基于总结性测评下初中函数教学的思考

    李霞 林运来

    

    

    

    [摘? 要] 文章通过对2018年福建省中考数学第25题学生答题中存在的典型问题进行研究，得出以下观点：初中函数的教学要以函数思想为核心，要养成用统一和联系的思维看函数、方程和不等式的问题. 函数思想的教学，既要以“案例”为载体，渗透函数思想，还要以“衔接”为目标，加强函数性态结构的研究，为进一步学习打下良好的基础.

    [关键词] 测评;函数思想;函数性态结构;统一联系

    试题呈现及评析

    评析 本题是代数与几何综合的问题，融合了初中函数及平面几何的重点知识，主要考查一次函数和二次函数的图像与性质、圆的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形、角平分线的判定等基础知识，综合性强，不仅考查考生对函数基本性质的掌握，还考查在函数背景下认识图形并对图形的元素关系进行分析的能力. 本题的得分情况见表1（参考人数67199）.

    第（1）问要求考生写出二次函数解析式中两参数之间的关系，这是待定系数法求函数解析式问题，因只给出了抛物线的图像经过两个已知点，无法求出三个量，所以只能求出其中两个参数之间的关系，问题比较基础，难度不大.

    第（2）问的第①小题要求根据抛物线与圆的对称性特点确定二次函数的解析式，而开口方向必须借助给定函数单调性的代数结构式的表达来判断. 由于学生在函数的单调性上过多借助图形直观来描述图形特征，对代数结构的理解欠缺，造成学生解题无从入手. 第②小题需要在求解二次函数解析式的基础上，结合其图像特点通过代数运算探究图形性质. 试题参数多，运算复杂，考查学生对函数性质的深层理解，试题解答则体现了思维的灵活性和广泛性，初高中衔接味道较浓.

    教学启示

    1. 初中函数教什么

    福建中考从2017年开始全省统考，命题团队由全省优秀教师组建，如何最大限度地发挥试题的育人功能是每一位一线教师都在思考和研究的问题. 对福建省某市2018年第25题的考生得分情况（如表2）进行分析，6万多的考生，满分不过百. 除试题设置的难度因素外，我们也应反思，在函数的单元教学中，自己是否把函数所呈现的核心育人价值领会透彻，学生是否真正学会用函数的思维也就是通过自变量的变化引起因变量的变化的角度来思考函数问题，即函数研究什么？有没有理解具体函数的性质？学了三个初等函数，是否具备研究其他函数的能力？

    初中函数要教什么？肯定是函数思想，有了“函数思想”，就能用“函数思想”建立“函数模型”，并用函数的性质求解模型，从而实现问题的解决，这是初中阶段教师必须落实的核心素养之一——“模型思想”. 从人教版的代数章节教材逻辑顺序也可以发现，每个章节有着四个逻辑：首先，从变化的世界中发现和提出问题（以概念的理解为支撑）;其次，建立函数或方程模型（以模型的求解为关键）;接着，利用函数的性态或方程的解求解模型（以方法的掌握为目标）;最后，回到实际问题对模型进行完善和检验（以素养的形成为理念）. 党的十八大提出的立德树人，“德”可以以课程目标为指导，树人，树有能力的人，有“能力”，就必须靠我们教师潜移默化的传授和引领. 数学学科的“关键能力”就是学会用数学思维思考问题，而数学思维的表现方式可以理解为高中数学课标中六大核心素养的外显化，而“函数思想”是六大核心素养之一.

    2. 函数思想该怎么教

    （1）以“案例”为载体，渗透函数思想

    ①从变数概念的引入到函数概念本质的揭示

    函数的有关概念、性质，以及典型的几类常用函数都是函数思想的载体，只有通过研究，学生才能真正领会函数思想，从而在解决问题中灵活运用“函数思想”.

    对于函数概念的学习，要学会揭示函数概念的本质. 函数是一种相依关系的反映，是相依关系的数学表示，研究的是对应关系与变化规律. 函数概念的引入，可以从变数概念开始[1]. 如为了表示实数，可以用字母x表示，x就是具体实数的抽象化过程，x可以是实数集合内任意一个数，但它一旦确定为代表实数，就必须满足实数的特性，并且可以是实数集内的某个确定的数，因此它具备任意性和确定性两个特性. 对于代數式10x，它可以看成含字母的函数，10x就是字母x的函数. 对于给定的x的值，要求代数式10x的值，给定的x必须使得代数式存在或有实际意义，这就是函数中自变量的取值范围. 10x就是x的对应法则，因此在函数教学中，先有定义域和对应法则，才有值域. 所以，在初中函数的学习阶段，值域不做严格要求. 有了这一认识基础，“在一个变化的过程中，对于给定范围内的任意一个x，y都有唯一的值与它对应，其中x叫自变量，y叫函数”这一抽象概念就不难理解了. 用字母表示数是初中学生从具体到抽象、从算数到代数的思维创新点，做好变数概念的引入，对函数概念本质意义的理解才会到位.

    ②从“多元参数”的消参领会函数思想的运用

    如何从一个含有多变元的数学问题里，选出合适的主变元，构造以该主变元为自变量的新函数，进而运用函数思想，将一些复杂的方程、不等式转化为函数来求解，使得问题得到很好的解决，这也是中学阶段要关注的函数意识培养. 下面请看一例：

    若不等式2x-1>a（x2-1）对满足a≤1的一切实数a恒成立，求实数x的取值范围.

    本题通过变更主元，利用函数图像的特征（一条线段），化繁为简，使问题轻易得解. 当然，这要基于学生对函数思想本质的认识. 选择变量是本题解决的关键，把x当作主元， f（x）=ax2-2x-a+1就是关于x的二次函数，因为给出了a的范围，所以讨论f（x）<0时x的值，就需要分类讨论，而把a作为主元时， f（a）=（x2-1）a-2x+1就是关于a的一次函数，而一次函数是单调递增或单调递减的，问题就变简单了. 因此，遇到“多元参数”的函数或方程时，选择合适的主变元，建立函数模型并运用函数性质进行求解，往往能使问题的解决化难为易.

    （2）以“衔接”为目标，加强函数性态结构的研究

    对函数的研究，就是对函数性态的研究，如果学生有研究函数解析式的意识，也许用描点法画函数图像就会有更明确的思路，从函数图像中获取函数的性质就不会突兀. 那么，函数的解析式该如何探究？

    初中阶段值得关注的函数性质[2]可以是：自变量的取值范围，函数的取值范围，函数的单调性，函数的连续性，函数的有界性，特殊点处的函数值，函数图像的变化趋势，函数图像的某种对称性，函数是否过特定点，函数解析式的参数特点等. 研究这些性质，是以从数（式）到图像再到数（式）的方式进行展开的，下面以二次函数的复习课为例.

    本题的难点在于学生对点的坐标在函数图像中表示的意义不易理解，学生通过画图观察不难发现，x1，x2是关于直线x=1对称的两个点的横坐标，反过来，关于直线x=1对称的两个点的纵坐标相等.

    教师继续追问：能否用一个数学关系式进行刻画？

    师生一起通过对称的性质进行讨论，得出：抛物线与直线y=m（m>-1）相交时，交点的两横坐标满足x1+x2=2. 最后，教师用表3呈现课堂教学中“数—形—数”的研究成果.

    如果一节复习课把函数的性质进行深入研究与刻画，相信解答2018年福建省中考第25题就不是难事！

    结束语

    研究函数的性质，离不开函数与方程、不等式之间的联系. 教学中，要引导学生养成用统一和联系的思维看函数、方程和不等式问题. 如求自变量的取值范围，就是解不等式（组）;研究函数的增减性，涉及不等式的证明;方程、不等式的有关问题可以统一到函数思想下进行研究. 因此，函数的教学要引导学生把函数图像作为一种语言去学习，从解析式可以描绘出图像，从图像特征又可以读出函数的性态结构. 解决问题时，更重要的是利用函数的性态结构，量化地处理问题，因此，函数性态结构的架构在初中阶段可以慢慢渗透，为高中的学习打下基础.

    参考文献：

    [1]邵光华. 作为教育任务的数学思想与方法[M]. 上海：上海教育出版社，2009：229.

    [2] 中华人民共和国教育部. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012：29-31.