向量的模就是点到点距离
张秋红 杨品方
教材上说：向量 AB 的大小称为向量的长度（或称为模），记作 ?AB ?.教材上涉及向量的模的问题无非三种：由特殊的平面图形中获得线段的长度关系;直接给出向量的模，利用公式计算向量的数量积a·b=|a||b|cosθ;由向量的坐标（x，y）利用公式 x2+y2 计算向量的模.而在实际的作业练习测试中，直接套用如上三种模型的习题可谓是少之又少，师生们发出感慨，数学真难，向量的模真难.其实啊，向量有方向，就是形的表示;向量有大小，就是量的表示.向量就是一个工具，联系了数和形，解题中，画出图形，数形结合，很是方便.因为向量的模，其实就是起点和终点的距离，就是两点之间的距离，点点距而已.笔者在解题中发现，向量的模即点点距，也无非是如下几种题型：
解 延长CA到D，使得AD=1，所以 CD =2 CA ，于是2λ CA +（1-λ） CB =λ CD +（1-λ） CB ， 由于系数λ，1-λ的和为1，所以和向量 CE 的终点E落在直线BD上， f（λ）= |2λ CA +（1-λ） CB |=| CE |， 由题中数据可得，定点C到直线BD上动点的距离的最小值为 2 ，于是f（λ）的最小值是 2 .
例3 在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2，CD=1，∠DAB= 60°，P为腰AD所在直线上的任意一点，则| PB + PC |的最小值为 .
解 | PB + PC |= 2| PM |，而向量 PM 的起点P是动点，在腰AD上，终点M为线段BC的中点，于是 ?PM ?就是线段BC的中点M到腰AD上动点P的最小值，作MH⊥AD于H， ?PM ?的最小值就是MH.取线段AD的中点N，在直角△MNH中，中位线MN= 3 2 ，∠MNH= 60°，所以MH= 3 3? 4 ，于是| PB + PC |的最小值为 3 3? 4 .
小结：起点终点一个是定点另一个在定直线上运动的向量的模，计算它的最小值，就是计算该点到该直线的距离.
2.2 动点在定圆上运动
例4 设点M是线段BC的中点，BC=4，点A在直线BC外， | AB + AC |=
| AB - AC |，则| AM |=[CD#3].
解 由条件可知， AB ， AC 互相垂直，点A在以线段BC为直径的圆M上，向量 AM 的模就是半径，恒为2.
例5 如图5，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-6x+5=0，点A，B在圆C上，且AB=2 3 ，则| OA + OB |的最大值是[CD#3].
解 记弦AB的中点为M，所以 OA + OB = 2 OM ，只要求出 ?OM ?的最大值就可以了.O是定点，考虑动点M.圆C是以（3，0）为圆心，2为半径的圆.在直角△BCM中，BM= 3 ，BC=2，所以CM=1，所以点M在以（3，0）为圆心，1为半径的圆（图中虚线所示）上运动.于是动点M到原点O的距离最大值为4.所以| OA + OB |=2| OM |≤8.例6 已知a·b=4，|a-b|=3，则 a 的最大值是[CD#3]. ?[JZ] 图6
解 考虑到两个向量终点连线段长为定值3，不妨令a= SA ，b= SB ，则| AB |=3.如图6，建立直角坐标系，记A（- 3 2 ，0），B（ 3 2 ，0），S（x，y）， a·b= SA · SB = （- 3 2 -x，-y）·（ 3 2 -x，-y）=x2+y2- 9 4 =4，x2+y2= 25 4 ，所以点S在以原点为圆心， 5 2 为半径的圆上，于是 a = | SA |≤ | SO |+| OA |= 5 2 + 3 2 =4.
小结：起点终点一个是定点另一个在定圆上运动的向量的模，计算它的最大（小）值，就是计算该点到该圆圆心的距离再加（减）圆的半径（的绝对值）.
2.3 动点在定椭圆（或其他曲线区域）上运动
例7 已知动点P在椭圆 x2 4 + y2 3 =1上运动，另有定点F（-1，0），则 ?FP ?的取值范围是[CD#3].
解 由解析几何，点F（-1，0）是椭圆的左焦点，a-c≤ ?FP ?≤a+c，所以 ?FP ?∈[1，3].
小结：点F恰好是椭圆的焦点，可以用椭圆的几何性质来获得答案，如果不是焦点，那么可以在曲线上取点（x，y），进而求函数的最值.
3 向量的起点终点都是动点
例8 已知| AB |=8，| AC |=5，则 ?BC ?的取值范围是[CD#3].
解 如图7，点B，C分别在以A为圆心，8和5为半径的同心圆上移动，所以BC之间的最大距离为半径之和13，最小距离为半径之差3，所以 ?BC ?的取值范围是[3，13].
当然，如图8，也可以视向量 AB 为固定，点C在以A为圆心，5为半径的圆上运动，这样，向量 BC 的起点是定点，终点在动圆上. ?BC ?≤| BA |+| AC |= | BC 1 |=
8+5=13，| BC |≥| BA |-| AC |= | BC 2 |=8-5=3.这就是问题2.2了.
例9 由直线l：y=x+1上的点P向圆C： （x-3）2+y2=1引切线PA、PB，A、B是切点，则 ?PA ?的最小值为解 向量 PA 的起点和终点都是动点，在直角△PAC中， ?PA ?= | PC |2- |CA |2 = | PC |2-1 ，只要求出 ?PC ?的最小值就可以了.如前，終点C是定点（3，0），起点P在直线l：y=x+1上滑动，所以 ?PC ?的最小值就是点（3，0）到直线l的距离d，d= |3+1|? 2? =2 2 ，所以 ?PA ?的最小值为 7 .
小结：起点终点都是动点的向量的模，就要研究两动点的轨迹曲线上两点的距离变化特点，通常也是转化到定点（圆心）到直线的距离.
数学家华罗庚老先生说过，“数形结合百般好，隔离分家万事休”.向量就是一个工具，联系了数和形，解题过程中，画出图形，能起到意想不到的效果.
教材上说：向量 AB 的大小称为向量的长度（或称为模），记作 ?AB ?.教材上涉及向量的模的问题无非三种：由特殊的平面图形中获得线段的长度关系;直接给出向量的模，利用公式计算向量的数量积a·b=|a||b|cosθ;由向量的坐标（x，y）利用公式 x2+y2 计算向量的模.而在实际的作业练习测试中，直接套用如上三种模型的习题可谓是少之又少，师生们发出感慨，数学真难，向量的模真难.其实啊，向量有方向，就是形的表示;向量有大小，就是量的表示.向量就是一个工具，联系了数和形，解题中，画出图形，数形结合，很是方便.因为向量的模，其实就是起点和终点的距离，就是两点之间的距离，点点距而已.笔者在解题中发现，向量的模即点点距，也无非是如下几种题型：
解 延长CA到D，使得AD=1，所以 CD =2 CA ，于是2λ CA +（1-λ） CB =λ CD +（1-λ） CB ， 由于系数λ，1-λ的和为1，所以和向量 CE 的终点E落在直线BD上， f（λ）= |2λ CA +（1-λ） CB |=| CE |， 由题中数据可得，定点C到直线BD上动点的距离的最小值为 2 ，于是f（λ）的最小值是 2 .
例3 在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2，CD=1，∠DAB= 60°，P为腰AD所在直线上的任意一点，则| PB + PC |的最小值为 .
解 | PB + PC |= 2| PM |，而向量 PM 的起点P是动点，在腰AD上，终点M为线段BC的中点，于是 ?PM ?就是线段BC的中点M到腰AD上动点P的最小值，作MH⊥AD于H， ?PM ?的最小值就是MH.取线段AD的中点N，在直角△MNH中，中位线MN= 3 2 ，∠MNH= 60°，所以MH= 3 3? 4 ，于是| PB + PC |的最小值为 3 3? 4 .
小结：起点终点一个是定点另一个在定直线上运动的向量的模，计算它的最小值，就是计算该点到该直线的距离.
2.2 动点在定圆上运动
例4 设点M是线段BC的中点，BC=4，点A在直线BC外， | AB + AC |=
| AB - AC |，则| AM |=[CD#3].
解 由条件可知， AB ， AC 互相垂直，点A在以线段BC为直径的圆M上，向量 AM 的模就是半径，恒为2.
例5 如图5，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-6x+5=0，点A，B在圆C上，且AB=2 3 ，则| OA + OB |的最大值是[CD#3].
解 记弦AB的中点为M，所以 OA + OB = 2 OM ，只要求出 ?OM ?的最大值就可以了.O是定点，考虑动点M.圆C是以（3，0）为圆心，2为半径的圆.在直角△BCM中，BM= 3 ，BC=2，所以CM=1，所以点M在以（3，0）为圆心，1为半径的圆（图中虚线所示）上运动.于是动点M到原点O的距离最大值为4.所以| OA + OB |=2| OM |≤8.例6 已知a·b=4，|a-b|=3，则 a 的最大值是[CD#3]. ?[JZ] 图6
解 考虑到两个向量终点连线段长为定值3，不妨令a= SA ，b= SB ，则| AB |=3.如图6，建立直角坐标系，记A（- 3 2 ，0），B（ 3 2 ，0），S（x，y）， a·b= SA · SB = （- 3 2 -x，-y）·（ 3 2 -x，-y）=x2+y2- 9 4 =4，x2+y2= 25 4 ，所以点S在以原点为圆心， 5 2 为半径的圆上，于是 a = | SA |≤ | SO |+| OA |= 5 2 + 3 2 =4.
小结：起点终点一个是定点另一个在定圆上运动的向量的模，计算它的最大（小）值，就是计算该点到该圆圆心的距离再加（减）圆的半径（的绝对值）.
2.3 动点在定椭圆（或其他曲线区域）上运动
例7 已知动点P在椭圆 x2 4 + y2 3 =1上运动，另有定点F（-1，0），则 ?FP ?的取值范围是[CD#3].
解 由解析几何，点F（-1，0）是椭圆的左焦点，a-c≤ ?FP ?≤a+c，所以 ?FP ?∈[1，3].
小结：点F恰好是椭圆的焦点，可以用椭圆的几何性质来获得答案，如果不是焦点，那么可以在曲线上取点（x，y），进而求函数的最值.
3 向量的起点终点都是动点
例8 已知| AB |=8，| AC |=5，则 ?BC ?的取值范围是[CD#3].
解 如图7，点B，C分别在以A为圆心，8和5为半径的同心圆上移动，所以BC之间的最大距离为半径之和13，最小距离为半径之差3，所以 ?BC ?的取值范围是[3，13].
当然，如图8，也可以视向量 AB 为固定，点C在以A为圆心，5为半径的圆上运动，这样，向量 BC 的起点是定点，终点在动圆上. ?BC ?≤| BA |+| AC |= | BC 1 |=
8+5=13，| BC |≥| BA |-| AC |= | BC 2 |=8-5=3.这就是问题2.2了.
例9 由直线l：y=x+1上的点P向圆C： （x-3）2+y2=1引切线PA、PB，A、B是切点，则 ?PA ?的最小值为解 向量 PA 的起点和终点都是动点，在直角△PAC中， ?PA ?= | PC |2- |CA |2 = | PC |2-1 ，只要求出 ?PC ?的最小值就可以了.如前，終点C是定点（3，0），起点P在直线l：y=x+1上滑动，所以 ?PC ?的最小值就是点（3，0）到直线l的距离d，d= |3+1|? 2? =2 2 ，所以 ?PA ?的最小值为 7 .
小结：起点终点都是动点的向量的模，就要研究两动点的轨迹曲线上两点的距离变化特点，通常也是转化到定点（圆心）到直线的距离.
数学家华罗庚老先生说过，“数形结合百般好，隔离分家万事休”.向量就是一个工具，联系了数和形，解题过程中，画出图形，能起到意想不到的效果.
