学生交流互动领域数学素养提升的路径

    胡静

    

    

    [摘? 要] 交流互动是数学课堂的必要环节，它延伸学生数学思维活动，促进其思维活动社会化;数学学习过程的有效交流互动是学生尝试论证观点、共享发现、肯定猜想的基本途径. 文章以初中数学讲评课为教学载体，重点探讨在交流互动领域提升学生数学素养的实现途径，以期抛砖引玉.

    [关键词] 数学交流;课堂教学;讲评课;素养

    数学课程标准明确要求培养学生走向社会、适应新环境、获得生存发展的核心能力，数学学习过程的交流与互动是实现这种关键能力生成的重要途径. 所谓数学交流与互动，是指学习者采取“听、说、读、写”等多种方式，运用数学语言和数学思想，实现交互的沟通与启发，这也是学生在掌握数学知识、洞悉数学规律、体验数学思维的一种涉及情感、意志、兴趣等心理倾向的活动[1]. 就初中数学讲评课的教学实践，笔者发现部分数学教师教学过程中的交流互动存在“方向、形式单一，重形式、轻质量”的弊端，存在“师讲生听、只讲不练、就题论题”的现象，而教师常抱怨的同一种数学题型、同类题目讲解多遍，考试中仍然有不少学生还是出错的现象就不足为奇了. 实践表明，一节优质讲评课必须具有“师生互动、生生互动”的活动环节，须给予学生表达思维过程、表达见解的空间，允许学生必要的“反评价”，引导学生有效归纳解题方法与技巧，鼓励学生勇于说题、改题和编题. 在此，笔者以一次试卷讲评课为例，呈现卷中一道附加题的讲评过程，介绍在交流互动领域培养学生数学素养的途径，希望能给同仁带来一些帮助.

    构设合理情境，提供交流素材

    问题：若三角形中存在一条边上的中线长度恰好与此边长相等，这种三角形成为“趣味三角形”;已知Rt△ABC中，∠C=90°，且此三角形为“趣味三角形”，试求：tanA的值.

    兴趣是最好的老师，此处问题情境的创设，能有效激发学生探究的兴趣，引起学生主动复习题中相关数学定理和命题的欲望，引导学生构建已有数学知识、数学规律与新构图形之间的联系，给学生提供有价值的数学交流素材，让学生的数学交流“言之有物”.

    给予思考空间，引导学生交流

    上述三角形试题的结构比较简单，涉及的数学运算并不复杂，由于题设中没有给定固定的图形，在确定直角顶点C的情况下，点A的位置存在两种不同情况（如图1所示），针对AD=BC，BD=AC两种情况，数学教师可以引导学生进行数学交流活动，对题目进行科学探究，形成不同的解题方案，学生在解题方案的交流比较中发现数形结合可以优化解题过程. 可见，数学交流让学生在讲评课上的主动性得以充分发挥，有助于学生分析、解决数学问题能力的提升.

    灵活变式题组，助力交流层次

    初中数学课堂教学中，数学知识和数学解题方法的交流是课堂教学环节的重要组成部分，作为教师还可以借助变式题组让学生进行数学体验和数学交流.

    变式题组：已知三角形中存在一条边上的中线长度恰好与此边长相等，这种三角形称为“趣味三角形”，此定义中的中线称为“趣味中线”. （1）请用尺规作图的方法画出一个“趣味三角形”. （2）若△ABC为“趣味三角形”，则∠A的正切值是否确定？若确定请求出此值;若不确定，请你说明理由. （3）若Rt△ABC为“趣味三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边BC=1，试求：Rt△ABC的“趣味中线”的长度. （4）若Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，试求证：△ABC是“趣味三角形”.

    在题目的讲评过程中，根据新定义图形进行延伸探究，强化学生掌握尺规作图的技巧. 显然，新颖的变式题组激发了学生数学交流的积极性，多层次、阶梯性的变式题组促进了学生数学交流关注度的提升，具有针对性的变式题组调动了学生数学思维的灵活性. 变式题组的讲评过程促进了学生数学交流层次感和综合度的进一步提升[2].

    关注方法交流，拓展思维能力

    数学解题教学中，进行“一题多解、多解归一”的数学交流，能够有效促进学生数学解题能力的提升，有助于数学思想方法的提炼、应用和迁移，有助于学生从“题海战术”中解脱出来，有效体现出讲评课“万变不离其宗”的特征.

    变式题组：已知三角形中存在一条边上的中线长度恰好与此边长相等，这种三角形称为“趣味三角形”. （1）如图2所示，Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求证：△ABC是“趣味三角形”. （2）如图3所示，边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=2θ，两个动点M和N从A点分别沿着AB-BC和AD-DC以相同的速率向终点C运动，点M运动的路程记为S. ①若△AMN为“趣味三角形”且θ=45°，试求的值;②若动点M和N的运动过程中只有一种情况使得△AMN成为“趣味三角形”，试求tanθ的取值范围. （3）试探究在动点M和N运动的过程中，使得△AMN为“趣味三角形”的次数与tanθ值之间的关系.

    这里呈现（2）问中①的“一题多解”的过程：

    方法1：在θ=45°的情况下，若点M处于AB边上时，△AMN為等腰直角三角形，显然不是“趣味三角形”;当M处于BC边上时，添加相关辅助线，如图4所示，根据对称性可知AC是MN的中垂线，结合几何关系可得△AEF∽△CEN，即=====.

    ①若在△AMN中MN=AE，即=2，则=.

    ② 如图5所示，若在△AMN中AM=NH，AH=HM，NG⊥AM于G，则NG是AH的中垂线，根据几何关系可得NG=GH，则tan∠AMN===，即=+.

    方法2：①如图4所示，在Rt△ABM中AM2=AB2+BM2=a2+（S-a）2;在Rt△AEM中AM2=AE2+EM2=

    a2+

    2，综上可得=. ②略.

    方法3：①如图4所示，AC=MN，AC为MN的中垂线，△AEF和△MEC为等腰直角三角形，则AE=2ME，即a=2×，即=. ②略.

    笔者在教学过程中启发学生进行一题多解，学生各自解题与交流后，引导其进行解法总结：方法1属于几何构造法，灵活添加辅助线将动点M的轨迹转换成线段进行处理，构造相似三角形，结合“趣味三角形”的特征进行分类讨论，此解法的优点是“通俗易懂、运算简单”，缺点是学生添加合适的辅助线比较困难. 方法2是观察几何图形特征，借助Rt△ABM和Rt△AEM中的公共斜边AE，运用勾股定理构建a与S的等量关系式进行求解. 此解法优点是解题思路简单、清晰，缺点是求解过程中的数学运算量比较大，学生容易出现错误. 方法3是根据方法2演变而来，根据图形特征得出E是线段AC的三等分点，利用直角三角形关系，得出AE=2ME，进而得出a与S的比值. 显然，上述三种解法中都涉及“趣味三角形”两种情况的分类讨论，学生的数学交流渗透于“点评、小结、评价”环节之中，学生解决问题的能力在“多解归一”的教学环节中得以提升，进而成功走出“就题论题”的困境，达到“以题论法、以题论道”的境界，学生在此数学交流过程中充分体验了“以形助数，以数化形”数学思想方法的妙用[3].

    结束语

    纵观试题讲评过程，师生的教学思维过程出发于“趣味三角形”陌生概念，展开于“趣味三角形”一系列变式探究，落实了数学素养，提升了学生逐步掌握处理“新定义题型”的基本思路与方法. “一题多解、一题多变”，促进学生有效交流互动，充分发挥数学课堂交流互动的功能与效果，让学生能顺利“举一反三、融会贯通”. 一线数学教师在讲评课中应注重夯实数学概念的内涵与外延，灵活挖掘数学试题的核心内容，进行针对性变式训练，搭好数学交流互动的平台. 引领学生基于典型试题深度与广度视角进行探究，促进学生数学交流互动领域素养的有机生成，突破传统数学讲评课的立意与品位，真正实现数学讲评课的教学价值.

    参考文献：

    [1]胡军. 区域优化初三数学试卷讲评课的实践与思考[J].数学教学通讯，2013（7）：37-40.

    [2]董钧. 数学试卷讲评课教学之我见[J]. 数学教学通讯，2018（5）：32-33，52.

    [3]夏春南. 试卷讲评要“接地气”[J]. 中学数学月刊，2018（5）：46-50.