从2018年浙江省数学高考管窥数学本质与运算
俞昕
【摘 要】 ?2018年是浙江省新高考第二年，文理合卷背景下更注重数学本质与运算.技巧不是最重要的，掌握本质才是学习数学的秘诀，在掌握本质的基础上还要具有精准快的运算能力.2018年浙江卷充分体现数学本质与运算的重要性，引发一线教师的反思，对今后的教学具有一定的指导作用.
【关键词】 ?新高考;文理合卷;数学本质;数学运算
2018年高考落下帷幕，笔者在完整做过浙江省数学卷之后深有感触：新课改数学文理合卷背景下的数学教学更应注重数学核心素养的培养，尤其是注重数学本质与数学运算.下面笔者就粗浅的谈谈2018年浙江卷对今后数学教学的启示.
1 “广趣深”的数学本质需细水长流
今年高考结束后无论是教师还是学生又是一阵哗然“高三第二学期复习白教（学）了”，引起哗然的主要原因在于今年的试卷突破了前两年固定的模式，解答题第20题由函数导数题变为数列题，而第22题由数列不等式题变为函数导数题.平时几乎所有各市地的模考卷都是模仿前两年的高考卷模式，学生和教师都已经完全适应了这样的模式，突然的改变让学生和教师都措手不及，学生心理上掀起了些许波澜.作为考生高考已经过去了，但是作为教师应该静下心来反思为什么会出现这样的现象，主要原因是我们在高三第二学期二轮复习中太多的侧重于固态模式训练，而忽略了“广趣深”的数学本质的细水长流.
1.1 剖析原题
选择题的最后三题和填空题的最后一题作为拉开区分度的小题并没有体现特别的技巧性，而是以常规题型为载体，充分围绕着基本的数学核心概念、核心思想方法以及核心运算，淋漓尽致地展现了数学本质.
第8题：已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则（? ）.
A.θ1≤θ2≤θ3?? B. θ3≤θ2≤θ1
C.θ1≤θ3≤θ2?? D. θ2≤θ3≤θ1
第8题将三种重要的空间角：线线角、线面角、面面角整合在正四棱锥当中.回归到最本质的三种空间角的定义，首先考查学生能否运用定义作出空间角，然后对于线面角和线线角以及线面角和面面角的比较均可以通过构造“鳖臑”解决，而对于线线角和面面角的比较可以类似的通过构造直角三角形，利用三角函数值的比较来解决.此题将传统立体几何中最经典最本质的精华聚集在一起，考点明确直接，只要我们平时注重立体几何的传统法教学，对于考生来讲应该不难解决.
第9题：已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为 π 3 ，向量b满足
b 2-4e·b+3=0，则|a-b|的最小值是（? ）.
A. 3 -1? B.? 3 +1? C. 2? D. 2- 3
第9题对于学生来讲可以说是“小清新”，虽然是新题但学生似曾相识，常规的条件中蕴含着最本质的向量关系“垂直”.只要学生能够挖掘出向量b-3e和b-e垂直，那么问题就迎刃而解了.
第10题：已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1>1，则（? ）.
A.a1<a3，a2<a4?? B. a1>a3，a2<a4
C.a1<a3，a2>a4?? D. a1>a3，a2>a4
第10题将数列、函数和不等式知识相结合，体现了数学知识的统一性与联贯性.条件
a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）可以联想到构造函数f（x）=lnx-x+1，通过证明经典的对数
不等式lnx≤x-1得到a4≤-1，且q<0，然后运用等比数列和对数的知识分析可以得到-1<q<0.
仔细分析可以发现第10题作为选择压轴题非常巧妙地考查了学生数列、函数和不等式中的基本思想方法，没有侧重于技巧，而是侧重于数学本质的思想方法.第17题：已知点P（0，1），椭圆 ?x 2 4 +y 2=m（m>1）上两点A，B满足 AP =2 PB ，则当m=?时，点B横坐标的绝对值最大.
第17题可以说是一道常规的解析幾何解答题，联立方程的思想、向量坐标化思想、函数最值思想都是高中数学中的常规思想方法，落实了这些基本的思想方法，就只要运算过关即可.1.2 反思教学
反思我们高三第二学期第二轮复习的教学，确实存在事倍功半的现象.首先是我们的专题教学始终是围绕着前几年高考的模式，基本分为：三角函数、立体几何、函数导数、解析几何、数列不等式五大知识模块.尤其是根据前两年高考命题模式，在函数不等式和数列不等式的各种放缩技巧上花费了很多的时间，各种数列不等式放缩的方法都总结得非常好，教师和学生也进行深入学习.善于对高考试题进行反思与总结是好现象，但是如果演变为纯应试教育那就得不偿失，就会造成今年高考结束后教师和学生多多少少都会叫苦“高三一个学期白学了”.所以高三的二轮复习教学还是应该脚踏实地、扎扎实实的结合考纲，把数学最本质的、最重要的东西挖掘出来，不偏不倚地让学生对所有数学知识进行全面探究与深入学习.
其次是高三二轮复习中进行的模考有些过于模式化、难度偏大、技巧性较强、梯度不够明显.文理合卷的初衷应该是兼顾文理学生，全面发展学生的核心素养，充分体现梯度.夯实基础是首要条件，所以高考的选择填空前几题一马平川，主要就是考查高中数学中最基础最本质的内容，只要学生基本功扎实就可以迎刃而解;注重数学知识的横纵向联系以及数学思想方法的充分渗透是高考中最主要的考查点，所谓的中等难度以上题目和压轴题无疑就是从多个角度充分展现数学的统一性与连贯性.
基于以上两点，笔者觉得高三第二学期二轮复习具有很大的挑战性和研究价值.在一轮复习已经全面覆盖知识点的基础上，二轮复习可以尝试“以点带面”，以学生为主，深入挖掘数学概念，发散学生数学思维，培养学生核心素养.比如以今年高考的压轴题为例：已知函数f（x）= x -lnx，（1）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）>8-8ln2;（2）若a≤3-4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点.此题是以导数概念为背景的一道综合题，其中第（2）小题蕴含着二阶导数反映的函数凹凸性，虽然函数的凹凸性并不在考纲范围内，但是如果我们从导数的概念出发：导函数的正负刻画原函数的单调性，
那么二阶导数的正负则是刻画二阶导数的原函数（一阶导数）的单调性.如果一阶导数为正，二阶导数也为正，则原函数递增速率越来越快;如果一阶导数为 ?[JZ] 图1
正，二阶导数为负，则原函数递增速率越来越慢.通过求导计算得到f′（4）=0和f″（16）=0可以画出原函数f（x）的图像（如图1所示），站在形的角度深挖知识点就会豁然开朗.2 “精准快”的数学运算需滴水穿石
2018年浙江省高中数学拔尖学生培养研讨会上李胜宏教授强调：运算不强的选手走不远.结合今年浙江省数学高考，李教授的话引起了我的反思：如今学生的运算能力比较薄弱，主要反映在解析几何问题上.而高考对运算的要求一向都比较高，就目前的形式看，要求有增无减.
2.1 剖析原题
今年高考中的解析几何问题实际上与2011年浙江省高考解析几何试题类似.
2011年：如图2，已知抛物线C 1：x2=y，圆C 2：x2+（y-4）2=1的圆心为点M.
（Ⅰ）求点M到抛物线C 1的准线的距离;
（Ⅱ）已知点P是抛物线C 1上一点（异于原点），过点P作圆C 1的两条切线，交抛物线C 1于A，B两点，
若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程.
2018年：如图3，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y 2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴;
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+ y2 4 =1（x<0）上的动点，求△PAB面积的取值范围.尽管学生对试题的解答思路明确、路径清晰、方法常规，然而对运算能力提出了较高的要求，运算是大量的，运算一定要落实，不仅要有精细迅速的运算技能，还需根据条件和目标不断确定和调整运算方法和路径，需在运算中坚持到底，在运算中彰显能力，否则便会有算不到底，来不及算的遗憾，在此，学生的核心素养能力高下立判.
又比如2018年填空压轴题：已知点P（0，1），椭圆 ?x 2 4 +y 2=m（m>1）上两点A，B满足 AP =2 PB ，则当m=[CD#3]时，点B横坐标的绝对值最大.
此题是一道以椭圆为背景的常规解析几何计算题，完全可以作为一道解答题处理，所以很明显，这是在考查学生的计算能力.在这样的位置考查学生的计算能力需要学生有强大的心理与计算的稳定性.作为数学基本技能相信高考会延续强调运算能力的风格，所以如何培养与强化学生運算能力成为我们接下来数学教学需要研究的课题.2.2 反思教学
从目前初中数学教学内容来看，由于很多计算公式与方法不列入中考范围，所以在一定程度上造成学生计算能力的削弱，而高中数学核心素养中运算能力是举足轻重的，而培养学生运算能力对于教师来讲亦是一项常规但又富有技巧性的工作.
2.2.1 运算能力培养要有长远的打算
数学运算能力的培养是一项长久而艰巨的任务，它不可能在短时间内一蹴而就.如今初中学生的计算能力较弱，尤其是分式运算、无理式运算、带字母参数的运算特别薄弱，所以在学生进入高一之后就要有意识地培养学生的运算能力.虽然解析几何是在高二阶段才学习的，但是高一的函数学习仍然可以作为培养运算能力的主要载体.比如较复杂的指数对数的运算，包括指数对数方程与不等式、带根号的无理式运算、含多个字母参数需要分类讨论的复杂运算等等.总之，高一为学生打下坚实的运算基础对于高二学习解析几何是大有裨益的.
2.2.2 运算能力的培养要有细致的计划
数学运算能力的培养是一项复杂而细致的任务.我个人认为教师应该为学生制定详细的计划，比如每天需完成一定的计算任务，细水长流、滴水穿石.在备课组的周练或周考命题中，有意识地放上一两道考查学生运算能力的试题.加强限时训练，数学的限时训练并不一定非要两个小时的高考标准模式，平时的课堂教学中可以实施15分钟或半个小时的小型限时训练以提高学生的运算能力.尤其在学习了解析几何之后，即使后续在学习其他数学知识的时候，也可以适当的让学生进行解析几何的练习，比如在周练与周考中适当放入一两道解析几何问题，让学生持续性地进行解析几何的运算训练.每位学生的数学思维可能存在一定的差异，但是数学运算能力却是可以通过精心计划、长期训练得到不同程度的提高.
2.2.3 运算能力的培养要有不懈的意志
数学运算能力的培养是一项艰难而不懈的任务.很多学生面对复杂的运算，如果没有坚强的意志力，很容易投机取巧，或是只写答案不写过程，或是抄写其他同学的答案.长此以往，有些学生平时缺乏自己的亲身训练，导致考试的时候算不完整、算不正确.长此以往，导致这些学生难以在考试的时候短时间内运算做到“精准快”，从而失去信心.所以教师在平时的教学中一定要不厌其烦地跟学生强调运算“精准快”的重要性，不仅在课外要求学生加强运算的限时训练，而且更重要的是坚持在课堂上不遗余力地留给学生充足的空间与时间进行即时的运算训练，让学生在课堂上当场进行运算训练可以为学生创设一种考试时的紧张氛围，经过长期的训练就能够锻炼出学生临场处变不惊的淡定心态，非常有助于提高运算的“精准快”.
【摘 要】 ?2018年是浙江省新高考第二年，文理合卷背景下更注重数学本质与运算.技巧不是最重要的，掌握本质才是学习数学的秘诀，在掌握本质的基础上还要具有精准快的运算能力.2018年浙江卷充分体现数学本质与运算的重要性，引发一线教师的反思，对今后的教学具有一定的指导作用.
【关键词】 ?新高考;文理合卷;数学本质;数学运算
2018年高考落下帷幕，笔者在完整做过浙江省数学卷之后深有感触：新课改数学文理合卷背景下的数学教学更应注重数学核心素养的培养，尤其是注重数学本质与数学运算.下面笔者就粗浅的谈谈2018年浙江卷对今后数学教学的启示.
1 “广趣深”的数学本质需细水长流
今年高考结束后无论是教师还是学生又是一阵哗然“高三第二学期复习白教（学）了”，引起哗然的主要原因在于今年的试卷突破了前两年固定的模式，解答题第20题由函数导数题变为数列题，而第22题由数列不等式题变为函数导数题.平时几乎所有各市地的模考卷都是模仿前两年的高考卷模式，学生和教师都已经完全适应了这样的模式，突然的改变让学生和教师都措手不及，学生心理上掀起了些许波澜.作为考生高考已经过去了，但是作为教师应该静下心来反思为什么会出现这样的现象，主要原因是我们在高三第二学期二轮复习中太多的侧重于固态模式训练，而忽略了“广趣深”的数学本质的细水长流.
1.1 剖析原题
选择题的最后三题和填空题的最后一题作为拉开区分度的小题并没有体现特别的技巧性，而是以常规题型为载体，充分围绕着基本的数学核心概念、核心思想方法以及核心运算，淋漓尽致地展现了数学本质.
第8题：已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则（? ）.
A.θ1≤θ2≤θ3?? B. θ3≤θ2≤θ1
C.θ1≤θ3≤θ2?? D. θ2≤θ3≤θ1
第8题将三种重要的空间角：线线角、线面角、面面角整合在正四棱锥当中.回归到最本质的三种空间角的定义，首先考查学生能否运用定义作出空间角，然后对于线面角和线线角以及线面角和面面角的比较均可以通过构造“鳖臑”解决，而对于线线角和面面角的比较可以类似的通过构造直角三角形，利用三角函数值的比较来解决.此题将传统立体几何中最经典最本质的精华聚集在一起，考点明确直接，只要我们平时注重立体几何的传统法教学，对于考生来讲应该不难解决.
第9题：已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为 π 3 ，向量b满足
b 2-4e·b+3=0，则|a-b|的最小值是（? ）.
A. 3 -1? B.? 3 +1? C. 2? D. 2- 3
第9题对于学生来讲可以说是“小清新”，虽然是新题但学生似曾相识，常规的条件中蕴含着最本质的向量关系“垂直”.只要学生能够挖掘出向量b-3e和b-e垂直，那么问题就迎刃而解了.
第10题：已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1>1，则（? ）.
A.a1<a3，a2<a4?? B. a1>a3，a2<a4
C.a1<a3，a2>a4?? D. a1>a3，a2>a4
第10题将数列、函数和不等式知识相结合，体现了数学知识的统一性与联贯性.条件
a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）可以联想到构造函数f（x）=lnx-x+1，通过证明经典的对数
不等式lnx≤x-1得到a4≤-1，且q<0，然后运用等比数列和对数的知识分析可以得到-1<q<0.
仔细分析可以发现第10题作为选择压轴题非常巧妙地考查了学生数列、函数和不等式中的基本思想方法，没有侧重于技巧，而是侧重于数学本质的思想方法.第17题：已知点P（0，1），椭圆 ?x 2 4 +y 2=m（m>1）上两点A，B满足 AP =2 PB ，则当m=?时，点B横坐标的绝对值最大.
第17题可以说是一道常规的解析幾何解答题，联立方程的思想、向量坐标化思想、函数最值思想都是高中数学中的常规思想方法，落实了这些基本的思想方法，就只要运算过关即可.1.2 反思教学
反思我们高三第二学期第二轮复习的教学，确实存在事倍功半的现象.首先是我们的专题教学始终是围绕着前几年高考的模式，基本分为：三角函数、立体几何、函数导数、解析几何、数列不等式五大知识模块.尤其是根据前两年高考命题模式，在函数不等式和数列不等式的各种放缩技巧上花费了很多的时间，各种数列不等式放缩的方法都总结得非常好，教师和学生也进行深入学习.善于对高考试题进行反思与总结是好现象，但是如果演变为纯应试教育那就得不偿失，就会造成今年高考结束后教师和学生多多少少都会叫苦“高三一个学期白学了”.所以高三的二轮复习教学还是应该脚踏实地、扎扎实实的结合考纲，把数学最本质的、最重要的东西挖掘出来，不偏不倚地让学生对所有数学知识进行全面探究与深入学习.
其次是高三二轮复习中进行的模考有些过于模式化、难度偏大、技巧性较强、梯度不够明显.文理合卷的初衷应该是兼顾文理学生，全面发展学生的核心素养，充分体现梯度.夯实基础是首要条件，所以高考的选择填空前几题一马平川，主要就是考查高中数学中最基础最本质的内容，只要学生基本功扎实就可以迎刃而解;注重数学知识的横纵向联系以及数学思想方法的充分渗透是高考中最主要的考查点，所谓的中等难度以上题目和压轴题无疑就是从多个角度充分展现数学的统一性与连贯性.
基于以上两点，笔者觉得高三第二学期二轮复习具有很大的挑战性和研究价值.在一轮复习已经全面覆盖知识点的基础上，二轮复习可以尝试“以点带面”，以学生为主，深入挖掘数学概念，发散学生数学思维，培养学生核心素养.比如以今年高考的压轴题为例：已知函数f（x）= x -lnx，（1）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）>8-8ln2;（2）若a≤3-4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点.此题是以导数概念为背景的一道综合题，其中第（2）小题蕴含着二阶导数反映的函数凹凸性，虽然函数的凹凸性并不在考纲范围内，但是如果我们从导数的概念出发：导函数的正负刻画原函数的单调性，
那么二阶导数的正负则是刻画二阶导数的原函数（一阶导数）的单调性.如果一阶导数为正，二阶导数也为正，则原函数递增速率越来越快;如果一阶导数为 ?[JZ] 图1
正，二阶导数为负，则原函数递增速率越来越慢.通过求导计算得到f′（4）=0和f″（16）=0可以画出原函数f（x）的图像（如图1所示），站在形的角度深挖知识点就会豁然开朗.2 “精准快”的数学运算需滴水穿石
2018年浙江省高中数学拔尖学生培养研讨会上李胜宏教授强调：运算不强的选手走不远.结合今年浙江省数学高考，李教授的话引起了我的反思：如今学生的运算能力比较薄弱，主要反映在解析几何问题上.而高考对运算的要求一向都比较高，就目前的形式看，要求有增无减.
2.1 剖析原题
今年高考中的解析几何问题实际上与2011年浙江省高考解析几何试题类似.
2011年：如图2，已知抛物线C 1：x2=y，圆C 2：x2+（y-4）2=1的圆心为点M.
（Ⅰ）求点M到抛物线C 1的准线的距离;
（Ⅱ）已知点P是抛物线C 1上一点（异于原点），过点P作圆C 1的两条切线，交抛物线C 1于A，B两点，
若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程.
2018年：如图3，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y 2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴;
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+ y2 4 =1（x<0）上的动点，求△PAB面积的取值范围.尽管学生对试题的解答思路明确、路径清晰、方法常规，然而对运算能力提出了较高的要求，运算是大量的，运算一定要落实，不仅要有精细迅速的运算技能，还需根据条件和目标不断确定和调整运算方法和路径，需在运算中坚持到底，在运算中彰显能力，否则便会有算不到底，来不及算的遗憾，在此，学生的核心素养能力高下立判.
又比如2018年填空压轴题：已知点P（0，1），椭圆 ?x 2 4 +y 2=m（m>1）上两点A，B满足 AP =2 PB ，则当m=[CD#3]时，点B横坐标的绝对值最大.
此题是一道以椭圆为背景的常规解析几何计算题，完全可以作为一道解答题处理，所以很明显，这是在考查学生的计算能力.在这样的位置考查学生的计算能力需要学生有强大的心理与计算的稳定性.作为数学基本技能相信高考会延续强调运算能力的风格，所以如何培养与强化学生運算能力成为我们接下来数学教学需要研究的课题.2.2 反思教学
从目前初中数学教学内容来看，由于很多计算公式与方法不列入中考范围，所以在一定程度上造成学生计算能力的削弱，而高中数学核心素养中运算能力是举足轻重的，而培养学生运算能力对于教师来讲亦是一项常规但又富有技巧性的工作.
2.2.1 运算能力培养要有长远的打算
数学运算能力的培养是一项长久而艰巨的任务，它不可能在短时间内一蹴而就.如今初中学生的计算能力较弱，尤其是分式运算、无理式运算、带字母参数的运算特别薄弱，所以在学生进入高一之后就要有意识地培养学生的运算能力.虽然解析几何是在高二阶段才学习的，但是高一的函数学习仍然可以作为培养运算能力的主要载体.比如较复杂的指数对数的运算，包括指数对数方程与不等式、带根号的无理式运算、含多个字母参数需要分类讨论的复杂运算等等.总之，高一为学生打下坚实的运算基础对于高二学习解析几何是大有裨益的.
2.2.2 运算能力的培养要有细致的计划
数学运算能力的培养是一项复杂而细致的任务.我个人认为教师应该为学生制定详细的计划，比如每天需完成一定的计算任务，细水长流、滴水穿石.在备课组的周练或周考命题中，有意识地放上一两道考查学生运算能力的试题.加强限时训练，数学的限时训练并不一定非要两个小时的高考标准模式，平时的课堂教学中可以实施15分钟或半个小时的小型限时训练以提高学生的运算能力.尤其在学习了解析几何之后，即使后续在学习其他数学知识的时候，也可以适当的让学生进行解析几何的练习，比如在周练与周考中适当放入一两道解析几何问题，让学生持续性地进行解析几何的运算训练.每位学生的数学思维可能存在一定的差异，但是数学运算能力却是可以通过精心计划、长期训练得到不同程度的提高.
2.2.3 运算能力的培养要有不懈的意志
数学运算能力的培养是一项艰难而不懈的任务.很多学生面对复杂的运算，如果没有坚强的意志力，很容易投机取巧，或是只写答案不写过程，或是抄写其他同学的答案.长此以往，有些学生平时缺乏自己的亲身训练，导致考试的时候算不完整、算不正确.长此以往，导致这些学生难以在考试的时候短时间内运算做到“精准快”，从而失去信心.所以教师在平时的教学中一定要不厌其烦地跟学生强调运算“精准快”的重要性，不仅在课外要求学生加强运算的限时训练，而且更重要的是坚持在课堂上不遗余力地留给学生充足的空间与时间进行即时的运算训练，让学生在课堂上当场进行运算训练可以为学生创设一种考试时的紧张氛围，经过长期的训练就能够锻炼出学生临场处变不惊的淡定心态，非常有助于提高运算的“精准快”.
