几何体的外接球
叶良铨
摘 要：近年来，与多面体相关的外接球的表面积或体积问题频繁出现在高考或各种模拟考试卷中，试题的广度、深度、难度都在不断加大，并常常位于客观题靠后的位置，成为逐步兴起的高考热点。解决此类问题的关键是选好解题策略。策略一，找模型（正方体、长方体）；找“墙角”塞，（直三棱柱，正棱柱，正棱锥，正四面体）；策略二，定球心（分别过两个面的外心作面的垂线，两垂线的交点，即为球心）.
关键词：高考；视图；还原；外接球；策略
随着高考对立体几何知识考查的深入，进一步拓宽了对立体几何问题的命题空间和解题空间，试题的结构、背景、交汇更加丰富、更加新颖。全国卷中往往是只给出几何体的三视图，要求考生求原几何体外接球的表面积和体积.其难点在于准确还原原几何体和几何体外接球半径的求解.本文结合实例，更加系统的介绍由三视图如何准确还原几何体以及几何体外接球半径的几类求法，希望对同行有所帮助.
1 预备知识
预备知识一：由三视图还原几何体的通法：垂直拉升法（三线交汇得顶点）.
由三视图还原几何体的步骤：
全國卷中，往往需要由三视图还原几何体，这就要求考生要有很强的空间想象能力，要通过不断猜想、验证、调整才能得出原几何体.而有些较复杂的反常规的三视图，在高考有限的时间内却很难做到，给考生设置了一道拦路虎，也会使考生对后面的答题产生心理波动.
例1.（2014年高考全国 I 卷理科第12题）如图1，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ）
A. 6 B. 6 C.4 D. 4
解析：步骤1：由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，所以我们可用一个边长为4的正方体作为载体对三视图进行还原，如图2（1）.
步骤2：根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段。即在正方体的后“面”找到对应的点A'B'D'C'，然后从后→前垂直拉伸，用红线表示如图2（2）.
步骤3：侧视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段。即在正方体的右“面”找到对应的点A'B'C'，然后从右→左垂直拉伸，用蓝线表示如图2（3）.
步骤4：俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段。即在正方体的下“面”找到对应的点A'B'D'C'，然后从下→上垂直拉伸，用绿线表示如图2（4）.
步骤5：三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行； 虽是三种颜色的交点，但如果在其三个方向上的点都是三种颜色的交点，则此点要剔除）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图2（5）.
步骤6：验证图2（6）所得的几何体是否符合题意.
结合图2（6），易知BC=AB=4，CA=4 ，
AD=DC=2 容易求得，AD=6，故最长的棱长BD=6，故选B.
以上方法步骤归纳为：①画；②垂；③选；④连；⑤验。
注：（1）还原三个视图无先后顺序；（2）三视图的虚线表示在几何体不可视的位置：后面、右面、下面等.实线在几何体表示可视的位置：前面、左面、上面等.
预备知识二：球的定义、性质、常用结论.
定义：空间中，若一个定点到一个几何体的各顶点的距离都相等，则这个定点就是该几何体的外接球的球心.
性质：球心与截面圆（小圆）圆心的连线垂直于截面圆.
基于上述的定义与性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的位置有如下结论[ 1 ]：
结论1：长方体和正方体的外接球的球心在其体对角线的中点处.
结论2：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.
结论3：正棱锥的外接球的球心在其体高上，具体位置可通过列方程计算来确定.
结论4：正棱柱的外接球的球心在上下底面中心的连线的中点处.
结论5：直三棱柱的外接球的球心在上下底面三角形外心的连线的中点处.
结论6：过几何体其中两个面（外心较易找到）的外心分别作这两个面的垂线，垂线的交点即为球心.
预备知识三：三角形的外心.
1. 定义：△ABC外接圆的圆心，简称为△ABC的外心。
它是△ABC各边中垂线的交点.
2. 性质：①直角△ABC的外心在斜边的中点处.
②等边△ABC的外心在中线的三等分点处.
③设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理
有： = = =2R.
2 简单多面体外接球半径的求法
那么在具体问题中，又如何应用上面的两个预备知识求简单多面体外接球的半径呢？下面我就通过几个实例加以总结，并模型化.
（1）模型一 长方体（正方体）模型
①“墙角模型”（三线两两垂直），如图3（1），（2），（3），（4）
方法：找三条两两互相垂直的线段，分别作为长方体的长、宽、高a，b，c，
用公式：2R= ，即R= .
例2. （2017·兰州市实战考试）一个几何体的三视图如图4（1）所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（ ）
A B C 3 D 3
解析：由三视图还原成的几何体是四棱锥P—ABCD，如图4（2）所示，其外接球即为边长为1的正方体的外接球，注意：DA、DC、DP两两互相垂直，形似“墙角”，而正方体的体对角线就是其外接球的直径，故外接球的直径2R= = ，即R= ，所以球的表面积S=4 R2= ，选A.
②直三棱柱（底面为直角三角形）模型
题设：如图5（1）直三棱柱中ABC-A1B1C1中，AB AC，A1A 面ABC，AB=a，AC=b，AA1=c，求此三棱柱外接球的表面积.
解析：根据此三棱柱的特征，可补成如图5（2）的长方体，从而外接球的半径R= .
③对棱相等模型
题设：已知三棱锥（四面体）的三组对棱对应相等，分别为x，y，z，求此三棱锥的外接球的表面积.
解析：如图6，AD=BC=x，AC=BD=y，AB=CD=z.
第一步：画一个长方体，设长、宽、高分别为a，b，c；并标出三组互为异面直线的对棱.
第二步：列方程组，解方程
a2+b2=BC2=x2
b2+c2=AC2=y2 a2+b2+c2= .
c2+a2=AB2=z2
第三步：根据墙角模型，2R= ，
即R= .
第四步：由球的表面积公式S=4 R2求得.
（2） 模型二 共斜边的直角三角形模型
题设：如图7（1）所示，三棱锥P-ABQ中，∠APB=∠AQB=900，求三棱锥外接球的半径.
解析：取斜边AB的中点O，连接OP、OQ，则有
OP= AB=OA=OB=OQ，所以点O 即为球心，在△POQ中可求得球半径R.
例3 （2016年福建省质检理科10） 如图7（2），在三棱锥P-ABC中，PA=2 ，PC=2，AB= ，BC=3，∠ABC= ，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ）
（A） 4 （B） （C） （D）16
解析：在RtΔABC中，AC= =4所以在ΔPAC中AC2=16，PA2+PC2=16，即：PA2+PC2=AC2，∠APC=900.所以AC的中点0即为球心，故R= AC=2，所以S=4 R2=16 ，选D.
（3）模型三 正棱锥模型（以正三棱锥为例）
正棱锥的外接球球心在体的高线上.
题设：如图8，已知正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高为h，求此三棱锥外接球的表面积.
第一步：确定球心的位置。取ΔABC的外心H，连接PH，在PH上任取点O，则恒有ΔOAH≌ΔOCH，所以恒有OA=OB=OC，故当OA=OP时，点O便为球心.
第二步：计算.设OA=OP=R，則在RtΔOAH中：
OH=h-R，AH=r= a× = a，由勾股定理得R2=（ a）2+（h-R）2，从而解出R= .故此三棱锥的外接球的表面积为4 （ ）2.
（4）模型四 直三棱柱（底面不为直角三角形）
题设：如图9，直三棱柱中ABC-A1B1C1中，A1A⊥面ABC，AB=a，AC=b，BC=c，A1A=h，求此三棱柱外接球的表面积.
解析：设O1，O2分别为△ABC和△A1B1C1的外心，可推得O1，O2的中点即为三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心O.在△ABC中，由余弦定理得：cosA= ，所以sinA= ，所以由正弦定理得△ABC外接圆的直径2r= ，即O1A= ，又OO2= ，所以在RtΔOO2A中，求得R=OA= .
（5） 模型五 定球心
球心在过截面圆圆心的垂线上.
例4 （2016年福建省单科质检理科15变式）如图10，三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2 ，AB=4，∠BAC=300。若三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
解析：依题意得，△PAC为正三角形，其外心在底边AC的高线PH的三等分点O2处；又因为在ΔABC中由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=2 ，所以，AB2=AC2+BC2.故∠ACB=900，所以ΔABC的外心在斜边AB的中点O1处。由题意可得PH⊥面ABC，可推得O1H⊥面PAC，过O1作OO1∥PH，过O2作OO2∥O1H，OO1与OO2交于点O，则有OO1⊥面ABC，OO2⊥面PAC，所以点O即为三棱锥P-ABC的球心。所以在RtΔOO1B中O1B= AB=2，OO1=O2H= PH=1，，所以外接球半径R2=OB2=OO12+O1B2=5，所以外接球的表面积为20 .
（6） 模型六 建系型
例5 如图11（1），边长为1的正方形网格，某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为 .
解析：由垂直拉伸法（三线交汇得顶点）可还原原几何体，如图10（2）所示，三棱锥P-ABC.建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A（1，2，0），B（0，2，0），C（0，1，0），P（0，0，1）；设球心O（x，y，z），球半径为R.依题意有OA2=OB2=OC2=OP2=R2：即
（x-1）2+ （y-2）2+z2=R2
x2+（y-2）2+z2=R2
x2+（y-1）2+z2=R2
x2+y2+（z-1）2=R2
即O（ ， ， ），所以R2= ，故外接球的表面积为11 .
另解：可构造如图11（3）所示的直三棱柱PBC-PQA，利用模型四来解决，读者不妨可以试解一下.
总之，解决几何体外接球的问题遵循两个策略，策略一，找模型.如正方体、长方体（找“墙角”塞）、直三棱柱、正棱柱、正棱锥、正四面体； 策略二，定球心.分别过两个面的外心作面的垂线，两垂线的交点，即为球心.
参考文献：
[1] 武增明.确定多面体外接球球心的策略[J].中学数学杂志，2013（1）：10.
摘 要：近年来，与多面体相关的外接球的表面积或体积问题频繁出现在高考或各种模拟考试卷中，试题的广度、深度、难度都在不断加大，并常常位于客观题靠后的位置，成为逐步兴起的高考热点。解决此类问题的关键是选好解题策略。策略一，找模型（正方体、长方体）；找“墙角”塞，（直三棱柱，正棱柱，正棱锥，正四面体）；策略二，定球心（分别过两个面的外心作面的垂线，两垂线的交点，即为球心）.
关键词：高考；视图；还原；外接球；策略
随着高考对立体几何知识考查的深入，进一步拓宽了对立体几何问题的命题空间和解题空间，试题的结构、背景、交汇更加丰富、更加新颖。全国卷中往往是只给出几何体的三视图，要求考生求原几何体外接球的表面积和体积.其难点在于准确还原原几何体和几何体外接球半径的求解.本文结合实例，更加系统的介绍由三视图如何准确还原几何体以及几何体外接球半径的几类求法，希望对同行有所帮助.
1 预备知识
预备知识一：由三视图还原几何体的通法：垂直拉升法（三线交汇得顶点）.
由三视图还原几何体的步骤：
全國卷中，往往需要由三视图还原几何体，这就要求考生要有很强的空间想象能力，要通过不断猜想、验证、调整才能得出原几何体.而有些较复杂的反常规的三视图，在高考有限的时间内却很难做到，给考生设置了一道拦路虎，也会使考生对后面的答题产生心理波动.
例1.（2014年高考全国 I 卷理科第12题）如图1，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ）
A. 6 B. 6 C.4 D. 4
解析：步骤1：由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，所以我们可用一个边长为4的正方体作为载体对三视图进行还原，如图2（1）.
步骤2：根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段。即在正方体的后“面”找到对应的点A'B'D'C'，然后从后→前垂直拉伸，用红线表示如图2（2）.
步骤3：侧视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段。即在正方体的右“面”找到对应的点A'B'C'，然后从右→左垂直拉伸，用蓝线表示如图2（3）.
步骤4：俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段。即在正方体的下“面”找到对应的点A'B'D'C'，然后从下→上垂直拉伸，用绿线表示如图2（4）.
步骤5：三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行； 虽是三种颜色的交点，但如果在其三个方向上的点都是三种颜色的交点，则此点要剔除）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图2（5）.
步骤6：验证图2（6）所得的几何体是否符合题意.
结合图2（6），易知BC=AB=4，CA=4 ，
AD=DC=2 容易求得，AD=6，故最长的棱长BD=6，故选B.
以上方法步骤归纳为：①画；②垂；③选；④连；⑤验。
注：（1）还原三个视图无先后顺序；（2）三视图的虚线表示在几何体不可视的位置：后面、右面、下面等.实线在几何体表示可视的位置：前面、左面、上面等.
预备知识二：球的定义、性质、常用结论.
定义：空间中，若一个定点到一个几何体的各顶点的距离都相等，则这个定点就是该几何体的外接球的球心.
性质：球心与截面圆（小圆）圆心的连线垂直于截面圆.
基于上述的定义与性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的位置有如下结论[ 1 ]：
结论1：长方体和正方体的外接球的球心在其体对角线的中点处.
结论2：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.
结论3：正棱锥的外接球的球心在其体高上，具体位置可通过列方程计算来确定.
结论4：正棱柱的外接球的球心在上下底面中心的连线的中点处.
结论5：直三棱柱的外接球的球心在上下底面三角形外心的连线的中点处.
结论6：过几何体其中两个面（外心较易找到）的外心分别作这两个面的垂线，垂线的交点即为球心.
预备知识三：三角形的外心.
1. 定义：△ABC外接圆的圆心，简称为△ABC的外心。
它是△ABC各边中垂线的交点.
2. 性质：①直角△ABC的外心在斜边的中点处.
②等边△ABC的外心在中线的三等分点处.
③设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理
有： = = =2R.
2 简单多面体外接球半径的求法
那么在具体问题中，又如何应用上面的两个预备知识求简单多面体外接球的半径呢？下面我就通过几个实例加以总结，并模型化.
（1）模型一 长方体（正方体）模型
①“墙角模型”（三线两两垂直），如图3（1），（2），（3），（4）
方法：找三条两两互相垂直的线段，分别作为长方体的长、宽、高a，b，c，
用公式：2R= ，即R= .
例2. （2017·兰州市实战考试）一个几何体的三视图如图4（1）所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（ ）
A B C 3 D 3
解析：由三视图还原成的几何体是四棱锥P—ABCD，如图4（2）所示，其外接球即为边长为1的正方体的外接球，注意：DA、DC、DP两两互相垂直，形似“墙角”，而正方体的体对角线就是其外接球的直径，故外接球的直径2R= = ，即R= ，所以球的表面积S=4 R2= ，选A.
②直三棱柱（底面为直角三角形）模型
题设：如图5（1）直三棱柱中ABC-A1B1C1中，AB AC，A1A 面ABC，AB=a，AC=b，AA1=c，求此三棱柱外接球的表面积.
解析：根据此三棱柱的特征，可补成如图5（2）的长方体，从而外接球的半径R= .
③对棱相等模型
题设：已知三棱锥（四面体）的三组对棱对应相等，分别为x，y，z，求此三棱锥的外接球的表面积.
解析：如图6，AD=BC=x，AC=BD=y，AB=CD=z.
第一步：画一个长方体，设长、宽、高分别为a，b，c；并标出三组互为异面直线的对棱.
第二步：列方程组，解方程
a2+b2=BC2=x2
b2+c2=AC2=y2 a2+b2+c2= .
c2+a2=AB2=z2
第三步：根据墙角模型，2R= ，
即R= .
第四步：由球的表面积公式S=4 R2求得.
（2） 模型二 共斜边的直角三角形模型
题设：如图7（1）所示，三棱锥P-ABQ中，∠APB=∠AQB=900，求三棱锥外接球的半径.
解析：取斜边AB的中点O，连接OP、OQ，则有
OP= AB=OA=OB=OQ，所以点O 即为球心，在△POQ中可求得球半径R.
例3 （2016年福建省质检理科10） 如图7（2），在三棱锥P-ABC中，PA=2 ，PC=2，AB= ，BC=3，∠ABC= ，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ）
（A） 4 （B） （C） （D）16
解析：在RtΔABC中，AC= =4所以在ΔPAC中AC2=16，PA2+PC2=16，即：PA2+PC2=AC2，∠APC=900.所以AC的中点0即为球心，故R= AC=2，所以S=4 R2=16 ，选D.
（3）模型三 正棱锥模型（以正三棱锥为例）
正棱锥的外接球球心在体的高线上.
题设：如图8，已知正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高为h，求此三棱锥外接球的表面积.
第一步：确定球心的位置。取ΔABC的外心H，连接PH，在PH上任取点O，则恒有ΔOAH≌ΔOCH，所以恒有OA=OB=OC，故当OA=OP时，点O便为球心.
第二步：计算.设OA=OP=R，則在RtΔOAH中：
OH=h-R，AH=r= a× = a，由勾股定理得R2=（ a）2+（h-R）2，从而解出R= .故此三棱锥的外接球的表面积为4 （ ）2.
（4）模型四 直三棱柱（底面不为直角三角形）
题设：如图9，直三棱柱中ABC-A1B1C1中，A1A⊥面ABC，AB=a，AC=b，BC=c，A1A=h，求此三棱柱外接球的表面积.
解析：设O1，O2分别为△ABC和△A1B1C1的外心，可推得O1，O2的中点即为三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心O.在△ABC中，由余弦定理得：cosA= ，所以sinA= ，所以由正弦定理得△ABC外接圆的直径2r= ，即O1A= ，又OO2= ，所以在RtΔOO2A中，求得R=OA= .
（5） 模型五 定球心
球心在过截面圆圆心的垂线上.
例4 （2016年福建省单科质检理科15变式）如图10，三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2 ，AB=4，∠BAC=300。若三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
解析：依题意得，△PAC为正三角形，其外心在底边AC的高线PH的三等分点O2处；又因为在ΔABC中由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=2 ，所以，AB2=AC2+BC2.故∠ACB=900，所以ΔABC的外心在斜边AB的中点O1处。由题意可得PH⊥面ABC，可推得O1H⊥面PAC，过O1作OO1∥PH，过O2作OO2∥O1H，OO1与OO2交于点O，则有OO1⊥面ABC，OO2⊥面PAC，所以点O即为三棱锥P-ABC的球心。所以在RtΔOO1B中O1B= AB=2，OO1=O2H= PH=1，，所以外接球半径R2=OB2=OO12+O1B2=5，所以外接球的表面积为20 .
（6） 模型六 建系型
例5 如图11（1），边长为1的正方形网格，某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为 .
解析：由垂直拉伸法（三线交汇得顶点）可还原原几何体，如图10（2）所示，三棱锥P-ABC.建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A（1，2，0），B（0，2，0），C（0，1，0），P（0，0，1）；设球心O（x，y，z），球半径为R.依题意有OA2=OB2=OC2=OP2=R2：即
（x-1）2+ （y-2）2+z2=R2
x2+（y-2）2+z2=R2
x2+（y-1）2+z2=R2
x2+y2+（z-1）2=R2
即O（ ， ， ），所以R2= ，故外接球的表面积为11 .
另解：可构造如图11（3）所示的直三棱柱PBC-PQA，利用模型四来解决，读者不妨可以试解一下.
总之，解决几何体外接球的问题遵循两个策略，策略一，找模型.如正方体、长方体（找“墙角”塞）、直三棱柱、正棱柱、正棱锥、正四面体； 策略二，定球心.分别过两个面的外心作面的垂线，两垂线的交点，即为球心.
参考文献：
[1] 武增明.确定多面体外接球球心的策略[J].中学数学杂志，2013（1）：10.
