以变显质，谈初中数学的变式训练

    姜炜

    

    

    

    [摘? 要] 变式训练是将知识转化成技能的一个重要途径. 在初中数学学习中，应用变式训练，既能从“变”中突显数学知识的本质，又在培养学生数学逻辑思维、创新思维等方面有着积极且重要的作用. 文章结合教学实例，对初中数学变式训练的有效实践进行了深入解析.

    [关键词] 初中数学;变式训练;思维;实践

    “熟能生巧”是中国传统教育理念，它在数学教学中的应用尤为突出，国际教育界对于数学练习的重要性，认识度也在提高. 做一定的练习在数学学习中是很有必要的，国内外数学教育者对此已经达成共识. 如何避免题海战术，使数学练习达到事半功倍的效果？如何让数学题发挥更好的训练思维的作用？笔者认为，通过变式训练的方法，即将类型相同的题目，换个数据或者角度，来考查相似领域或者其他领域的数学问题，“变着花样”进行练习，既能避免学生因反复操练而形成抵触心理，又能加深学生们对数学本质的认识和理解，特别地，它更是对学生进行思维训练的一种最佳方法. 基于此，笔者从教学实践出发，对变式训练应如何应用于初中数学教学进行了详细阐述.

    注重变式训练的“选题”

    数学教师在对学生进行变式训练时，首先要注意的就是“选题”. 所选练习题应该是较为典型的，其中包含较多知识点的代表性题型，不能太过简单也不能太过复杂，既要能引起学生们挑战“不可能”的兴趣和心理，也要能够激发他们积极探究的热情，同时还要能够在一定程度上帮助学生打破思维定式，形成发散思维.

    例1如图1所示，AE=DB，∠A=∠D，∠C=∠F，证明：AC=DF.

    变式1如图1所示，AE=DB，∠A=∠D，AC=DF，求证：（1）BC=EF;（2）BC∥EF.

    [图1]

    变式2如图1所示，∠C=∠F ，AC=DF，请再添加一个条件，使△ACB≌△DFE.

    变式3如图1所示，BC=EF，AC=DF，BC∥EF，△ACB与△DFE是否全等？如果全等，请说明理由;如果不全等，请画出反例.

    “全等三角形”这一章，学生刚刚接触几何证明不久，在学习了全等三角形的判定定理之后，这样的变式练习能够帮助他们复习所学知识，同时锻炼几何证明题的思维方式，让他们对于怎样通过证明三角形全等证明线段或者角相等，甚至两直线平行，有自己的认识. “变式1”并不难，基础知识掌握得比较扎实的学生都可以轻松完成. “变式2”较开放，通过让学生思考所有添加条件的可能性，可以对所学的几种三角形全等判定定理进行梳理复习，形成系统的知识体系. 同时，也通过学生自己说条件，进一步熟悉几何语言. “变式3”是对“边边角”这一易错点进行辨析. 题后可以进一步引发学生思考：“在已知条件的基础上，能否再添加一个条件，使得△ACB与△DFE全等？”事实上，若使∠ABC=∠FED=90°，则可用“HL”判定△ACB≌△DFE，从而引导学生对“HL”有更深刻的认识. 我们还可以继续让学生思考变式：“若∠ABC=∠FED>90°，△ACB与△DFE是否全等？”“∠ABC还要满足什么条件，就可以使△ACB≌△DFE？”这两个变式的要求相对较高，有利于学生思维的进一步提升. 如此一来，由一题引发多个变式，层层递进，能满足各个层次学生的需求，并且可以让学生看到因小小的变化而产生千变万化的图形，从而使学生认识数学的美，对数学给予更多关注，从而在变化中逐渐养成多视角看问题、解决问题的意识. 尤其是这样的变式训练，通过对题目进行适当处理，能加强知识横向与纵向之间的联系，对中学生构建完整的数学知识体系大有裨益.

    注重“发散思维”的培养

    发散思维是在來源相同的材料中寻找不同答案的一种思维方式和思维过程，这种思维的特征是更变通、流畅和具有创造性. 它表现为思维视野广阔，思维呈现出多维发散状. 从心理学角度来说，人的创造力与其发散思维是密切相关的，它们之间存在着正比例关系. 数学素有“思维体操”之称，要在数学教学中培养学生的发散思维，变式训练无疑是最好的一个途径.

    如学习“平面直角坐标系”时，我们对点的坐标进行变换：点A（a，b）向左平移m个单位长度后得到的点的坐标为______. 做完之后我们可以让学生自己对点的坐标进行变换编题，此时学生较易想到，点同样可以向右、向上、向下平移，从而找到变化规律. 之后我们进一步启发学生，图形除了平移之外，还有哪些变化？学生能够联想到图形的翻折、旋转，从而引导学生自己提出并且探究下列问题：点A（a，b）关于x轴对称的点的坐标为______;点A（a，b）关于y轴对称的点的坐标为______;点A（a，b）绕原点旋转180°后得到的点的坐标为______. 再由特殊到一般，继续引导学生发现问题并研究下列问题：点A（a，b）关于直线x=m对称的点的坐标为______;点A（a，b）关于直线y=n对称的点的坐标为______;点A（a，b）绕原点顺时针旋转90°后得到的点的坐标为______;点A（a，b）绕原点逆时针旋转90°后得到的点的坐标为__________;点A（a，b）绕点B（c，d）旋转180°后得到的点的坐标为______.

    很明显，这样的变式训练能让学生自己提出问题探究，学生的思维更加活跃，探究也更热烈和深入. 学生在练习时能逐渐学会如何创造性地分析问题、解决问题，也能在这种创造性思维中对数学知识的本质有更深入的理解.

    注重变式训练的“变化方向”

    变式训练的核心在于一个“变”字，那么应该怎么变才能达到预期的效果呢？笔者以两个几何题为例，对变式训练应围绕哪几个“方向”着手设计进行了详细阐述.

    1. 变内容

    巧妙的变化一下提问内容，给学生制造一定的难度，对学生的数学思维是很好的.

    例2如图2所示，点E，F是正方形ABCD的边BC，CD上的点，且AE⊥BF，求证：AE=BF.

    （对于本题，学生根据全等能够很容易地证出来）

    变式1如图3所示，M，N，P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ. 求证：MP=NQ.

    这里，正方形内部两条互相垂直的线段的位置发生了改变，我们可以平移MP与NQ的位置，得到与例2相同的图形（如图4所示），也可以通过作垂线构造全等三角形来解决（如图5所示），其本质是一样的，都是通过添加辅助线构造了全等三角形，体现了几何问题中用三角形解决问题的思想.

    变式2如图6所示，正方形ABCD的边长为12，将正方形折叠，使顶点A与BC边上的点E重合，且BE=5，折痕交AB于点P，交CD于点Q，求折痕PQ的长度.

    这个问题学生一开始思考起来比较困难，但如果充分运用折叠条件，便会发现点A与点E关于线段PQ对称，那么连接AE（如图7所示），便能得到PQ垂直平分AE，与例2类似，我们便可以证得AE=PQ. 要求PQ的长度，只需要在Rt△ABE中求出AE的长度即可. 此题虽然与前两题看着不同，但是其实是上两题基本图形的延伸.

    2. 变条件

    如将例2变式2的已知条件与所求进行交换：如图6所示，折叠正方形ABCD，使顶点A与BC边上的点E重合，且BE=3，折痕交AB于点P，交CD于点Q，DQ=2，求正方形ABCD的边长.

    当学生掌握了某类型题的基本解题方法后，就要通过变式训练强化他们对问题本质的深入理解，通过变条件的方法，让他们学会如何“抵抗”因条件变化而产生的信息干扰. 上题依然是利用构造全等三角形来解决的.

    例3如图8所示，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCG的平分线CF于点F. 求证：AE=EF.

    学生解决本题时往往第一反应是过点F向BG作垂线段，但是会发现无法证出结论. 经过分析，取AB的中点H（如图9所示），可构造出△AHE≌△ECF，从而得证.

    变式将例3中的点E改为BC边上的任意一点（如图10所示），从特殊到一般来探索问题的本质，学生会发现，其实例3取AB的中點是构造了等腰直角三角形HBE，因此我们解决本题时在AB上截取BM=BE（如图11所示），通过构造等腰直角三角形HBE，依然可以得到△AME≌△ECF.

    在这样的变式训练和有效引导中，又回归到数学原理的本质中来. 一旦学生通过这样的训练突破了思维瓶颈，思维领域就会变得更宽、更广.

    变式训练对于学生而言，最直接的效果就是会让他们认识到数学并不难学，数学题并不难做，只要掌握了变化的规律和技巧，于变式之中找到数学最本质、最核心的思想，“以不变应万变”，一切问题都会迎刃而解.