以探究为导向,构筑灵动、高效的课堂

    张超

    

    

    

    [摘? 要] 文章重点探究了一次函数的表达式与图像之间的一一对应关系. 教学活动中让学生经历了“操作—猜想—探究—验证”的过程,利用“描点法”绘制一次函数的图像,引发了学生对“两点法”刻画一次函数图像的思考.

    [关键词] 表达式;直线;一一对应

    对教学目标以及所处教材体系的研究

    苏科版《义务教育课程标准试验教科书·数学》(八年级上册第6章6.5节)“一次函数图像(第1课时)”是在学习了一次函数的概念、三种函数不同表示方法的基础上,让学生感受、探究一次函数的图像,掌握用“描点法”来画一次函数的图像. 一次函数的图像作为第一个函数图形的研究,具有代表性. 结合课标,笔者对这节课教学目标的理解是:(1)一次函数的图像是怎么形成的;(2)一次函数的图像为什么是一条直线;(3)如何描绘出一次函数的图像.

    关于教学过程的研究

    1. 情境引入

    在太阳和月球引力的作用下,海水定时涨落的现象称为海洋的潮汐,涨落的水位高低称为潮位. 随着时间t的变化,潮水的高度h也随之发生变化. 假设海洋潮水高度h与时间t之间满足这样的函数关系式:

    h=(t-2)2+1(0≤t≤5).

    问题1:你还有哪些不同的方法来表示h与t之间的函数关系?

    问题2:表1中的两个变量t,h的数值如何确定?

    问题3:如何描绘该函数的图像?

    课堂回放 问题1回顾函数的三种不同表示方法;问题2引导学生通过t和h这两个变量数值的对应,刻画它们的函数关系;问题3利用直角坐标系把函数图像问题转化成点的坐标问题.

    学生活动1 在平面直角坐标系中描绘出表1中关于两个变量所形成的点.

    课堂回放 师:函数图像就是图1中孤立的6个点吗?说说你的见解.

    生1:自变量t的取值范围是0≤t≤5,t的取值除了整数外还可以取小数.

    (学生动手尝试自变量t是小数的点)

    生2:函数的图像中存在无数个点.

    生3:(展示)无数个这样的点“靠在一起”就形成了一条曲线(如图2).

    (部分学生展开讨论,表示质疑)

    师:好,希望通过本节课的探究能帮助大家验证猜想.

    师:把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫这个函数的图像.

    师:回顾刚才画函数图像的过程,我们经历了怎样的步骤?

    生(齐):列表、描点、连线.

    设计构想? 引入生活实例,体现数学源于生活. 通过对函数三种表示方法的认识,了解不同表示方法的联系,为用描点法画函数图像做铺垫. 选择抛物线引入,目的是让学生不陷入函数图像是一条直线的定式中,也让学生思考一次函数的图像是否会像抛物线一样是弯曲的.

    2. 合作探究:一次函数y=2x+1的图像及画法

    (1)小组合作,师生交流探究过程

    师:列表应注意以下几点.

    ①通常,我们所选取的点应具有完备性,x的值取正数、0、负数.

    ②列表的时候,自变量的数值从小到大排列.

    ③x与y有无数多组,两边用省略号表示,如表2.

    课堂回放 师:在直角坐标系中描绘出这些点,它们在位置上有什么关系?(提示学生动用直尺去比对)

    生(齐):在一条直线上.

    师:你还能找到哪些点?

    生4:(0.5,2),(1.5,4),(2.5,6).

    生5:自变量也可以是负数,如(-0.5,0),(-1.5,-2),(-2.5,-4).

    师:请大家描绘出刚刚两位同学所找的点,再观察这些点的位置.

    生6:这些点仍然在同一条直线上.

    师:刚才大家通过观察(图3),发现这些点位置上的特殊关系,能否保证函数图像所有的点都具有这样的特征?

    (学生小声议论,有一些迟疑)

    师:如果把自变量x在0到1之间10等分,横坐标分别取0.1,0.2,…,0.9,描绘出这些点(如图4),观察这些点的特征.

    (学生通过几何直观,發现这些点“靠”在一起形成了一条直线)

    师:扩大横轴上的单位长度,如图5,再观察这些点的位置.

    生(齐):这些点又分开了.

    师:能使图像中的点“靠”得更近点吗?

    生7:0~1之间可以取更多的点,让点密集起来.

    师:能否具体点?

    生8:可以把自变量0~0.1,0.1~0.2,…,0.9~1再分别10等分.

    师:好,看图6.

    (学生的观察是点又形成了线)

    (2)初步小结:深化理解

    课堂回放 师:自变量在0~1之间还可以无数次等分下去,形成无数个点,它们会“靠”在一起形成一条线. 那么,1~2,2~3…同样如此.

    共同归纳:—次函数y=2x+1的图像是一条直线(如图7).

    师:在这条直线上任意取点,如(-2,-3),(1,3),横坐标与纵坐标满足什么关系?

    生9:横坐标与纵坐标的数值满足一次函数的表达式.

    师:满足一次函数表达式的x和y转化为坐标是否也在函数图像上呢?

    师生总结:函数的图像与表达式之间是一一对应关系(如图8).

    3. 深入探究:优化一次函数图像的画法

    学生活动2 已知一次函数y=-3x+2.

    (1)试判断(4,-10),(-3,8),(0,2)三点是否在函数y=-3x+2的图像上;

    (2)若(3,a),(b,7)两点在函数图像上,求a,b的值;

    (学生根据函数的表达式与图像之间的关系,迅速作答)

    (3)画出一次函数y=-3x+2的图像(限定时间1分钟)

    (1分钟后,有部分同学举手示意)

    课堂回放 师:你描了哪些点?

    生10:(0,2)和(1,-1)两个点.

    师:说说你的想法.

    生10:两点确定一条直线.

    师:能否舉例验证满足函数表达式的点都在如图9所示的直线上?

    师生互动:(借助几何画板)逐个描出学生列举出的点的坐标,如(-1,5),(-0.5,3.5),(0.5,0.5),(1.5,-2.5),(2,-4),如图10,得出满足函数表达式的点都在同一条直线上.

    师生共同总结:满足一次函数表达式的两个点就可以确定它的图像(“两点法”).

    学生活动3 快速画出一次函数y=x+1的图像.

    课堂回放 师:哪些位置上的点的坐标比较容易确定?为什么?

    生11:两个坐标轴上的点的坐标容易确定,因为x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0(板书如表3).

    [x 0 -3 y 1 0 ][表3]

    师:根据这两个点的坐标,画出函数y=x+1的图像.

    师:对于一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0),如何快速地找出两个点的坐标从而画出函数图像?

    生12:板书如表4.

    [x 0 - y b 0 ][表4]

    4. 回顾思考:知识的梳理及小结

    (1)对于函数h=(t-2)2+1(0≤t≤5)的图像,能否找到方法验证猜想?

    (2)一次函数的图像是直线,对此你有哪些认知?

    (3)一次函数的表达式与它的图像有何关系?

    (4)怎样画一次函数的图像?

    课堂回放 学生回答,教师补充点评.

    教学思考

    1. 深入探究,注重数学理解

    张奠宙先生把数学教学认为是数学教育形态的教学[1]. 数学教育形态的本质是教师创造数学理解. 数学理解是建立在循序渐进的认知过程基础上的,根据数学的思想与方法、知识与技能,探究数学知识的发生与发展过程. 对于教材中的概念、定理、法则,进行课堂教学时,需要教师对教学内容进行符合实际教学情况的改造与演绎. 所以,教师在教学中的真正价值体现,在于对数学理解的把握.

    笔者就这节课的理解,体现在两个层面:一是如何引导学生画函数图像. 本课的情境引入是抛物线的研究,渗透画函数图像的三个步骤. 对于一次函数图像的画法,则采用类比探究的方式. 过程中,表格中自变量x如何选取、点的坐标如何确定、由描绘的一个个孤立的点如何确定函数的图像,是本节课创造数学理解的关键. 二是如何验证一次函数的图像是一条直线. 随着课堂探究的深入,学生经历了感受(列表、描点),形成了感知(判断一次函数的图像是一条直线). 当然,学生如何形成感悟,成为本节课数学理解的核心. 探究过程中,笔者引导学生仍从“点”出发,强化函数的图像是由无数个点形成的,采用了从“局部”到“整体”的思维方式. 例如图5中,自变量0~1之间取10等分,观察这些点的位置. 通过控制直角坐标系的单位长度,可以进一步把自变量在0~0.1,0.1~0.2,…,0.9~1之间再各自10等分,让更多满足函数表达式的点“密布”. 这样的方式能让学生通过图形感知理解——这些无数个“密布”的点“靠”在一起,就“连”成了一条直线.

    2. 鼓励质疑,促进课堂动态生成

    “学贵有疑,疑而出新. ”实际教学中,教师对于学生的质疑要适时鼓励,要给予他们创造性思考的信心. 例如,本节课“问题情境”中的二次函数图像,描点后连线(如图2),部分同学提出质疑:图像为何是曲线而不是折线?学生在没有任何认知的前提下,大胆地提出了他们的想法. 此时除给予鼓励外,还要抓住学生课堂中生成的问题,设置悬念,激发学生的探究兴趣[2],同时为确定一次函数的图像做铺垫. 探究得出一次函数的图像是一条直线后,再次回到“问题情境”,确定二次函数图像的问题,根据一次函数探究的认知理论,学生较易找出验证的方法,这完全立足于学生的最近发展区.

    3. 立足于教学体系,遵循逻辑关系

    学习完一次函数的概念及表达式后,学生对函数的理解还较为抽象,那如何让函数更为具体地表示,强化学生对函数的认知与理解呢?函数图像的引入,是通过图形来刻画抽象的表达式,做到了“数”与“形”的对应. 在教学环节设计的过程中,教学内容的落脚点首先是感受画函数图像的方法步骤,然后通过描出点的位置猜想函数图像,自然螺旋上升到函数图像的验证. 探究过程中对于函数图像的感受、猜想、验证,最终都是让学生能够理解性地熟练刻画一次函数的图像. 基于研究性的数学教学,以灵动高效的课堂作为支撑,既能满足学生“知其然”,更追求“知其所以然”.

    参考文献:

    [1]张奠宙. 教育数学是具有教育形态的数学[J]. 数学教育学报,2005,14(3):1-4.

    [2]黄文光,郦兴江. 理解“三个理解”? ? 凸显数学思想[J]. 中学数学,2015(2):55-56.

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