地震波模拟的透明边界条件的透明度分析
付小波+原健龙+韩超+范欣然+余嘉顺
摘要：通过对波动方程有限差分正演模拟的透明边界条件的透明度的研究分析，认识到不同介质模型和不同频率成分都对透明边界条件的透明度有影响，其中空气介质模型的透明度最差，岩石介质模型的透明度最好，水介质模型透明边界条件的效果介于空气和岩石之间。透明边界条件在低频时的透明度比高频时好，在频率大于40Hz时 ，透明度呈线性减弱趋势。
关键词： 波动方程；有限差分；透明边界条件；透明度
1 引 言
地震波波动方程数值模拟[1-4]是地震勘探方法中的一项重要手段。在真实世界中，勘探地震波一旦被激发之后，就会在介质空间向外不断地传播出去。如果我们可以将无限的介质空间全部装进计算机中进行模拟，就可以完整的模拟地震波在整个空间的传播过程，但是，计算机资源无法满足我们这一要求，所以我们只能将感兴趣的有限的介质空间区域在计算机上进行模拟计算，人为地限定在一个有限的区域内进行数值模拟计算，因此在四周人为地界定造成了边界，这个边界叫做计算边界（或称人工边界）[5]。因为它的存在，波传播到计算边界时必然会产生反射波，这些来自各个计算边界的人为反射严重干扰了波在介质中传播，因此，我们需要设法消除或者是削弱边界反射。
Reynolds[6]在1978年通过对波动方程的分解得到了透明边界（Transparent Boundary）条件，可以有效的削弱由于计算边界引起的边界反射。所谓透明边界，可以比喻为一块玻璃，当有一束光照射时，光线会穿透过去而不产生明显的反射，因此我们称这块玻璃是透明的。但是事实上，这样理想的完全透明的玻璃是不存在的，光束照射到玻璃上是必然有部分能量被反射反射回来的，差别仅在于发射的强弱而已。透明度好的玻璃，其反射回来的光线能量较低，而透明度差的玻璃，其反射或能量耗散则较高。同理，在地震波数值模拟使用透明边界条件来消除因计算边界引起的边界反射时，也会产生一部分反射地震波，不能全部穿透过边界，因此波动方程模拟的透明边界的好坏，也可以借用玻璃的透明度概念来刻画。即边界条件对边界反射衰减效率较高的时候，我们称之为透明度较高，反之，就是透明度较低。显然，我们希望采用的边界条件的透明度越高越好。所以，透明边界的透明度是一个值得我们进行深入研究的课题。
2 模拟方法与边界条件
2.1 波动方程的差分方程建立
在油气地震勘探中，常常接收并使用的是地震P波资料，因此，常常使用声波方程来替代地震波方程，即用声波在介质中来描述地震波在介质中的传播过程。为此，我们研究二维介质模型空间 以及时间区间 中传播。在此空间上声波的传播速度为 。因此，在此空间的声波的传播方程[7]为：
（1）
上式中：
为波场振幅值；
。
其中， 为 Dirichlet函数，即： 其它情况为0， 为地震子波函数。
有限差分法数值模拟的基本思想理论：就是以差分方程替代微分方程。因此，有限差分法的重点就是将微分方程改写成差分方程。因此需要对声波方程（1）建立差分格式方程。将上述空间按照 做等间距剖分，以及时间用 做等间距剖分。分别对（1）式中的时间导数和空间导数做Taylor展开，可以得到关于时间导数做二阶中心差分和空间导数做四阶中心差分。
经过整理后可以得到，关于声波方程（1）式的差分方程如下：
（2）
其中： 表示在第k时刻时，网格点（ i ， j）的波场振幅值。
2.2 边界条件
本文在进行数值计算模拟时，为了消除或削弱因计算边界而引起的边界反射，所采用的边界条件是Reynolds[6]在1978年通过对声波方程分解得到的透明边界条件，如下各式：
上边界条件为：
（3）
下边界条件为：
（4）
左边界条件为：
（5）
右边界条件为：
（6）
以上各式中： 。
同样，对上式中的各偏导数对应的做Taylor展开，可以得到对应的差分格式方程为：
上边界的差分格式：
（7）
下边界的差分格式：
（8）
左边界的差分格式：
（9）
右边界的差分格式：
（10）
2.3 数值实验
以上两个小节给出了声波方程和透明边界条件的差分格式，下面我们将模拟一个，大小为1024m×1024m，波传播速度v= 3000m/s的均匀介质模型。模拟时的空间采样间隔为 ，时间采样间隔为 ，使用的子波震源函数为：
（11）
上式中： 为子波主频， 为延迟因子， 为衰减因子。
实验时，我们取： ， ， 。
模拟计算的波场快照如下图1所示：
图1 均匀模型不同时刻的波场快照
Fig.1Snapshot of wave field in inhomogeneous model in different time.
从图1中（a），（b），（c）和（d）分别是在50 ms，100 ms，150 ms和250 ms的波场快照。从图中可以清晰的看到波场从50ms传播到150ms波场以圆向外传播，到达250ms时刻时波场已经传播到边界，这时波场有一部分波穿透边界条件没有反弹回来，而剩下一部分被反弹。
3 模拟计算
从图1可以看到，当波传播到模型边界时，很明显有反射的存在，也就是透明边界条件下的模型边界的地震波有明显的反射，这也就正如在前言中讲的“透明边界”，实际上并不能真正的做到完全透明，当地震波传播到边界时，还有一部分反射，而这个反射波有多大，又与什么因素有关？即透明边界的透明度及其影响因素。这正是本节需要研究讨论的。
为了更好的说明透明边界的透明度，笔者打算从以下两个方面研究讨论，一方面是模型不同介质对透明度的影响；另一方面是不同频率下的波对透明度的影响。
3.1 介质对透明度的影响
为了说明对于不同介质模型对透明边界条件透明度的影响，因此笔者选用了三种介质模型，对透明边界的透明度的研究讨论，三种介质分别是：空气、水和岩石。为了保证模拟实验的可靠性，在实验时除了波在不同介质中的传播速度不一样以外，其他参数均一样。数值模拟计算是在模型大小为1024m×1024m的空间中进行，其中在空气中的声波速度为v=340m/s，水中的声波速度为v=1500m/s，在岩石中的波传播速度为v=4500m/s，模拟时采用的空间采样间隔为 ，时间采样间隔为 ，选用的震源子波函数为（11）式，子波主频 ，震源坐标位置为（160m，512 m）。
使用上述有限差分数值模拟法，以上三种介质模型的模拟快照结果，如下图2所示。
图2不同介质模型的波场快照
Fig.2 Snapshot of wave field in the different medium model.
从图2中能够很清楚的看到，当地震波传播到边界时有一部分波穿过透明边界，但是明显的还有一部分反射波。而且反射波相对直达波的强弱是不一样的，也就是说不同介质的模型的透明度是不一样的。从反射波的能量来看，很显然空气介质下透明边界条件的透明度是最差的，透明边界条件的透明度最好的是在岩石介质模型时，而水介质条件下的透明边界条件的透明度介于空气和岩石之间。表明在本实验的速度变化范围之内，波速越高，边界条件的透明度也好。
3.2 频率对透明度的影响
从上一节我们看到，在不同的介质的模型条件下的透明边界条件的透明度是不一样的。而在这一节将讨论不同频率对透明边界条件透明度的影响。
为了更好的说明实验结果，采用的模型是上一节中的介质模型中的水介质（如下图3中（A）所示），模型空间大小为1024m×1024m，波传播速度为v=1500m/s，模拟时采用的空间采样间隔、时间采样间隔以及所选用的震源子波函数均与3.1节所采用的一样，其中S1点为震源，其坐标位置为 ，模拟时间长度250 ms。数值模拟实验时采用的频率从5Hz到150Hz，每隔5Hz取一个频率值进行实验，总共31次实验。
图3 水介质模型
Fig.3 Water medium for the model.
要想得到透明边界条件的透明度，我们只能够通过反射波来得到透明边界条件的透明度。因此，要想得到不同频率对透明边界条件的透明度的影响，那就需要先得到一个纯反射波。我们在进行的31次数值实验的时候，记录下了源点的震动情况，此时得到的记录既含有反射波，又含有反射波。因此为了得到一个纯反射波记录，我们需要剔除直达波。实际上要剔除直达波只需要用含有反射波和直达波的记录减去对应的直达波就可以了。因此我们为了得到一个只含有直达波的记录，做了另外一组数值模拟实验，实验使用的模型及参数和上面的参数一样，只是将震源点放在了模型S2 点（如图3中（B）所示），这样保证了在模拟的250 ms内，反射波不能到达记录点，此时得到的记录就只含有直达波，用既含有反射波又含有直达波的记录减去只含有直达波的记录就得到了一个纯反射波。具体处理方法如图4所示。
图4 a为只含有直达波，b为即含有直达波又含有反射波，c为a-b只含有反射波
Fig.4 ‘a contains direction and reflection wave， ‘b is the only contain direction waveand ‘c is the ‘a-‘b and only reflection wave.
图4是在频率 情况下，得到的记录。其中图4中a是既含有反射波又含有直达波的记录，b是只含有直达波的记录，用a减去b就得到了图4中的c只含有反射波的记录。我们将从图4中的c反射波，提取出不同频率下的反射波的最大值，最终可以得到31次实验的反射波的最大值，绘成曲线如下图5所示。
图5不同频率成分对透明度影响
Fig.5 Effect of different frequency component of transparency.
从图5可以看到，不同频率对透明边界条件的透明度是有一定影响。从曲线上看，在低频时透明度相对更好，当频率增大时，透明度很明显的相对降低。当频率大于40Hz透明度呈线性减弱的趋势。
4 结 论
本文通过对波动方程有限差分法正演模拟时所采用的透明边界条件的透明度分析讨论，得到如下结论：（1）透明边界条件对人工边界能起到较好的吸收效果；（2）不同介质的模型对透明边界条件的透明度有一定的影响，实验采用三种介质模型模拟，结果得到：声波在空气中传播时透明边界条件的透明度最差，在岩石中传播时透明边界条件的透明度最好，在水中传播的透明度介于空气和水之间；（3）不同频率成分对透明边界条件的透明度有一定影响，从实验结果曲线来看，低频时透明度相对更好，当频率增大时，透明度很显然相对降低。当频率大于40Hz透明度呈线性减弱趋势。然而，从实验结果来看，在进行数值实验时需要选择好模拟参数，以求得更好的模拟结果。
参考文献
[1] 佘德平.波场数值模拟技术[J].勘探地球物理进展.2004；27（1）.
[2] 李信富，李小凡，张美根.地震波数值模拟方法研究综述[J].防灾减灾工程学报.2007.05：241-248.
[3] 裴正林，牟永光.地震波传播数值模拟[J].地球物理学进展.2004.
[4] 常旭，刘伊克.地震正反演与成像[M].北京：华文出版社.2001.
[5] 江玉乐，雷宛等.地球物理数据处理教程[M].北京：地质出版社.2006.
[6]Reynolds.A.C.Boundaryconditionsforthenumericalsolutionofwavepropagationproblems [J].Geophysics.1978；43（6）.
[7] 田力，余嘉顺，唐红.封闭空间声场的计算机仿真初步研究[J].计算机科学，2003.
为了更好的说明透明边界的透明度，笔者打算从以下两个方面研究讨论，一方面是模型不同介质对透明度的影响；另一方面是不同频率下的波对透明度的影响。
3.1 介质对透明度的影响
为了说明对于不同介质模型对透明边界条件透明度的影响，因此笔者选用了三种介质模型，对透明边界的透明度的研究讨论，三种介质分别是：空气、水和岩石。为了保证模拟实验的可靠性，在实验时除了波在不同介质中的传播速度不一样以外，其他参数均一样。数值模拟计算是在模型大小为1024m×1024m的空间中进行，其中在空气中的声波速度为v=340m/s，水中的声波速度为v=1500m/s，在岩石中的波传播速度为v=4500m/s，模拟时采用的空间采样间隔为 ，时间采样间隔为 ，选用的震源子波函数为（11）式，子波主频 ，震源坐标位置为（160m，512 m）。
使用上述有限差分数值模拟法，以上三种介质模型的模拟快照结果，如下图2所示。
图2不同介质模型的波场快照
Fig.2 Snapshot of wave field in the different medium model.
从图2中能够很清楚的看到，当地震波传播到边界时有一部分波穿过透明边界，但是明显的还有一部分反射波。而且反射波相对直达波的强弱是不一样的，也就是说不同介质的模型的透明度是不一样的。从反射波的能量来看，很显然空气介质下透明边界条件的透明度是最差的，透明边界条件的透明度最好的是在岩石介质模型时，而水介质条件下的透明边界条件的透明度介于空气和岩石之间。表明在本实验的速度变化范围之内，波速越高，边界条件的透明度也好。
3.2 频率对透明度的影响
从上一节我们看到，在不同的介质的模型条件下的透明边界条件的透明度是不一样的。而在这一节将讨论不同频率对透明边界条件透明度的影响。
为了更好的说明实验结果，采用的模型是上一节中的介质模型中的水介质（如下图3中（A）所示），模型空间大小为1024m×1024m，波传播速度为v=1500m/s，模拟时采用的空间采样间隔、时间采样间隔以及所选用的震源子波函数均与3.1节所采用的一样，其中S1点为震源，其坐标位置为 ，模拟时间长度250 ms。数值模拟实验时采用的频率从5Hz到150Hz，每隔5Hz取一个频率值进行实验，总共31次实验。
图3 水介质模型
Fig.3 Water medium for the model.
要想得到透明边界条件的透明度，我们只能够通过反射波来得到透明边界条件的透明度。因此，要想得到不同频率对透明边界条件的透明度的影响，那就需要先得到一个纯反射波。我们在进行的31次数值实验的时候，记录下了源点的震动情况，此时得到的记录既含有反射波，又含有反射波。因此为了得到一个纯反射波记录，我们需要剔除直达波。实际上要剔除直达波只需要用含有反射波和直达波的记录减去对应的直达波就可以了。因此我们为了得到一个只含有直达波的记录，做了另外一组数值模拟实验，实验使用的模型及参数和上面的参数一样，只是将震源点放在了模型S2 点（如图3中（B）所示），这样保证了在模拟的250 ms内，反射波不能到达记录点，此时得到的记录就只含有直达波，用既含有反射波又含有直达波的记录减去只含有直达波的记录就得到了一个纯反射波。具体处理方法如图4所示。
图4 a为只含有直达波，b为即含有直达波又含有反射波，c为a-b只含有反射波
Fig.4 ‘a contains direction and reflection wave， ‘b is the only contain direction waveand ‘c is the ‘a-‘b and only reflection wave.
图4是在频率 情况下，得到的记录。其中图4中a是既含有反射波又含有直达波的记录，b是只含有直达波的记录，用a减去b就得到了图4中的c只含有反射波的记录。我们将从图4中的c反射波，提取出不同频率下的反射波的最大值，最终可以得到31次实验的反射波的最大值，绘成曲线如下图5所示。
图5不同频率成分对透明度影响
Fig.5 Effect of different frequency component of transparency.
从图5可以看到，不同频率对透明边界条件的透明度是有一定影响。从曲线上看，在低频时透明度相对更好，当频率增大时，透明度很明显的相对降低。当频率大于40Hz透明度呈线性减弱的趋势。
4 结 论
本文通过对波动方程有限差分法正演模拟时所采用的透明边界条件的透明度分析讨论，得到如下结论：（1）透明边界条件对人工边界能起到较好的吸收效果；（2）不同介质的模型对透明边界条件的透明度有一定的影响，实验采用三种介质模型模拟，结果得到：声波在空气中传播时透明边界条件的透明度最差，在岩石中传播时透明边界条件的透明度最好，在水中传播的透明度介于空气和水之间；（3）不同频率成分对透明边界条件的透明度有一定影响，从实验结果曲线来看，低频时透明度相对更好，当频率增大时，透明度很显然相对降低。当频率大于40Hz透明度呈线性减弱趋势。然而，从实验结果来看，在进行数值实验时需要选择好模拟参数，以求得更好的模拟结果。
参考文献
[1] 佘德平.波场数值模拟技术[J].勘探地球物理进展.2004；27（1）.
[2] 李信富，李小凡，张美根.地震波数值模拟方法研究综述[J].防灾减灾工程学报.2007.05：241-248.
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[6]Reynolds.A.C.Boundaryconditionsforthenumericalsolutionofwavepropagationproblems [J].Geophysics.1978；43（6）.
[7] 田力，余嘉顺，唐红.封闭空间声场的计算机仿真初步研究[J].计算机科学，2003.
为了更好的说明透明边界的透明度，笔者打算从以下两个方面研究讨论，一方面是模型不同介质对透明度的影响；另一方面是不同频率下的波对透明度的影响。
3.1 介质对透明度的影响
为了说明对于不同介质模型对透明边界条件透明度的影响，因此笔者选用了三种介质模型，对透明边界的透明度的研究讨论，三种介质分别是：空气、水和岩石。为了保证模拟实验的可靠性，在实验时除了波在不同介质中的传播速度不一样以外，其他参数均一样。数值模拟计算是在模型大小为1024m×1024m的空间中进行，其中在空气中的声波速度为v=340m/s，水中的声波速度为v=1500m/s，在岩石中的波传播速度为v=4500m/s，模拟时采用的空间采样间隔为 ，时间采样间隔为 ，选用的震源子波函数为（11）式，子波主频 ，震源坐标位置为（160m，512 m）。
使用上述有限差分数值模拟法，以上三种介质模型的模拟快照结果，如下图2所示。
图2不同介质模型的波场快照
Fig.2 Snapshot of wave field in the different medium model.
从图2中能够很清楚的看到，当地震波传播到边界时有一部分波穿过透明边界，但是明显的还有一部分反射波。而且反射波相对直达波的强弱是不一样的，也就是说不同介质的模型的透明度是不一样的。从反射波的能量来看，很显然空气介质下透明边界条件的透明度是最差的，透明边界条件的透明度最好的是在岩石介质模型时，而水介质条件下的透明边界条件的透明度介于空气和岩石之间。表明在本实验的速度变化范围之内，波速越高，边界条件的透明度也好。
3.2 频率对透明度的影响
从上一节我们看到，在不同的介质的模型条件下的透明边界条件的透明度是不一样的。而在这一节将讨论不同频率对透明边界条件透明度的影响。
为了更好的说明实验结果，采用的模型是上一节中的介质模型中的水介质（如下图3中（A）所示），模型空间大小为1024m×1024m，波传播速度为v=1500m/s，模拟时采用的空间采样间隔、时间采样间隔以及所选用的震源子波函数均与3.1节所采用的一样，其中S1点为震源，其坐标位置为 ，模拟时间长度250 ms。数值模拟实验时采用的频率从5Hz到150Hz，每隔5Hz取一个频率值进行实验，总共31次实验。
图3 水介质模型
Fig.3 Water medium for the model.
要想得到透明边界条件的透明度，我们只能够通过反射波来得到透明边界条件的透明度。因此，要想得到不同频率对透明边界条件的透明度的影响，那就需要先得到一个纯反射波。我们在进行的31次数值实验的时候，记录下了源点的震动情况，此时得到的记录既含有反射波，又含有反射波。因此为了得到一个纯反射波记录，我们需要剔除直达波。实际上要剔除直达波只需要用含有反射波和直达波的记录减去对应的直达波就可以了。因此我们为了得到一个只含有直达波的记录，做了另外一组数值模拟实验，实验使用的模型及参数和上面的参数一样，只是将震源点放在了模型S2 点（如图3中（B）所示），这样保证了在模拟的250 ms内，反射波不能到达记录点，此时得到的记录就只含有直达波，用既含有反射波又含有直达波的记录减去只含有直达波的记录就得到了一个纯反射波。具体处理方法如图4所示。
图4 a为只含有直达波，b为即含有直达波又含有反射波，c为a-b只含有反射波
Fig.4 ‘a contains direction and reflection wave， ‘b is the only contain direction waveand ‘c is the ‘a-‘b and only reflection wave.
图4是在频率 情况下，得到的记录。其中图4中a是既含有反射波又含有直达波的记录，b是只含有直达波的记录，用a减去b就得到了图4中的c只含有反射波的记录。我们将从图4中的c反射波，提取出不同频率下的反射波的最大值，最终可以得到31次实验的反射波的最大值，绘成曲线如下图5所示。
图5不同频率成分对透明度影响
Fig.5 Effect of different frequency component of transparency.
从图5可以看到，不同频率对透明边界条件的透明度是有一定影响。从曲线上看，在低频时透明度相对更好，当频率增大时，透明度很明显的相对降低。当频率大于40Hz透明度呈线性减弱的趋势。
4 结 论
本文通过对波动方程有限差分法正演模拟时所采用的透明边界条件的透明度分析讨论，得到如下结论：（1）透明边界条件对人工边界能起到较好的吸收效果；（2）不同介质的模型对透明边界条件的透明度有一定的影响，实验采用三种介质模型模拟，结果得到：声波在空气中传播时透明边界条件的透明度最差，在岩石中传播时透明边界条件的透明度最好，在水中传播的透明度介于空气和水之间；（3）不同频率成分对透明边界条件的透明度有一定影响，从实验结果曲线来看，低频时透明度相对更好，当频率增大时，透明度很显然相对降低。当频率大于40Hz透明度呈线性减弱趋势。然而，从实验结果来看，在进行数值实验时需要选择好模拟参数，以求得更好的模拟结果。
参考文献
[1] 佘德平.波场数值模拟技术[J].勘探地球物理进展.2004；27（1）.
[2] 李信富，李小凡，张美根.地震波数值模拟方法研究综述[J].防灾减灾工程学报.2007.05：241-248.
[3] 裴正林，牟永光.地震波传播数值模拟[J].地球物理学进展.2004.
[4] 常旭，刘伊克.地震正反演与成像[M].北京：华文出版社.2001.
[5] 江玉乐，雷宛等.地球物理数据处理教程[M].北京：地质出版社.2006.
[6]Reynolds.A.C.Boundaryconditionsforthenumericalsolutionofwavepropagationproblems [J].Geophysics.1978；43（6）.
[7] 田力，余嘉顺，唐红.封闭空间声场的计算机仿真初步研究[J].计算机科学，2003.
