基于相似用两次的视角求解一类动点路径问题

    

    

    

    0 引子

    近期拜读文[1]，谈到用“位似旋转变换”求解动点路径问题，引发笔者思考.有关动点路径问题，或者与动点有关的线段最值问题，是当下中考热点和难点，研究文章见诸许多杂志，各叙己见，文[1]是其中一种观点.但是，作为一线老师，若照搬文[1]的方法，显然超出学生的知识范围及能力范畴，据此给学生授课，恐怕学生难以接受.有没有比较浅显的思路，易于操作的方法呢？笔者采取“相似用两次”的视角，解决此类问题，与读者们交流，以期能擦出更多智慧的火花

    原题回放

    问题（见文[1]） 如图1，已知A（2，4），B为y轴正半轴上一动点，作∠BAC=90°交x轴正半轴于C点，M为BC中点，P（1，0），求PM的最小值

    图1

    原解析 如图1，由条件可知A，B，O，C，四点共圆，∠AOC=∠ABC=∠BAM，cos∠AOC=cos∠ABC=55，AMAB=52，问题等价于将AB逆时针旋转∠AOP的度数，再放大52倍，即定点A，定角∠AOC，定比52.将OA作同样的变换得AM1（M1在OC上），可证△OAB∽△M1AM，MM1OB=AMAB=52，∠AOB=∠AM1M，故可知M点运动路径为线段M1M2（M2为M运动的极端点），且M点路径M1M2长等于B点路径长（OB1）的52倍，PM的最小值等于P到M1M2的距离为455

    评析 课改以来，数学教育界强调三个理解，尤其强调教师在理解学生的基础进行教学.理解学生是指教师清楚学生学习数学的基础、潜能、需求与差异，清楚学生学习特定数学知识已有的认知基础、生长点与潜在困难，清楚学生的认知特点与认知规律.离开学生现状的解题教学，势必导致教学效率不高，让学生对数学产生恐惧心理

    文[1]中的例1解题解析会让学生产生如下困惑：首先，直线M1M2具体是怎样的一条直线，这里的说理过程不详;其次，结果455是如何求解得的;最后，用“定点A，定角∠AOC，定比52”，这样描述模型（尽管前面有概括），真的还是有点抽象，其实它的背景知识本身就是相似用两次相似用两次的解题分析：针对以上问题，笔者平时采用以下方法，分析、引导和启发学生解决此类问题.第一步，描点.实验操作，找三个不同位置点M，第一个是起始点M，当AB与AO重合时，点M是图中OC1中点，即点M1位置，当AC1与AO重合时，点M是图中OB中点，即点M2位置，第三个点M，任意位置就行，如图1中的点M;第二步，连线.观察三点的连线是直线的还是曲线;本题根据连线观察，点M运动路径是射线，∠OM1M2是定角.第三步，推理.由题意得，△OAC1∽△BAC，所以AM1OA=AMAB=52，∠M1AM=∠OAB.所以△M1AM∽△OAB.于是∠AM1M=∠AOB，因为∠AOB是定角，AM1是定线.因此，M1M2是定线，因此，点M的运动路径是在定线M1M2上.再求得OM1=5，OM2=52，所以PM的最小值等于点P到直线M1M2的垂线段PH的长度，为455

    以上解题三步曲，对于求解其它动点的路径问题，也具普适性.三个步骤中的难点是推理，核心知识是相似三角形的性质与判定，涉及基本图形是有一个公共顶点的两对相似三角形，第一对相似三角形得出的对应角相等与对应边成比例，是第二对相似三角形判定的基础，再根据第二对相似三角形性质，得出对应角相等，可以判定从动点M的路径在定直线上.在证明过程中，运用两次相似三角形的判定与性质，因此，笔者称之为“相似用两次”.

    1 相似用两次的应用

    当下许多中考题，或者复习资料，有许多类似的求解动点路径问题，下面列举三例讲解如何运用“相似用两次”，解此类数学问题

    例1 如图2，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P为顶点，线段PA上有一个动点D，以CD为底向下作等腰直角三角形△CDE，其中∠CED=90°，则AE的最小值为

    图2

    解析 第一步：描点.如图2，将主动点D运动至点A，则点E与点O重合，再将点D运动点至P，则E点与点G重合.第二步，连线.显然点G、点E、点O三点在同一直线上.第三步，推理.由题意得，OA=OC=3，所以等腰直角三角形CDE相似等腰直角三角形CAO，于是CDCA=CECO，∠DCA=∠ECO，于是，△ACD∽△OCE.因此，∠CAD=∠COE，即tan∠COE=tan∠CAP=PCAC=13.从而确定动点E在定直线OG上.最后，再用“面积用两次”思想，即S△AOG=12AO·GM=12OG·AH，求得AH=91010

    例2 如图3，A（63，0），AB=BO，∠ABO=120°，动点C在y轴负半轴上运动，在坐标平面内有点D，使AD=DC，∠ADC=120°，连结OD，则OD的最小值為

    图3

    解析 依据三步法中的前两个步骤，可以得出，点D的运动路径是射线BD.下面论证射线BD是定直线上.由已知△OAB∽△CAD，ABAO=ADAC=13，∠BAD=∠OAC，所以△BAD∽△OAC.所以∠DBA=∠COA=90°.所以∠OBE=∠OEB=30°.于是，点D的运动路径是射线BD.则OD的最小值就是O点到直线DB的距离，易求得最小值为3

    例3 如图4，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是

    图4

    解析 如图4，同样运用三步骤中的三点法确定，从动点B的运动路径是线段B1B2.下面重点求运动路径B1B2的长.由已知△P1AB1∽△NAB2，AB1AP1=AB2AN=13，∠B2AB1=∠NAP1，所以△B1AB2∽△P1AN.所以∠B1B2A=∠P1NA=45°.所以点P运动路径B1B2是定线段.因为△B1AB2∽△P1AN，所以B1B2P1N=AB2AN=13，B1B2=23×2×13=22.本题是2013年浙江省湖州市中考数学试卷第16题，也是压轴填空题，显然当年对大部分考生来讲是个挑战题，对学习能力不强的学生更是一个难以逾越的坎.2 教学启示2.1 重视用两次思想在解题中的运用

    本文笔者采用“相似用两次”的视角求解一类动点路径问题，本质是“用两次”数学思想方法在求解一类问题中的运用.那么，什么是“用两次”数学思想呢？波利亚曾言：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系.”这就是算两次原理，又称富比尼（G.Fubini）原理.单墫教授编著的《算两次》中，将算两次原理形象地比喻成“三步舞曲”，即从2个方面考虑一个适当量，“一方面……，另一方面……，综合起来可得……”，如果一个数学研究对象具有“双重身份”或“两面性”，也就是说既满足条件A又满足条件B，就可以考虑使用这种方法.本文笔者采用“相似用两次”，可以说是对这个数学思想方法的延伸.其实，初中数学中，还有可以用“用两次”思想方法解题的案例，下面再举两例

    例4 如图5，正方形ABCD和CEFG的边长分别为a，b，求△AEG的面积

    图5

    解析 方法1：如图5，连结AC.则AC∥GE.所以S△AGE=S△CGE=12b2

    方法2：如图5，S四边形ACEG=S△AGE+S△ACE=S△ACG+S△GCE，所以S△AGE+12ab=12ab+12b2.即S△AGE=12b2

    评注 这是一道经典的几何题，其实还有其它的解法.这里的第一种方法采用等积变形，比较简单，另外，△AEG的面积与正方形ABCD的边长无关.第二种方法是“面积用两次”，对于同一个四边形ACEG，面积算两次，可以概括为“上+下=左+右”，具有非常美妙的对称结构

    例5 如图6，△ABC中，若CA=3，AB=5，BC=7，求△ABC的面积

    图6

    解析 作AB边上的高CH

    设AH=x.由勾股定理得，CH2=BC2-BH2=CA2-AH2，

    所以72-（x+5）2=32-x2.解这个方程得，x=32

    于是，求得CH=323.所以△ABC的面积为1543

    评注 本题借助线段CH用两次，接着勾股定理用两次，建立方程，从而解决问题.2.2 解题教学应避免剑走偏锋

    课堂教学是教与学的双边活动，教的秘诀在于适度，学的真谛在于感悟.著名国学大师在《人间词话》中对诗人的最高境界给予精辟的描述：“诗人与宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外.入乎其内，故能写之，出乎其外，故能观之.”教之道在于“度”，学之道在于“悟”.解题教学何尝不是如此呢？入乎其内，就是要鼓励学生独立思考，合作探究，从自己的砥砺前行中获得体验;出乎其外，就是通过丰富多彩数学问题的解决，觉得数学好玩，能感悟数学问题的本质，从而获得对数学问题的理解从直观想象到内在逻辑推理.最近比较流行的“模型化”，如文[1]，确实丰富了学生的解题技巧，为解决问题提供了一条快捷通道，甚至在一定程度打开了解题思维的另一扇窗，但过于夸大“模型”的功能，在学生没有充分理解掌握的前提下，势必会加重学生的心里压力，并且要花大量时间进行讲解归纳，效果不一定理想，有点剑走偏锋的感觉.2019年宁波市的中考几何压轴题，学生考试时先入为主，想方设法寻找模型，结果无功而返，都觉得有被老师欺骗的感觉.究其原因，都是模型惹的祸.命题者的良苦用心是尽量避开模型，重点考察学生对基础知识、基本技能、数学思想方法，尤其是对核心知识的理解与掌握，体现考试的公平性，命题评价组对这题评价很高，这也是今后命题的一種方向.解决动点路径问题，笔者本文采取三步曲的解题方法，其实也是解其它动点路径问题的通性通法，在这个过程中，如果再抽象出文[1]中的模型，这样更有利于培养学生的几何直观、逻辑推理和数学运算等核心素养，从而提高学生数学活动的经验.教师的教育视野决定了教育的品位，解题教学应注重“启、诱、导、探、悟”，在问题解决的突破口，转换的方向、化归的手段及运算的变形上，通过让学生尝试分析、感悟领会，进而转化为自身的能力，实现真正意义上的深度学习

    参考文献

    [1]吴国庆，颜永洪.一类动点路径模型及其应用[J].中学数学杂志（初中），2019（8）.

    [2]陈明儒.证两次相似解平面几何竞赛题[J].中学数学研究，2014（1）

    作者简介 陈明儒，男，中学正高级教师，浙江省特级教师，宁波市名教师.专注于课堂教学研究，尤其擅长优等生的培养，有近百人在全国初中数学竞赛中获一、二、三等奖，并多次获浙江省初中数学竞赛优秀指导教师称号，有30多篇教研文章在省级及以上刊物（或核心刊物）上发表.