初中数学教学的“三理解”

    张建军

    [摘? 要] 数学教学的过程，是数学教师以熟悉的方式将自己理解的教学内容“传递”给学生的过程. 理解数学学科的本质与特点，理解学生尤其是学生的思维方式，理解“传递”的背后是学生的主动建构，是数学有效教学乃至核心素养培育的坚实基础.

    [关键词] 初中数学;理解数学;理解学生;理解教学

    数学教学的过程，就是教师将自己所理解的数学内容，通过自己熟悉的教学方式，“传递”给学生的过程. 当然，这个传递不是像传递物体那样形象，而是为了促进学生的主体建构. 基于这样的理解，可以看到数学教学离不开基本的“三理解”：理解数学、理解学生、理解教学. 可以说，只有这三个方面的理解到位了，数学教学乃至数学学科核心素养的培育才能真正落到实处. 本文试就这“三理解”做一简述.

    理解数学

    理解数学的目的，在于让教师知道自己所教的是什么. 显然，数学教师所教的不仅仅是数学知识，因此数学教学就不能只是教学生学会数学知识，学生学习数学的过程也不是简单的模仿，而应是进入数学领域，感受数学学科的内在规律，并领略数学魅力的过程.

    例如，在等腰三角形的教学中，人教版教材紧随其后设计了“最短路径问题”这一学习课题. 从内容上看，这是因为最短路径问题的解决过程中使用到了等腰三角形的知识，但如果我们再深入一点去理解，就会发现更多. 比如，最短路径问题在数学中最初出现于“两点之间，线段最短”，这也是学生最熟悉的基本规律，因此这是最短路径问题的知识与经验基础，而等腰三角形后面的这一最短路径问题，实际上是新情境下的最短路径问题，其需要用到“两点之间，线段最短”、轴对称、等腰三角形等知识. 更重要的是，这类问题往往是从实际问题中抽象而来的，因此这一课题的学习，实际上是让学生认识到数学与生活的联系，能培养学生在生活中认识数学的意识与运用数学知识解决生活问题的能力.

    再比如，从数学方法的角度讲，解决最短路径问题，需要将实际问题抽象为数学问题，即把饮马、挑水类实际问题，转换为由A点到直线l上某点再到B点的问题. 这是一个数学抽象的过程，而数学抽象既是一种重要的数学思想方法，也是数学学科核心素养的组成部分之一，因此数学教学的过程，应当把体验数学思想方法作为一个显性过程，让学生经历充分的数学抽象过程.

    所以我们可以发现，要在初中数学教学中理解数学，实际上就是既要理解数学学习内容在整个数学体系中的地位，也要理解某一个数学知识在学生的学习过程当中按照什么样的逻辑展开. 因为根据我们的教学经验，数学知识的形成过程可能有两个途径：一是教师预设的途径，也就是教师所希望的知识生成的过程;另一个途径是学生学习过程当中，实际的知识发生过程. 这两种途径往往并不完全重合. 很多时候，教师教学中遇到的矛盾，其实就是这两种途径所展示出来的矛盾. 从这个角度讲，理解数学，离不开理解学生.

    理解学生

    学生在教学中的主体地位不言而喻，但需要认清的一个事实是，认同学生的主体地位，不等于能够真正理解学生. 笔者以为，在初中数学教学中，理解学生应当持久理解，同时应当具有下面三个方面的内涵.

    1. 理解学生的数学基础

    教师在预设教学的时候，总是从数学知识的逻辑来设计，譬如让学生解决“最短路径问题”时，总是预设学生已经对轴对称、等腰三角形的知识掌握得很熟练了，但事实上并非如此. 很多学生此前的知识基础不同，哪怕是刚刚所学的知识，不同学生的理解程度也是不同的. 笔者就发现，在将实际问题抽象成“由A点到直线l上某点再到B点的问题”的过程中，就有学生无法想象在直线l上任取一点C对解决问题有什么作用. 说得再直白一些，这部分学生还没有意识到轴对称知识在此能够发挥什么样的作用. 因此，教师在教学时，不要因为前面已经学过了轴对称知识，就认为其已经是所有学生都能熟练运用的工具，还是要针对不同学生的实际情况，单独回忆甚至板书，以备随时调用.

    2. 理解学生的思维方式

    学生的思维方式對学习结果有直接的影响，数学本身就是思维的学科，思维方式对数学知识的建构结果非常明显. 思维方式的研究成果是丰富的，笔者在工作中发现，如果从学生思维与教师讲授之间的时间差关系角度来分析，会出现很有意思的结果：有的学生在数学学习中思维是跟着教师走的，这类学生的思维慢教师半拍，通常没有自主性;有的学生则喜欢想在教师的前面，他们会下意识地猜教师下面会讲什么知识、问什么问题，如果猜想不一致，他们会对自己的学习进程做出调整. 我们说课堂上学生容易分心，通常就是前一类思维方式的学生. 在解决“最短路径问题”的时候，有的学生只是呆呆地思考，有的学生则眼珠直转，立即思考其与前面所学的轴对称、等腰三角形是不是有什么关系. 教师在教学中把握了学生这一思维方式的不同，并尽量培养后一种思维方式，对提高教学效果非常有帮助.

    3. 理解学生的数学语言、数学建模运用

    初中生学习数学的过程，可以理解为初中生掌握数学语言的过程. 掌握数学语言，意味着学生已经进入数学范式，意味着学生能够用数学语言来表达自己的思想，这对于初中生来说，并非一件轻而易举的事情. 如“最短路径问题”中，我们可以看到班上不同层次的学生在思考这个问题时，内心的想法是不一样的. “学困生”大脑中想的往往是问题本身，即题目问怎样的路径最短，他就想怎样的路径最短，而没有将最短路径问题转换为数学语言的意识，这实际上就是数学思维方式没有养成的表现;而中等生往往知道将此问题与轴对称知识结合起来，但是由于建立数学模型比较困难，所以他们最终也难以解决;只有学优生既能将轴对称知识运用进来，又能顺利地建立数学模型. 需要指出的是，对于“学困生”和中等生，教师必须明确教学是为他们服务的，只有这样，才是真正的以生为本.

    理解教学

    关于数学教学，有经验的教师都知道，课程改革中曾经有过对建构主义学习观的争论. 尽管不少专家不承认建构主义的作用，但笔者基于学生的学习实际依然认为，初中生的数学学习确实存在着明显的建构性，根据建构主义学习理论去为学生准备先前经验，促进学生自主建构，确实可以提高学生的数学学习水平. 因此，从建构主义角度理解数学教学，笔者以为是恰当的.

    比如，上面提到的部分学生由于对轴对称知识和等腰三角形知识掌握不牢，导致解决最短路径问题出现障碍的情形，笔者所采用的“课堂上即时回忆，板书前面的知识要点”这一策略就非常有用;再比如，在数学抽象的过程中，通过直线l上任意一点的假设，来建立初步的模型，这也是非常重要的一步，因为C点的选择与确定，实际上就是在数学抽象的过程中帮学生确认问题解决的关键点. 从建构主义学习观的角度来看，这就是帮学生建构，但这个帮又不是完全替代，教师要通过对C点的分析，让学生意识到直线l上只有一点保证路径最短，而该点的最终选择，要从对一般情形的分析中得出. 于是，基于经验试错，借助轴对称知识去论证，就成为主动建构的核心组成部分. 事实也证明，这样的过程虽然略显耗时，却能让学生在学习的过程中知道如何规避经验的缺陷，如何准确地选择数学工具（轴对称知识）来解决问题，这就是能力的提升.

    理解教学，实际上是理解教育学的关系，也是理解教师与学生的关系. 通过十多年的课程改革，师生之间教与学、帮助与被帮助、服务与被服务的关系已较为明确. 但这还是一种宏观的描述，如果再精细一点，具体到数学学习过程中的某一个知识或某一个环节，教师仍然要思考自己在这个过程当中应该充当什么样的角色. 只有角色恰当，师生之间的教学关系才能清晰. 从这个角度讲，理解教学包括三个元素，即教师、学生以及数学学习内容，其中数学学习内容是教师与学生之间产生教学联系的桥梁. 当然，我们还可以寻找另外一个比喻，那就是初中数学学习的过程，就是教师带着学生沿着数学学习内容这条途径一同前行的过程，在这个过程当中，学生走在前面，他们有可能会遇到困难，遇到困难时，教师及时提示并提供帮助，那这个帮助的过程实际上就是教学的过程.

    总之，在初中数学教学中，有效的教学离不开理解数学、理解学生、理解教学. 真正做到了这“三理解”，那初中数学教学就是有效的. 同样的，也必然可以为数学学科核心素养的培育奠定一个坚实的基础.