初中数学例题“再创造”教学的策略探索

    陈建国

    [摘 ?要] 学生的数学现实是学习新知识的基础，数学例题则是思考和拓展的源头. 用“再创造”理念挖掘例题的教育价值，对例题进行拓展，有利于加深知识的巩固，能引导学生对例题进行解题方法的策略引导，揭示数学本质，激活学生的思维，逐步培养学生主动探求数学问题的钻研精神.

    [关键词] 数学例题;再创造;课堂教学

    在实际教学中，对于例题的教学处理，不少教师只关注解题思路与解题结果，观察和思考问题的角度单一、方法单调，缺乏对例题进行开发与挖掘，对例题反映出来的思想方法不注重提炼与延伸，对例题隐藏的教育功能没有领会，最后就是学生学习例题后能够对知识点进行模仿和操作，而没有对例题从本质与解决策略上加以领悟.

    “再创造”理论的奠基者荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出：数学教学不是“单纯让学生鹦鹉学舌地复述所学的现成数学”，而是“将数学作为一种活动来进行解释和分析”. 数学教师的任务是指导和帮助学生进行这种“再创造”活动.

    回溯知识原点，教材资源将是进行再创造学习的生长点. 在日常的教学中，对于教材例题和复习例题，要有针对性地进行改编与选择，要注重对例题反映出来的思想方法进行提炼，做到低起点、高落点，倡导对学习方式进行变革，对例题知识点进行迁移，创新解决方法，以透过现象发现问题的本质. 挖掘数学例题的内在逻辑力量，抓住知识本质，沿着思维主线，让问题自然而然地解决，使数学教学成为一个“准发现、再创造”的过程，是我们需要进一步思考的问题. 下面是笔者结合多年的教学实践，对初中数学例题“再创造”教学实施策略的一些探索与思考.

    回溯知识寻原点，创造生成续

    美篇

    简单地说，回溯就是回归，回归到最初的原始状态. 原始状态，一方面指数学例题本身的“基本素材”状态，它是知识延伸的出发点，比如一个基本图形或基本的知识点;第二个方面是指学生该有的生活经验和认知经验状态. 正如波利亚所说的“学生原本已经形成的条件”. 要做到这一点，就要先“带过去”，即把学生带到例题本身的基本素材;再“带回来”，即在基本素材的基础上进行简要开发，重新回到例题本身，从而把学生的思绪带回来.

    案例1 ?如图1，在六边形ABCDEF中，EF∥BC，AF∥CD，DE∥AB，求∠FAB+∠BCD+∠DEF的度数.

    解析 ?如图1，连接AD，因为AB∥DE，CD∥AF，所以∠EDA=∠BAD，∠FAD=∠CDA. 所以∠EDA +∠CDA=∠BAD +∠FAD，即∠FAB=∠CDE. 同理，∠ABC=∠DEF，∠BCD=∠EFA. 因为∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=（6-2）×180°= 720°，所以∠FAB+∠BCD+∠DEF=720°÷2=360°.

    思考1：有没有其他的解法？

    回溯：（1）带过去. 如图2，已知AB∥DE，求∠FAB+∠EFA+∠DEF的度数.

    （2）带回来. 首先用添平行线的方法求得结果，再添线（DC∥FA，BC∥EF）构造成图3的样子，要求∠FAB+∠BCD+∠DEF的度数，由此只要证明∠EFA=∠DCB.

    图2就是一个原始素材，解决策略一般是添加平行线，于是就有了图3的两条平行线. 由于图3所作平行线太靠近，教师可以略作处理成图4.

    如图4，容易证得∠ABC=∠FMC=∠FNC=∠DEF（要證的是∠DCB=∠EFA，却得到∠ABC=∠DEF ），同理可得∠BCD=∠EFA，∠FAB=∠CDE，问题得证.

    正是众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处.

    这是再创造的美，当然也是这堂课的最亮点.

    思考2：还有没有其他的解法？

    如图1，在六边形ABCDEF中，EF∥BC，AF∥CD，DE∥AB，求∠FAB+∠BCD+∠DEF的度数. 此题还可以回溯到哪里？

    回溯：（1）带过去. 如图5，已知MB∥NE，BN∥EM，求证：∠MBN=∠MEN.

    （2）带回来. 如图6，已知MB∥NE，BN∥EM，点A，C，D，F分别在MB，BN，EN，ME上，且CD∥AF，求∠FAB+∠BCD+∠DEF的度数. （这正是例题，解决过程略）

    思考3：还有没有其他的解法？

    还可以这样回溯：如图7，在△PQR中，取AF∥PR，BC∥PQ，DE∥QR，去掉图中的虚线，求∠FAB+∠BCD+∠DEF的度数. （这也是例题，解决过程略）

    教学启示 ?教师的作用是把学生带回去，“再”从头开始. 带回去能“理所当然”地找准例题的最近发展区，这是再创造的最初出发点，学生显然可以得到收获. “再”把学生的思维带回来，“创造”新的思考——再非常自然地连接这些新思考的关键点，让学生主动生成“解决策略”. 案例1中的思考1、思考2、思考3就是一种范式做法. 回溯知识寻原点，创造生成续美篇，不是“帽子里突然跳出一只兔子”的感觉.

    严格示范重本质，养好习惯提能力

    例题具有把知识与技能、思想和方法联系起来的“纽带”作用. 而它的分析与解决过程是知识深化、能力提高、创造力发展的重要途径，能为学生解决数学问题提供示范作用. 再创造方法下的例题教学能让学生养成良好的学习习惯，提高思维水平. 这就要求教师对例题教学要有正确而严格的示范性.

    案例2 浙教版七下“6.1 ?因式分解”一课的例题如下.

    检验下列因式分解是否正确：

    （1）x2y-xy2=xy（x-y）;

    （2）2x2-1=（2x+1）（2x-1）;

    （3）x2+3x+2=（x+1）（x+2）.

    本节课是因式分解的起始课，所以在概念教学之后配置了以上例题，目的是巩固概念，让学生更好地体会因式分解的意义. 虽然试题的难度不大，大部分学生能判断因式分解正确与否，但例题蕴含的知识内涵却很深，需要教师在教学中给予学生清楚的示范和引领. 下面是甲、乙两位教师教学时的师生互动过程.

    【甲教师】 ?教师呈现题目以后，自己先把题目读了一遍，就说道：你们应该知道是正确还是不正确，但要注意解题书写的格式，看黑板. 于是，教师在黑板上板演了第（1）小题——

    解：（1）因为xy（x-y）=x2y-xy2，所以因式分解x2y-xy2=xy（x-y）正确.

    写完后又不放心地强调说：你们看好，我们只要把等号右边的式子乘出来，看是否等于左边就可以进行判断了，懂了吗？

    （学生一齐答“懂了”，然后模仿教师的板书完成了后面两道题的检验）

    【乙教师】 ?教师在呈现题目以后，一言不发，让学生读题、审题. 然后问：谁有办法检验它们是否正确呢？

    生1：可以把等号右边的式子乘出来.

    师：好，你说老师写.

    （师板书：（1）因为xy（x-y）=x2y-xy2，）

    师：然后呢？

    生1：因为乘出来的结果和左边相等，所以因式分解是正确的.

    （师继续板书：所以因式分解x2y-xy2=xy（x-y）正确）

    师（追问）：那如果不相等呢？

    生1：那就说明因式分解是不正确的.

    师：（故作疑惑）那么在检验因式分解是否正确的过程中实际上运用了什么方法？

    生（齐）：（思考片刻）整式的乘法……

    （接着，学生完成后面两道题的检验，从中体会因式分解和整式乘法本质上是一种互逆的关系，所以因式分解的结果是否正确，可以用整式乘法来检验）

    教学启示 ?案例2的教学过程体现了教师对例题的两种不同解读和两种不同的处理方法. 甲教师使用的是传统方式，没有充分暴露解题思路，只重视例题的解题板演过程，完成了例题的显性示范作用，目的只是让学生能模仿解题，这只停留在了表面，没有深入到知识内部，对后期的学习没有延续作用. 乙教师加强了师生的互动过程，不仅完成了例题的显性示范性，而且进一步深化了例题的隐性知识，让学生明白为什么可以这样做，在后续的学习中也能运用这个方法检验自己的学习结果. 我们知道，让学生通过例题的学习能够遵循或模仿最基本的解题格式是必要的示范，我们称之为显性示范. 但引导学生正确理解题意，揭示问题本质，在理解知识概念和性质的基础上去分析、推导，最后解决问题，这是本质的示范，我们称之为隐性示范.

    严格示范重本质，养好习惯提能力. 对于类似的例题处理方法，教师可以在课前进行预设，这就要求教师在实施教学之前要认真解读教材例题，优化例题的教学方法，从更深层次正确规范例题的示范性. 如果每一位教师都能长此以往地坚持下去，相信学生对例题的价值会有更深的体会，从而例题的辐射作用会更大，学生良好的学习习惯便会得以养成，解题能力也会得以提升.

    引导学生多探析，倡导传道也

    解惑

    例题教学要倡导带着学生围绕基本问题一起深入探究，让学生体会基本问题的本质解题方法——如何在适当增加问题枝的情况下思考解决问题的方法，教师要重视这个探析过程，这是培育学生探索精神的有效途径.

    再创造教学在于教师引导学生像数学家那样“走弯路”，珍惜学生的思考过程，逐步带领学生走向“思维的丛林”. 因此，教师可以从原始例题出发，抓住例题解决的核心问题，引导学生层层深入地探索、分析问题，逐步解开思维的“枷锁”，达到豁然开朗. 例题教学不仅是“传道”，而且是“解惑”.

    案例3 ?浙教版九年级上册“圆的基本性质”复习题：已知△ABC内接于半径为2 cm的⊙O内，且AB=2 ?cm，求∠ACB的度数. （可借助图8进行解答）

    1. 初步探析

    探析1：已知△ABC内接于半径为2 cm的⊙O内，且AB=2 cm，则当AB边上的高为（ ? ? ?）时，△ABC为等腰三角形. （可借助图9进行解答）

    A. 1 cm

    B. 3 cm

    C. 1 cm或3 cm

    D. 1 cm或2 cm或3 cm

    探析2：已知△ABC内接于半径为2 cm的⊙O内，△ABC三边上的高交于点G，通过几何画板观察动态，如图10，当△ABC为等边三角形时，CG的长为______.

    2. 深入探析

    探析3：已知△ABC内接于半径为2 cm的⊙O内，点C在弦AB所对的优弧上，且AB=2 cm，如果△ABC三边的高所在的直线交于点G，如图11，请观察动态，猜想CG的长，说出你的解题思路.

    探析4：已知△ABC內接于半径为2 cm的⊙O内，且AB=2 cm，点C在弦AB所对的劣弧上，再猜想CG的长，并说出你的解题思路，如图12.

    教学启示 ?圆的基本性质的复习需要结合特殊三角形，教师以“120°圆心角”这一基本图形为例题，充分展现圆的问题解决策略——“转化到直角三角形，量与量间互化”. 而且不断地创造性地对问题进行探析，在实现问题解决的同时，让学生体会解决问题的转化、分类讨论等重要数学思想.

    引导学生多探析，倡导传道也解惑，能让学生经历再创造过程，提升学生解决问题的能力，同时发展学生的创新意识与探究精神. 我们要培养学生的学科核心素养，就应该关注教学过程，引导学生不断地创造性地探索、分析，要传“回归原点、探析本源”的道，更要让学生体会此“道”何来，以及为何可以这样来.

    例题创变现灵活，变式训练育

    能力

    一题一解是一般例题的基本情况，目标指向明确，且解法是倡导的通性通法，基础性强，适合大多数学生的认知需求. 所以学生在学习例题的同时也掌握了解题的模式，并会机械地应用这个模式去完成相似的习题，这容易造成思维定式. 再创造学习在于让学生不断地追求求异思维和创新，所以教师要善于“留白”，要引导学生不断生成，在生成中达到知识的融会贯通，从而提升解题能力.

    因此，进行例题的灵活变式训练，可以进一步掌握问题的内涵与外延，可以挖掘思维的深度与广度，培养学生的创造能力. 特别是对于学有余力的学生，应不断开发例题，一题多变、一题多解或一题多用（包括静止到动态，特殊到一般的开放性拓展），这是培养学生再创造能力的有效途径，能提升学生的创新意识.

    案例4 ?浙教版八年级下册“一次函数的图像”复习例题：已知一次函数y=（1-2m）x+m-1，函數值y随x的增大而增大，求m的取值范围.

    变式1：已知一次函数y=（1-2m）x+m-1，函数图像与y轴的负半轴相交，求m的取值范围.

    变式2：已知一次函数y=（1-2m）x+m-1，函数图像经过第二、三、四象限，求m的取值范围.

    变式3：已知一次函数y=（1-2m）x+m-1，函数图像不经过第一象限，求m的取值范围.

    变式4：已知一次函数y=（1-2m）x+m-1，函数图像一定经过一个定点，求这个定点.

    变式5：已知一次函数y=（1-2m）x+m-1，函数图像与坐标轴形成的三角形为等腰直角三角形，求m的值.

    教学启示 ?例题本身可以直接运用一次函数的性质加以解决. 变式1与变式2要求学生利用一次函数的性质解题，解题时需数形结合，并应用不等式求m的取值范围. 变式2虽然也考查一次函数的性质，但在不能准确作图的情况下，开始抽象地应用性质来解题. 同时，还要求学生理解一次函数y=kx+b中，k≠0，要求略高. 变式3不仅仅是前面问题的思考延续，更多的是对一次函数包括正比例函数这一重要内容的涵盖，思维力度加大. 变式4与变式5是对例题的创新，体现了数学的灵活性，能使枯燥乏味的数学课堂充满活力，能让学生体会思维的发散性. 从某种意义上来说，变式能力就是创新能力.

    例题创变现灵活，变式训练育能力. 例题潜在功能的发挥需要充分地创变，再从训练中完成知识的整理与解题策略的总结，从而在有限的课堂时间内创造更大的教学效益.

    解后反思应开展，学习品质该

    培育

    教师除了要引导例题的解题方法外，还应引导学生多方位、多角度地回想、思考、反思问题的本质特征是什么，是否理解问题的解决方法，要培养学生的反思意识和反思品质，养成反思习惯，发挥反思作用，提升再创造学习数学的能力.

    案例5 ?浙教版七年级上册“一元一次方程的应用”复习例题：某家具装配厂40名工人装配桌子和椅子，每人每天平均装配桌子60张或椅子30把，1张桌子要配2把椅子. 为了使每天的桌子和椅子刚好配套，应该分配几名工人装配桌子、几名工人装配椅子？

    （例题出示后，学生积极思考）

    生1：（板演）

    解：设x名工人装配桌子，根据题意，得60x=2×30（40-x），解得x=20. 所以20名工人装配桌子，20名工人装配椅子.

    （做完后生1心情复杂地摸着头，感觉哪里有问题，但又不知道问题出在哪里，充满疑虑地回到了座位）

    师：有多少同学像生1这样列方程？请举手！

    （近一半的同学举了手，情况出乎笔者预料）

    师：同学们代入检验一下，告诉我结果.

    生2：装配桌子1200张，椅子600把，这与1张桌子要配2把椅子相矛盾.

    （同学们议论纷纷，反思从此开始）

    生3：我认为方程应该是2×60x=30×（40-x），椅子的数量多，桌子的数量少.

    师：对！椅子的数量多，桌子的数量少.

    （教师在黑板上举例说明： 桌子1、椅子2;桌子2、椅子4;桌子3、椅子6……）

    师：从桌子数量与椅子数量的比例关系我们知道，椅子的数量是桌子数量的2倍，所以方程应该为2×60x=30（40-x）.

    反思：同学们为什么会列出方程60x=2×30（40-x）呢？一是学生没有理解“1张桌子要配2把椅子成一套”的真正含义. 二是没有理解列方程的本质，事实上，列方程就是同一数量用两种不同的形式来表示，如方程右边表示椅子的数量，方程左边用另一种形式表示椅子的数量——用桌子的数量来表示椅子的数量，也就是把“1张桌子要配2把椅子成一套”转化为椅子的数量是桌子数量的2倍.

    变式：某家具装配厂40名工人装配桌子和椅子，每人每天平均装配桌子60张或椅子30把，2张桌子要配3把椅子，为了使每天的桌子和椅子刚好配套，应该分配几名工人装配桌子、几名工人装配椅子？

    生4：设x名工人装配桌子，根据题意，得 = .

    师：你是怎么思考的？

    生4：每份，也就是套数.

    多么精彩的回答，生4从套数寻找等量关系从而列出方程.

    生5：3×60x=2×30（40-x），我是通过比例关系得到的.

    生6： ×60x=30（4-x），我是这样想的——2张桌子要配3把椅子，也就是椅子的数量是桌子数量的 倍.

    教学启示 ?从方程的本质入手，3位学生从三个不同的角度寻找等量关系列出方程，一是从生产套数列方程;二是从椅子、桌子的数量相等关系列方程;三是从椅子的数量关系列方程. 反思促成思考，反思促成思维再创造.

    解后反思应开展，学习品质该培育. 在例题教学中，应重点引导学生进行三点反思. 第一，反思解题过程. 引导学生思考在解题的过程中是否领会了题意，用到了哪些基础知识，解决本题的突破口在哪里，能否把条件转化为解题的思路和方法. 第二，反思解题的方法和规律，启发学生思考解题过程中所使用的方法有没有更好，技能是否更好，帮助学生养成对方法、技能的归类和对隐含数学规律的归纳等习惯. 第三，反思自己的思路及过程. 思考错误点在哪儿，当时自己为什么出错，为什么这样想，老师和其他同学是怎么想的，哪一种方法最优化，此类问题今后该如何思考……坚持反思，长此以往，良好的思维品质便会形成.

    笔者认为，上述五个方面开展例题教学的策略不仅是务“虚”的，也是务“实”的. 务“虚”的可以当作例题教学的基本指导思想，务“实”的可以当作例题教学的具体操作方法. 开展例题教学应该在再创造教学方法的思想下，遵循主动性、活动性、层次性和系统性的基本原则灵活进行. 一般来说，一道例题教学要经历五个方面之一或者更多，但也要根据例题内容，使彰显的价值有主次.

    笔者仅从例题的“再创造”教学提出了五个方面的开展策略并例析，期待更多的数学教学有识人士进一步探索.