含的关联，通过合理的辅助线添加来完成条件链的构建.

    例2如图3所示，△ABC是以点C为顶点的等腰三角形，其中AC=BC，∠C=100°，作∠A的角平分线，交BC于点D，试证明：AD+CD=AB.

    [图3]

    难点分析? 题干给出的条件有两个：一是AC=BC，二是线段AD为∠CAB的平分线，求证AD+CD=AB就是分析AD，CD与AB的线段长关系. 考虑到三条线段不位于同一直线上，因此很难通过线段运算的方式获得三者的长度关系，因此需要将“分散”的线段“集中”在一起，可以考虑通过添加辅助线的方式将线段进行长度转移.

    添加探讨? 实现不共线线段的转移有多种方式，最为有效的方式为构建全等三角形，利用三角形全等的性质来转移集中. 对于本题目，从结论出发，可以考虑以线段AD所在直线为基准，构建一含有30°角的直角三角形，借助三角形全等性质将线段CD转移到线段AD所在直线上，然后借助角平分线性质完成等长证明.

    [图4]

    详解? 延长线段AD至点F，使得FD=CD，再连接FC，过点A作FC的垂线，垂足为点G，连接AG，CG，如图4所示. ∠C=100°，△ABC为等腰三角形，则∠DAB=20°，∠ADB=120°，由对顶角相等可得∠CDF=120°，结合CD=FD可推知∠F=30°，因此在Rt△AFG中，2AG=AF. 另外结合条件可以确定△ACG≌△ACE，则AG=AE，所以AB=2AG=AF=AD+CD，即AD+CD=AB，得证.

    添加辅助线，化“隐”为“显”

    平面几何是中学数学常见的题型之一，对于一些条件隐藏较深的题目，由于平面几何的公式定理众多，有时很难直接调用定理获得条件，此时就可以采用添加辅助线的方式来挖掘条件，调用定理，从而达到化“隐”为“显”的目的.

    例3图5所示为以点O为圆心的半圆，已知半圆的直径为10 cm，弦长AC为6 cm，线段AD为∠CAB的平分线，试求线段AD的长.

    [图5]

    难点分析? 本题目为以圆为背景的弦线段长分析题，题干描述较为简洁，图形结构清晰明了，初步来看仅给出了半圆的直径长和角平分线关系. 一般求解圆内的线段长需要利用圆的相关定理，如圆周角定理、垂径定理，但题干给出的条件不涉及圆周角和直角，因此可以考虑通过添加辅助线来挖掘隐含条件.

    添加探讨? 求解以圆为背景的线段关系，需要利用圆的相关定理.? 题干表明线段AB为半圆的直径，则可以构建90°的圆周角，AD为∠CAB的角平分线，可推知点D为的中点，可以通过添加辅助线构建等角. 因此对于本题目，可通过添加辅助线来挖掘其中的隐含条件.

    [图6]

    详解? 连接BC，OD，DB，设线段BC与OD相交于点E，如图6所示，根据条件可知点D为的中点，∠C=90°，∠ADB=90°，根据垂径定理可知点E为线段BC的中点，OD⊥BC. 在Rt△ABC中利用勾股定理可得BC=8，则BE=4;在Rt△OEB中利用勾股定理可得OE=3，则DE=2;Rt△ADB中，DB=2，AB=10，由勾股定理可得AD=4，即线段AD的长为4.