有放回必有序，无放回可无序
邱东华
计算事件A的概率就是要算清楚基本事件的总数和事件A包含的基本事件数，在人教A版必修3《古典概型》一节的教学中，由于排列组合的内容是放在《选修2-3》才学，所以基本事件数的计算只能用列举法，教材对于这部分的要求是：仅限于能用列举法列出全部基本事件的问题，那么怎样合理准确快捷地列举出所有的基本事件呢？特别是在列举时，事件中的元素是要按不同的顺序（就是排列，有顺序）来列举呢，还是不必考虑元素顺序（就是组合，无顺序）列举呢？什么条件下必须按不同的顺序列举，什么条件下可以不按顺序列举？这个问题是概率初学者容易混淆却又必须弄清楚的问题，因为有没有按顺序来列举，不仅决定着基本事件的总数和解答计算的繁简，甚至会导致解答的错误！
本例题中的“同时掷两个骰子”，也可以理解为“一个骰子掷两次”，或相当于“从分别标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，有放回地随机取出两张卡片”，因为是“有放回”地取，所以才有可能出现“11，22，33，44，55，66”，这样前后两次取到一样的情况，也正是因为有“11，22，33，44，55，66”，这条对角线的存在，如前所述，“有顺序”列举的解法正确，“无顺序”列举的解法错误，因此，我们可以得出结论：如果是有放回抽取，那么就一定要有顺序的列举，即“有放回，必有序”，
2.无放回，可无序
如果把上述中的“有放回”改为“无放回”，即“从分别标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机取出两张卡片，求两张卡片上数字之和5的概率”，又该如何解答呢？请看解法一：将取出的两张卡片“有顺序”排列，因为卡片无放回，抽出的两张卡片号码不会重复，不存在上面一题中的对角线，总共只有30种等可能的结果，如图3，其中和为5的基本事件有4种，所求概率为4/30=2/15；解法二：不区别1+4=5与4+1=5这类事件，也就是不区分卡片的先后顺序，“无顺序”地列举，基本事件就是15种，如图4，不存在之前对角线的情况，15种基本事件的可能性都相等，其中和为5的基本事件有2种，所求概率为
2/15我们发现，本题是“无放回”抽取，解法一是“有顺序”列举，解法二是“无顺序”列举，两种解法答案一致，都是正确的！这说明在“无放回”抽取中，既可按“有顺序”列举来解答，也可按“无顺序”列举来解答，但是“无顺序”列举时基本事件数更少，更容易列举和计算，因此，我们有：“无放回，可无序”，
至此，我们总结出：“有放回必有序，无放回可无序”，我们用这一规则来解答一些问题，
先看教科书中的另一个例题，例题5：“某种饮料每箱6听，如果其中有2听不合格，间质检人员从
计算事件A的概率就是要算清楚基本事件的总数和事件A包含的基本事件数，在人教A版必修3《古典概型》一节的教学中，由于排列组合的内容是放在《选修2-3》才学，所以基本事件数的计算只能用列举法，教材对于这部分的要求是：仅限于能用列举法列出全部基本事件的问题，那么怎样合理准确快捷地列举出所有的基本事件呢？特别是在列举时，事件中的元素是要按不同的顺序（就是排列，有顺序）来列举呢，还是不必考虑元素顺序（就是组合，无顺序）列举呢？什么条件下必须按不同的顺序列举，什么条件下可以不按顺序列举？这个问题是概率初学者容易混淆却又必须弄清楚的问题，因为有没有按顺序来列举，不仅决定着基本事件的总数和解答计算的繁简，甚至会导致解答的错误！
本例题中的“同时掷两个骰子”，也可以理解为“一个骰子掷两次”，或相当于“从分别标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，有放回地随机取出两张卡片”，因为是“有放回”地取，所以才有可能出现“11，22，33，44，55，66”，这样前后两次取到一样的情况，也正是因为有“11，22，33，44，55，66”，这条对角线的存在，如前所述，“有顺序”列举的解法正确，“无顺序”列举的解法错误，因此，我们可以得出结论：如果是有放回抽取，那么就一定要有顺序的列举，即“有放回，必有序”，
2.无放回，可无序
如果把上述中的“有放回”改为“无放回”，即“从分别标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机取出两张卡片，求两张卡片上数字之和5的概率”，又该如何解答呢？请看解法一：将取出的两张卡片“有顺序”排列，因为卡片无放回，抽出的两张卡片号码不会重复，不存在上面一题中的对角线，总共只有30种等可能的结果，如图3，其中和为5的基本事件有4种，所求概率为4/30=2/15；解法二：不区别1+4=5与4+1=5这类事件，也就是不区分卡片的先后顺序，“无顺序”地列举，基本事件就是15种，如图4，不存在之前对角线的情况，15种基本事件的可能性都相等，其中和为5的基本事件有2种，所求概率为
2/15我们发现，本题是“无放回”抽取，解法一是“有顺序”列举，解法二是“无顺序”列举，两种解法答案一致，都是正确的！这说明在“无放回”抽取中，既可按“有顺序”列举来解答，也可按“无顺序”列举来解答，但是“无顺序”列举时基本事件数更少，更容易列举和计算，因此，我们有：“无放回，可无序”，
至此，我们总结出：“有放回必有序，无放回可无序”，我们用这一规则来解答一些问题，
先看教科书中的另一个例题，例题5：“某种饮料每箱6听，如果其中有2听不合格，间质检人员从
