例谈初中几何证明中“辅助线的自然生成”

    秦晓

    [摘? 要] 问题情境的创设对学生核心素养的发展非常重要. 文章以“全等三角形判定定理的应用”为例，探讨了核心素养理论指导下问题情境的创设策略，并总结了相关注意点.

    [关键词] 初中数学;问题情境;创设策略

    数学核心素养是具有数学特征的、匹配学生终身发展需要的基本知识和相关能力，新修订的课程标准指出，初中数学教学应该将学生的核心素养发展贯穿整个课堂. 初中数学教师在组织教学时，要关注学生在数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析、科学精神、实践创新等方面素养的发展和提升. 上述内容既相互独立，又彼此融合，是一个完整的整体. 在教学过程中，教师要统筹规划，将相关元素整合到课堂教学中，优化情境创设，让数学课堂真正成为学生核心素养发展的平台.

    境创设策略

    从核心素养理论出发，教师要注意多角度地展开问题情境的创设，适应学生各方面的发展需要. 下面笔者结合教学实践，谈一谈问题情境的创设策略.

    1. 单刀直入地创设问题情境

    创设问题情境的目的很多，其中包括提醒学生注意，引导学生开启思维，并在问题的分析过程中回顾已学知识，巩固相关认识. 这样的问题情境一般发生在课堂导入阶段，或课堂总结阶段. 在导入阶段，学生的神经依然比较松弛，此时通过单刀直入的提问，可以让学生紧张起来，由此更快地适应课堂节奏. 而且某些直截了当的问题，可以帮助学生对已有认识进行回顾，这也将成为学生建构新认识的基础. 在课堂即将结束的阶段，学生已经相对疲劳，这时他们的思维也容易被分散，教师此时呈现更加直白的问题，便可以减轻学生的负担，让学生的思维更有针对性. 同时，这一阶段主要是帮助学生回顾整节课的学习，有着总结的意义，相对直接的问题，能够帮助学生有效地梳理新学概念，促进知识的整体性建构[1].

    比如，引导学生通过应用来对全等三角形的判定定理实现更进一步的理解和认识之前，教师直接提出问题：“请阐述你所知道的全等三角形的判定定理. ”这个问题将引导学生对基本概念展开回顾和复习. 在某一个例题讲解结束时，教师可以提出问题：“上述问题采用了哪一条判定定理？”“这个问题跟前一个问题有什么差别？”在课堂即将结束之际，教师提出问题：“本节课我们进一步熟悉了全等三角形判定定理的使用，请你们总结一下相关定理的使用有什么注意点.”

    通过上述教学案例，我们发现朴实而直接的问题情境在发展学生核心素养的过程中，依然有其存在的价值. 我们不能为了营造表面化的课堂精彩，而故意让问题情境变得过分花哨，喧宾夺主的问题情境往往会让学生分散精力，起不到应有的效果.

    2. 结合生活来创设问题情境

    数学的问题情境不能仅仅只是简单的模型呈现和问题设计. 比如直接给出某个几何图形边或角上的特点，让学生证明其中几个三角形全等时，这样的问题的确可以帮助学生完成对全等三角形判定定理的认识和理解，但如果全部都是这样的问题，学生的思维将被彻底禁锢，数学学习将演变成枯燥的符号和生涩的概念. 为此，笔者认为，在教学过程中，教师要善于联系生活实际来创设问题情境，让鲜活的问题场景激起学生的思维活力，学生也会因为这些本就发生在自己身边的问题而变得兴趣高涨.

    比如，指导学生熟悉“ASA”定理的应用时，教师可以结合生活实践提出问题：“我今天上午在家打扫卫生时，无意间将一块三角形的玻璃饰品打碎成如图1所示的两块. 我准备到街上按照原样购买一块. 考虑到携带玻璃碎片不太方便，你能帮我想想办法，是否可以只拿一块碎片上街？如果可以，应该选择哪一块呢？”这个问题虽然不是直接考查全等三角形的“ASA”判定定理，但问题的解决必须用到该原理，这就是一个典型的生活化数学问题情境. 学生分析问题时，必然会开启建模思维，从中提炼出有关全等三角形证明的问题. 这样的处理必然会提升学生对全等三角形相关原理的认识.

    问题情境如此创设，会让原本枯燥乏味的数学研究变得更加生动，学生的探索兴趣也会变得很高. 而且，学生也会在这样的问题分析中感受到数学研究的价值，他们将课堂所学应用于生活的意识也会由此增强.

    3. 结合科学探究来创设问题情境

    发展学生的核心素养时，我们很强调让学生通过科学探究来建立数学知识，提升他们对数学规律的理解[2]. 创设问题情境时，我们也要将科学探究融入其中，让学生在问题解决的过程中也能经历相关的探究过程，提升他们的探究意识，训练他们的科学思维.

    指导学生对全等三角形的判定定理进行应用时，我们可以创设以下探究性的问题情境：现有Rt△ABC，已知∠ACB=90°，AC=BC，D为斜边AB的中点，点E，F分别在射线CA，BC上，且AE=CF，连接EF.

    （1）猜想：如图2，当E，F两点分别在直角边CA和BC上时，线段DE与DF的大小关系为______;

    （2）探究：如图3，如果E，F分别落在线段CA的延长线和线段BC的延长线上时，请判断线段DE与DF的大小关系，并尝试证明;

    （3）应用：如图3，如果DE=4，请结合探究（2）所得的结论，确定△DEF的面积.

    上述问题的分析涉及科学探究过程中的提出猜想、逻辑推理、严谨证明等基本要素，这些内容也是数学核心素养的重要体现. 学生处理问题（1）时，可以连接CD，在此基础上进行科学猜想，并结合△ADE与△CDF全等的证明来证实猜想. 处理问题（2）时，也可以连接CD，在此基础上推理并证明△ADE与△CDF的全等关系，进而得出DE=DF. 对于问题（3），学生依然可以从全等出发，确定∠EDF为直角，则面积的求解方法可以很快被探究出来.

    养的注意点

    教师利用问题情境来组织教学时，目的不仅仅是让学生给出一个明确的答案，还要帮助学生提升对知识的理解，发展其问题解决能力，提升其核心素养. 具体操作时，教师还要注意以下几点.

    1. 问题情境创设要具有开放性

    众所周知，封闭性的问题只需要学生按部就班地使用相关理论就可以实现问题的解决，此类问题情境的确能够在一定程度上让学生提升对知识的认识和理解，但是对学生核心素养的发展来说却非常有限. 笔者认为，我们的问题情境需要具备一定的开放性，由此才能让学生得到更加灵活的训练.

    2. 问题情境创设要具有层次性

    我们在创设问题情境时，一定要面向全体学生，但是“众口难调”是一个很现实的问题. 为此，教师在设计问题情境时务必要兼顾到层次性，即我们的教学应该是在课程标准的总体要求下，细致分析不同层次学生的实际需要，精心设计问题. 比如采用梯度性的问题设计，让每一个学生都能在问题情境的分析过程中得到训练和发展，真正展现出“深者得之深，浅者得之浅”的教学艺术.

    3. 问题情境创设要具有创新性

    科学创新是数学核心素养的重要组成部分，教师在进行问题情境的设计时，应结合问题进行设计，引导學生全方位、多角度地展开探索和研究，由此激活学生的发散思维和创新意识，让学生以更加灵动的目光来审视和研究问题. 这样的课堂教学将更加具有生命力，学生的能力也将由此得到更加充分的发展.

    好的问题情境，需要数学教师在研究课标、学生和教材的基础上，根据实际情况做出相应的设计，进而在教学中有效撩动学生的神经，让学生能以更加饱满的热情参与到数学学习当中，有效地培养他们的核心素养.

    参考文献：

    [1]郭允远. 关键是创设问题情境——引导学生自主学习的教学体会点滴[J]. 中学数学教学参考，2001（10）：7-9.

    [2]张齐华. 以“问题解决”促数学核心素养的发展[J]. 教育研究与评论（小学教育教学），2016（11）：5-9.