基于实证的初中数学建模水平研究

    洪晓妹

    [摘 ?要] 数学建模是重要的教学内容，也是数学学科核心素养的重要组成部分. 在数学建模中关注学生的建模水平，并通过实证的方法去开展性质研究，对于准确把握学生的建模水平，以更好地设计建模教学来说，是有益的.

    [关键词] 初中数学;实证;数学建模;数学建模水平

    所谓实证研究，是指从大量的经验事实中通过科学归纳，总结出具有普遍意义的结论或规律，然后通过科学的逻辑演绎方法推导出某些结论或规律，再将这些结论或规律拿回现实进行检验的方法论思想. 在初中数学教学中，实证研究相对较少，更多的是教师基于自身的教学经验及对经验的总结、概括而进行的认识方面的提升. 这种基于经验的研究，优点在于容易感知，指导性较强，而缺点在于过于感性，容易出现认识模糊、指导偏移等情形. 相比较而言，在日常教学中进行一定的实证研究，笔者以为是恰当的. 本文以初中数学教学中的建模水平为研究对象，略谈笔者的研究过程.

    基于实证的数学建模水平研究思路

    既然要研究初中生在数学学习中的建模水平，那就要搞清楚学生的数学建模能力受哪些因素的影响. 研究表明，影响学生数学建模能力的4个因素是动机态度、知识经验、认知过程、元认知. 根据这一判断，研究者进一步提出，培养中学生数学建模能力的策略为：拓展“最近发展区”，强化“问题意识”，建构“思维模式”，调用“监控系统”.

    显然，从实证研究的角度来看，研究的对象很明确，那就是学生的四个因素水平，当然，还要结合学生的具体数学学习过程. 在“二元一次方程”的教学中，建模過程主要体现在以二元一次方程为形式，以及在实际问题的解决过程中以二元一次方程组为工具进行运用的过程. 即，二元一次方程不仅是一个方程，还是一个解决问题的工具，是以模型的形式存在的. 在实证研究的思路下，笔者以为具体的研究过程可以分为这样四个步骤：第一步，研究动机的激发水平. 这个水平通常取决于两个因素，一是教师所创设的情境，二是学生解决问题的愿望. 而从有效建模的角度来看，教师的主要任务就是创设情境以激活学生的愿望，然后在此过程中判断学生的动机水平. 第二步，研究原有的知识经验水平. 从建构主义的角度来看，学生构建二元一次方程的知识基础在于对方程以及一元一次方程的理解，能力基础在于将已知知识在新情境中进行迁移. 第三步，研究二元一次方程建立过程中学生的认知水平. 有研究者指出，学生要学会用数学方法去理解与现实相关的情境，从而提出解决方案，并认清和判断现实中的数学问题. 基于这样的理解去判断学生的认知水平是可以的. 第四步，判断学生的元认知水平. 元认知是关于认知的认知，是学生关注自身学习行为并对影响学习过程的行为进行矫正的能力水平. 其相对宏观，且对数学建模影响明显，通常情况下，只有在建模过程中注意力高度集中、思维对象完全明确的学生，才能顺利地建立数学模型.

    在数学建模的过程中开展实证研究

    显然，真正的实证所需的材料来源于具体的数学建模过程，下面笔者就从教学现场中寻找相关细节，来谈谈具体的实证研究开展.

    1. 细节一：创设情境，观察学生在情境中的探究动机

    笔者曾经作过对比. 一次，笔者给了学生一个问题情境：小华去看望爷爷，他花68元买了2斤苹果与5斤香蕉，如果苹果和香蕉每斤的价格分别是x元与y元，那可以列出什么式子？另一个情境是：我们班上现有45个同学，如果分两个大组，其中一个大组分若干个小组，但必须每个小组3人;另一个大组也分为若干个小组，但每个小组必须2人. 这样的分配方案能确保班上每个同学都能分配到小组吗？

    实践证明，这两个问题所激发出的学生的研究动机是不一样的，前者容易出结果，但学生的动机较弱;后者的判断过程较为复杂，但学生有较强的研究动机. 且从后来的结果来看，虽然此处过程复杂、费时较多，但对建构二元一次方程的作用较大，学生形成的印象也较为深刻.

    2. 细节二：浸入情境，观察学生在情境中的建构过程

    这个过程中学生的反应与情境密切相关，以上面的第二种情境为例，学生要理解“每个同学都能分配到小组”，他们本来的观点还是比较模糊的，因为此处学生是有意识设未知数的（这是原有知识在发挥作用），尽管部分学生因为感觉问题中可能存在两个未知数而不敢下手，但等到分别设出两个大组中小组的个数时，他们会发现原来问题的解决过程也不过如此. 而等到二元一次方程建立之后，学生忽然发现，其实每个学生分配到小组就意味着方程的解必须是整数，这是判断原问题能与否的关键. 这样，学生的思维实际上贯穿了二元一次方程与求解两个教学关键，客观上也促进了两个教学内容的统一.

    3. 细节三：数学探究，判断学生在探究过程中的认知水平

    学生的认知水平反映在面对问题时的分析水平与解决水平上. 对于上述第二个情境，学生的思维常常是倒着的，即从问题开始研究：从每个学生能够分配到小组，到大脑中对两个小组形成的想象表象——假设这边一大组有多少个小组，那边一大组有多少个小组，然后去配总人数，实际上，这一步就已经完成了二元一次方程模型的建构;再到设未知数，使二元一次方程模型成型，此时学生所表现出来的认知水平，应当说与预设是比较一致的.

    4. 细节四：教学反思，判断学生的元认知水平

    在教学反思中，笔者结合学生解决问题的过程，发现初中生在二元一次方程模型建立的过程中还是存在较强的自控、自纠能力的，不少小组内的讨论都发生了偏移，而组长都能及时进行纠正. 即使是围绕问题解决，他们也能下意识地围绕问题进行讨论. 实际上，不少小组的学生都意识到了上述第二个情境中的分组结果并非唯一，这其实就是思维高度聚焦的结果，体现了较好的元认知水平.

    基于实证的数学建模水平研究思考

    数学建模是数学教学的重要内容，也是数学学科核心素养的重要组成部分. 学生的数学建模水平究竟如何，除了基于经验进行判断之外，还需要结合数学建模的具体过程，通过证据的收集去进行实证研究. 从多个案例的研究中，笔者有下面两点收获.

    其一，数学建模中的实证研究，通常需要从定性研究入手. 这是因为实证研究对于大多数教师来说，都是一个新生事物，完全脱离经验而进行量化研究是不可行的. 而教学经验原本就是一个好东西，基于经验但不囿于经验，是实证研究的重要基础.

    其二，数学建模中的实证研究，要努力走向量化研究. 根据笔者所涉猎的相关理论研究，其实其中有些东西是可以做一些量化处理的，比如可以根据学生在建模过程中的认知水平，结合数学建模的要求去编制一个认知水平表，然后结合学生的建模过程判断其所处的水平，这有助于后面与数学建模相关的教学中更准确地判断学生的可能水平. 但这个工作往往细致且工作量较大，不大可能成为日常研究的行为，所以只可择一而行之.

    总之，初中数学建模中开展实证研究是有意义的，能提升教师对学情的把握水平，数学教师应当努力让自己走在实证的道路上.