倡导一题多解 提高学生解决问题的综合能力
郭勇其
摘 要：本文通过对2017年全国高考理综（Ⅰ）卷第21题的若干种解法分析，旨在增强高考复习时分析题目的意识，倡导通过一题多解，发散学生的思维，引导学生去寻求发现巧解、妙解，让学生在比较与讨论中找出最简便的解法和独特的富有新意的解题思路，真正培养学生对多种解题方法的认识。利用一题多解既能让学生复习归纳知识，也能让学生在头脑中建立不同知识之间的联系，完善學生的知识认知结构体系，真正促进学生的综合能力的发展。
关键词：动态平衡；一题多解；解题方法；发散思维；综合能力
高三复习，许多学生埋头于题海中，教师的讲解有点儿走马观花，一带而过，结果学生对于知识的应用、解决问题的综合能力无法得到提高，复习效率低下。本文拟通过对2017年全国高考理综（Ⅰ）卷第21题的不同解法，倡导高三复习时通过一题多解，全面提高学生解决问题的综合能力、提高复习效率。
题目：（2017年全国理综Ⅰ卷）21题为多项选择题。如图1所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α> ）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中
A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小
引导学生分析问题，寻求解决问题的可能方案，提出解决问题策略是培养学生分析能力、思维发散能力的好方法，也是习题教学的重要功能之一。
在学生用常规的思路解决之后，鼓励他们尝试从其他不同的角度或方法对问题展开分析，久而久之学生的思维就不会局限于原有的思维定势，从而达到训练发散思维的目的。分析题目：
考点分析：本题是考点“共点力作用下物体的平衡” 中典型模型“动态平衡”的问题。
解决问题的切入点：角α不变且α>
解决问题的策略：正交分解法或平行四边形定则
解决问题的关键：画出动态变化中的静态图
解决问题的方法：图解法、解斜三角形法、端值法等
解法一：解斜三角形法
“动态平衡”的问题解法很多，其中利用三角形的正弦定理或余弦定理是经常用到的方法。
将重物拉开一个角度β后，对重物进行受力分析，根据共点力的平衡条件，绳子OM与MN的拉力T 、TN的合力与重物的重力mg等值反向，如图2所示。由三角形正弦定理可得 = = ；
由于α不变，且α> ，重物向右上方缓慢拉起时，β在增加，故TN在增大；又，β从0增大到 的过程中，sin（α-β）大小是先增大后减少，故TO也是先增大后减少。综上所述，答案为A、D。
（注：本解法学生遇到的障碍是“三角形正弦定理”和“α> ，β从0增大到 时，
sin（α-β）大小是先增大后减少”）
解法二：正交分解法
正交分解法是“共点力作用下物体的平衡”这一考点的基础知识，也是最常规的解法。
将重物拉开一个角度β后，对重物进行受力分析，以OM1 方向为纵坐标，垂直于为OM1方向横坐标，建立直角坐标系，分别对mg 、TN进行分解，如图3所示；然后列方程得：mgsinβ=TNsin（？仔-？琢）①，由于α不变，可见在β从0增大到 的过程中，TN是一直增大；同时有TO=mgcosβ+TN cos（？仔-？琢）②，联立①②，结合数学的三角函数中的知识，最终②式可写成TO=Asin（β+r）形式，在β从0增大到 的过程中，sin（β+r）是先增大后减少，故TO也是先增大后减少。综上所述，答案为A、D。
（注：本解法学生遇到的障碍是“利用三角函数中的知识，联立①②，写成TO=Asin（β+r）形式”）
解法三：图解法
“动态平衡”的问题中，若研究对象受到三个力作用，其中一个力为恒力，另一个力方向不变，第三个力则随外界条件的变化而变化，包括大小和方向都变化，解决问题往往是应用三角形定则画出不同状态下的矢量图（画在同一个图中），然后根据有向线段（表示力）的长度变化判断各力的变化情况。
在图2的基础上，注意到π-α不变，重力mg不变，而TO、 TN的大小和方向都在变化，由于α> ，mg、TO 、TN三者的大小方向及变化关系可以用图4表示。由图可以看出随着MN向上倾斜，TN是一直增大，而TO是先增大后减少（从弦到直径再到弦）。所以，答案为A、D。
（注：本解法学生遇到的障碍是“画出动态图” 以及“TO是从弦到直径再到弦的变化过程”）
解法四：相似三角形法
“相似三角形法”指的是在对物体进行受力分析（尤其是动态平衡过程）时找到两个相似三角形，其中一个三角形的边长表示长度，另一个三角形的边长表示力的大小。利用相似三角形法可以判断某些力的变化情况。
在图2的基础上，还可以应用“相似三角形法”另外求解，将M1N1反向延长交OM（或其延长线）于M2，如图5所示，由图可知三角形△OM1M2与mg、TO 、TN三者构成的力图三角形相似，则有： = ，重物向右上方缓慢拉起时， OM1不变，OM2是先减少后增大（不太容易看出，如图6所示），故TO是先增大后减少；同时有 = = ，在β从0增大到 的过程中，TN是一直增大。答案为A、D。
（注：本解法学生遇到的障碍是分析出“OM2是先减少后增大”和寻找出“相似三角形法”）
解法五：端值法
端值法，是一种非常规的解题方法，特别是在某些选择题中，在不超出变量取值范围的前提下，对变量取极端值（极大值或极小值）进行分析和研究，也可以是对物理过程取极端值分析，快速进行判断。
本题中，取最低点和最高点两个位置进行分析，刚开始时，重物在最低点，绳子OM与MN的拉力TO 、TN的分别为mg 、0；重物在最高点（水平位置与O点等高）时，对重物进行受力分析，如图7所示，根据平行四边形定则，绳子OM与MN的拉力TO 、TN的分别为
TO= ，TN=
可见：①当 时，T/O
②若角α趋于π，TN 将趋于∞，由此可以判断选项B“MN上的张力先增大后减小” 是错误的；选项A是正确的；由于本题是多项选择题，故答案为A、D。
本题甚至可以应用“有固定转轴物体的平衡条件”判断绳子MN的拉力TN的变化情况：以过O点、垂直于纸面的直线为轴，由于角α不变，所以随着重物向右上方缓慢拉起，MN的拉力TN的力臂L1不变，而重力mg的力臂L2在增大，而OM的拉力TO的力矩为零；根据有固定转轴物体的平衡条件得mgL2=TN L1，所以选项A是正确的；
（注：本解法学生遇到的障碍是“根据分析得到TO可能大于也可能小于TO，排除选项B”）
本例中，借助考点“共点力作用下物体的平衡”，复习了解决此类问题的若干方法，也将解选择题的一些方法（排除法、端值法）等介入进来，有繁有简，各种方法相得益彰，提高了学生的兴趣。因此，高考复习时的例题教学中首先应注意常规解法的讲授，做好正常的双基教学，让学生掌握一种基本的常规解法后，然后再适当点拨，发散学生的思维，引导学生去寻求发现其他巧解、妙解等，让学生在比较与讨论中找出最简便的解法和独特的富有新意的解题思路，真正培养学生对多种解题方法的认识。利用一题多解既能让学生复习归纳知识，也能让学生在头脑中建立不同知识之间的联系，完善学生的知识认知结构体系，真正促进学生的综合能力的发展。
摘 要：本文通过对2017年全国高考理综（Ⅰ）卷第21题的若干种解法分析，旨在增强高考复习时分析题目的意识，倡导通过一题多解，发散学生的思维，引导学生去寻求发现巧解、妙解，让学生在比较与讨论中找出最简便的解法和独特的富有新意的解题思路，真正培养学生对多种解题方法的认识。利用一题多解既能让学生复习归纳知识，也能让学生在头脑中建立不同知识之间的联系，完善學生的知识认知结构体系，真正促进学生的综合能力的发展。
关键词：动态平衡；一题多解；解题方法；发散思维；综合能力
高三复习，许多学生埋头于题海中，教师的讲解有点儿走马观花，一带而过，结果学生对于知识的应用、解决问题的综合能力无法得到提高，复习效率低下。本文拟通过对2017年全国高考理综（Ⅰ）卷第21题的不同解法，倡导高三复习时通过一题多解，全面提高学生解决问题的综合能力、提高复习效率。
题目：（2017年全国理综Ⅰ卷）21题为多项选择题。如图1所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α> ）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中
A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小
引导学生分析问题，寻求解决问题的可能方案，提出解决问题策略是培养学生分析能力、思维发散能力的好方法，也是习题教学的重要功能之一。
在学生用常规的思路解决之后，鼓励他们尝试从其他不同的角度或方法对问题展开分析，久而久之学生的思维就不会局限于原有的思维定势，从而达到训练发散思维的目的。分析题目：
考点分析：本题是考点“共点力作用下物体的平衡” 中典型模型“动态平衡”的问题。
解决问题的切入点：角α不变且α>
解决问题的策略：正交分解法或平行四边形定则
解决问题的关键：画出动态变化中的静态图
解决问题的方法：图解法、解斜三角形法、端值法等
解法一：解斜三角形法
“动态平衡”的问题解法很多，其中利用三角形的正弦定理或余弦定理是经常用到的方法。
将重物拉开一个角度β后，对重物进行受力分析，根据共点力的平衡条件，绳子OM与MN的拉力T 、TN的合力与重物的重力mg等值反向，如图2所示。由三角形正弦定理可得 = = ；
由于α不变，且α> ，重物向右上方缓慢拉起时，β在增加，故TN在增大；又，β从0增大到 的过程中，sin（α-β）大小是先增大后减少，故TO也是先增大后减少。综上所述，答案为A、D。
（注：本解法学生遇到的障碍是“三角形正弦定理”和“α> ，β从0增大到 时，
sin（α-β）大小是先增大后减少”）
解法二：正交分解法
正交分解法是“共点力作用下物体的平衡”这一考点的基础知识，也是最常规的解法。
将重物拉开一个角度β后，对重物进行受力分析，以OM1 方向为纵坐标，垂直于为OM1方向横坐标，建立直角坐标系，分别对mg 、TN进行分解，如图3所示；然后列方程得：mgsinβ=TNsin（？仔-？琢）①，由于α不变，可见在β从0增大到 的过程中，TN是一直增大；同时有TO=mgcosβ+TN cos（？仔-？琢）②，联立①②，结合数学的三角函数中的知识，最终②式可写成TO=Asin（β+r）形式，在β从0增大到 的过程中，sin（β+r）是先增大后减少，故TO也是先增大后减少。综上所述，答案为A、D。
（注：本解法学生遇到的障碍是“利用三角函数中的知识，联立①②，写成TO=Asin（β+r）形式”）
解法三：图解法
“动态平衡”的问题中，若研究对象受到三个力作用，其中一个力为恒力，另一个力方向不变，第三个力则随外界条件的变化而变化，包括大小和方向都变化，解决问题往往是应用三角形定则画出不同状态下的矢量图（画在同一个图中），然后根据有向线段（表示力）的长度变化判断各力的变化情况。
在图2的基础上，注意到π-α不变，重力mg不变，而TO、 TN的大小和方向都在变化，由于α> ，mg、TO 、TN三者的大小方向及变化关系可以用图4表示。由图可以看出随着MN向上倾斜，TN是一直增大，而TO是先增大后减少（从弦到直径再到弦）。所以，答案为A、D。
（注：本解法学生遇到的障碍是“画出动态图” 以及“TO是从弦到直径再到弦的变化过程”）
解法四：相似三角形法
“相似三角形法”指的是在对物体进行受力分析（尤其是动态平衡过程）时找到两个相似三角形，其中一个三角形的边长表示长度，另一个三角形的边长表示力的大小。利用相似三角形法可以判断某些力的变化情况。
在图2的基础上，还可以应用“相似三角形法”另外求解，将M1N1反向延长交OM（或其延长线）于M2，如图5所示，由图可知三角形△OM1M2与mg、TO 、TN三者构成的力图三角形相似，则有： = ，重物向右上方缓慢拉起时， OM1不变，OM2是先减少后增大（不太容易看出，如图6所示），故TO是先增大后减少；同时有 = = ，在β从0增大到 的过程中，TN是一直增大。答案为A、D。
（注：本解法学生遇到的障碍是分析出“OM2是先减少后增大”和寻找出“相似三角形法”）
解法五：端值法
端值法，是一种非常规的解题方法，特别是在某些选择题中，在不超出变量取值范围的前提下，对变量取极端值（极大值或极小值）进行分析和研究，也可以是对物理过程取极端值分析，快速进行判断。
本题中，取最低点和最高点两个位置进行分析，刚开始时，重物在最低点，绳子OM与MN的拉力TO 、TN的分别为mg 、0；重物在最高点（水平位置与O点等高）时，对重物进行受力分析，如图7所示，根据平行四边形定则，绳子OM与MN的拉力TO 、TN的分别为
TO= ，TN=
可见：①当 时，T/O
②若角α趋于π，TN 将趋于∞，由此可以判断选项B“MN上的张力先增大后减小” 是错误的；选项A是正确的；由于本题是多项选择题，故答案为A、D。
本题甚至可以应用“有固定转轴物体的平衡条件”判断绳子MN的拉力TN的变化情况：以过O点、垂直于纸面的直线为轴，由于角α不变，所以随着重物向右上方缓慢拉起，MN的拉力TN的力臂L1不变，而重力mg的力臂L2在增大，而OM的拉力TO的力矩为零；根据有固定转轴物体的平衡条件得mgL2=TN L1，所以选项A是正确的；
（注：本解法学生遇到的障碍是“根据分析得到TO可能大于也可能小于TO，排除选项B”）
本例中，借助考点“共点力作用下物体的平衡”，复习了解决此类问题的若干方法，也将解选择题的一些方法（排除法、端值法）等介入进来，有繁有简，各种方法相得益彰，提高了学生的兴趣。因此，高考复习时的例题教学中首先应注意常规解法的讲授，做好正常的双基教学，让学生掌握一种基本的常规解法后，然后再适当点拨，发散学生的思维，引导学生去寻求发现其他巧解、妙解等，让学生在比较与讨论中找出最简便的解法和独特的富有新意的解题思路，真正培养学生对多种解题方法的认识。利用一题多解既能让学生复习归纳知识，也能让学生在头脑中建立不同知识之间的联系，完善学生的知识认知结构体系，真正促进学生的综合能力的发展。
