核心素养观下勾股定理教学的几点建议

    孔繁艳

    [摘 ?要] 文章基于核心素养背景，提出勾股定理教学的几点建议：重视数学文化的渗透;重视价值与思想方法回归;重视创新能力的培养.

    [关键词] 核心素养;勾股定理;建议

    勾股定理的出现，称得上是数学发展史上的里程碑. 它隐含着丰富的数学文化和应用价值. 勾股定理作为初中平面几何中的一个重要定理，值得教师好好研究，即通过教学如何让学生感受勾股定理的文化价值、实用价值和创新价值. 基于此，本文提出几点教学建议，供大家参考.

    重视数学文化的渗透

    在大力提倡核心素养培养、数学传统文化渗透的教学大背景下，通过勾股定理教学弘扬数学文化势在必行. 教学中，我们不仅要向学生介绍定理的发展史，而且要通过对勾股定理的多种证明方法的探究，激发学生的学习兴趣，激活学生的思维.

    对于勾股定理的证明，除了探究课本上的证明外，教师还可以引导学生搜集资料，探究其他证明方法，如邹元治证明、赵爽证明、美国总统Garfield证明、梅文鼎证明、项明达证明、欧几里得证明、利用相似三角形的性质证明、辛卜松证明、陈杰证明等，让学生在不同的证明方法中感受勾股定理的博大精深与多姿多彩的文化价值，与此同时，教师也可以适时引入与勾股定理有关的数学文化题.

    素材1： “赵爽弦图”问题

    利用弦图（图1）证明勾股定理由我国古代数学家赵爽首创，为缅怀这位伟大的数学家，第24届国际数学家大会特意把弦图作为这次大会的会标. 图1为古代著名“赵爽弦图”示意图，其由四个相同的直角三角形组成. 在Rt△ABC中，若直角边AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是多少？

    下面用勾股定理加以解析.

    如图2，标注出D，E，F，G四点.

    因为AC=6，BC=5，

    所以GD=6，DE=5.

    因为FG=DG，所以FD=2DG=12.

    在Rt△DEF中，由勾股定理得

    EF= = =13.

    所以这个风车的外围周长为4（EF+FG）=4×（13+6）=76.

    素材2： “荡秋千”问题

    《直指算法统宗》是我国古代数学名著，由明朝数学家程大位所著. 这本书中有一道与荡秋千有关的数学问题，其以词的形式呈现如下：

    平地秋千未起，踏板一尺离地.

    送行二步与人齐，五尺人高曾记.

    仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.

    良工高士素好奇，算出索长有几？

    词写得很优美，翻译成现代汉语大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（每5尺为一步），秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，试问它有多长.

    下面我们用勾股定理进行分析.

    如图3，设绳索AC=AD=x尺，则AB=（x+1）-5=x-4（尺）.

    又BD=10尺，在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+BD2=AD2，即（x-4）2+102=x2，解得x=14.5，即绳索的长为14.5尺.

    引导学生搜集资料，探析数学大家的足迹. 课堂中进行文化题的赏析，能有效实现数学文化的渗透，比单纯课本例题的探究更高效.

    重视价值与思想方法回归

    数学知识来源于生活，又服务于生活. 为让学生认识、感受勾股定理及其实用价值，教师在勾股定理的教学中应重视实用价值的渗透，让学生学会用勾股定理解决实际问题. 如，可以引导学生利用勾股定理解决以下几个问题.

    问题1：地基挖得合格吗？

    图4是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8米，AD=BC=6米，AC=9米，请你帮他看一下挖得是否合格.

    问题2 ：木棒能放进木箱吗？

    如图5，有一根70厘米长的木棒，要放在长、宽、高分别是50厘米、30厘米、40厘米的木箱中，能放进去吗？

    问题3 ：如何弯折铁丝做风筝？

    一根长160厘米的细铁丝，李昊同学将其剪成三段准备制作成风筝的边框. 风筝呈等腰三角形形状（如图6）. 假設这个等腰三角形底边上的高AD=40厘米，请问：李昊同学是怎样弯折铁丝的？

    教师在引导学生利用勾股定理解决上述实际问题时，应随时启发学生总结解决问题时用到的基本思想与方法，让学生用数学思想武装自己的头脑.

    问题4：受台风影响的时间有多长？

    据某地气象台预测，一热带风暴中心正从A城正西方向300千米的地方，以每小时26千米的速度向北偏东60°方向飞快移动. 在离风暴中心200千米的范围内都会受到影响. 请问：A城会受到这次风暴的影响吗？若不受影响，请说出理由;若受影响，试计算受到风暴影响的时间.

    本题的情境来自现实生活，材料既新鲜又新颖，能挑战学生的思维深度. 要想解决这类问题，就必须寻找合理的数学模型，并加以转化，这是解题的难点，也是解题的关键.

    本题可构建直角三角形模型. 如图7，O为风暴中心，OC为风暴中心的移动方向. 过点A作AD⊥OC于点D，在Rt△OAD中，因为∠AOD=30°，OA=300千米，故AD=150千米<200千米，所以A城将受到这次风暴的影响. 如图7，设AB=AC=200千米，在Rt△BAD中，由勾股定理，得

    BD= = =50 （千米）.

    所以，A城遭受风暴影响的时间= ≈10.2（小时）.

    问题是数学的心脏，思想是数学的灵魂. 让学生带着勾股定理走进实际问题，又在实际问题中感悟数学思想，能大大提高学生的数学素养，让他们从心底里爱上数学.

    重视创新能力的培养

    在勾股定理的教学中，所谓创新能力的培养，就是倡导学生灵活应用勾股定理解决一些看似与勾股定理无关的问题，这是应试的需要，更是培养学生综合素养的需要.

    案例1：勾股定理与不等式的证明

    已知：a，b，c，d都是正数，求证： + > ?.

    分析 ?本题是一个代数问题，从结构特点（即平方关系）考虑，可运用几何方法（也就是利用勾股定理）来解决.

    证明 ?如图8，构造一个矩形ABCD，其相邻两边的长分别为a+b，c+d. 在Rt△ABE中，可得BE= = = ;在Rt△BCF中，可得BF= = = ;在Rt△DEF中，可得EF= = . 在△BEF中，因为BE+EF >BF，所以 + > .

    从本题的解答中可以看出，在不等式的证明中，勾股定理为从“数”向“形”的转化搭起了“友谊的桥梁”，体现了勾股定理的工具性与实用性. 反之，对于有些几何问题，也可以通过构造直角三角形运用勾股定理来解决，即用代数方法解决几何问题.

    案例2：勾股定理与拼图问题

    （1）2002年8月20日，国际数学家大会在首都北京隆重召开. 图9所示的图形就是这次大会的会标，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成，且拼接起来就是一个大正方形. 假如已知这个大正方形的面积是13，而一个直角三角形两条直角边的和是5，那么你能计算出中间的小正方形的面积吗？请试一试！

    （2）小麦同学手里有一张长为6.5厘米、宽为2厘米的矩形纸片（如图10），请你帮助小麥同学把这个矩形分割成6块，且能拼合成一个正方形.

    （要求：先在图10中画出分割线，再画出拼成的正方形，并标明相应数据）

    解析 ?（1）设直角三角形的两条直角边的长分别为a与b，且a>b，那么小正方形的边长为a-b. 于是依题意有a+b=5①. 另一方面，根据勾股定理，得a2+b2=13②. ①2-②，得2ab=12. 所以（a-b）2=a2+b2-2ab=13-12=1③.故小正方形的面积为1.

    （2）所拼成的正方形的面积为6.5×2=13（平方厘米），故可按照图9进行制作. 由③得a-b=1④. 将①④联立成方程组，可以解得a=3，b=2. 根据题意，直角三角形较长的直角边只能在纸片6.5厘米的长边上截取，剪去四个直角三角形后，余下部分的面积为13- ×3×2×4=13-12=1（平方厘米），而这正好是中间那个小正方形的面积. 于是，得到如图11的分割方法（拼合后的图如图12）.

    说明 ?这类问题经常出现在数学中考命题中，在平时的教学中，教师应引导学生加以研究，这样不仅能培养学生的创新精神，还能为将来的中考复习打基础.

    勾股定理，属于我们，也属于世界，需要我们代代传承. 在勾股定理的教学中，我们不仅要关注勾股定理本身，更要重视它的文化价值、实用价值和创新价值，处处体现出数学教学之核心素养教学观.