一道试题的解法及深度思考

    王万丰 汪佳莎

    

    

    

    几何试题中，求解边角问题是最常见的问题，如何灵活地使用角度是解题的一个难点，特别是如何处理非特殊角的2倍角、半角及和与差的问题，往往比较棘手，笔者近日在网上与同行们交流了一道试题，引发了我的一些思考，与大家分享.

    1 ?原题及解答

    1.1 试题展示图1

    问题1 如图1，在矩形ABCD中，CD=3，AD=4，在AD边上取点E，H，在AC上取点F，作正方形EFGH，连接AG，点E′是点E关于AG的对称点，A?E′交BC于点P，则PC的长为.

    1.2 解答过程

    延长DC，AP交于点J，延长AG交DC于点K，设EF=3a，则AE=4a，EH=3a，所以ADDK=AHHG=73，所以DK?=127，KC=97，设CJ=x，则AJ=16+（3+x）2，因为AK平分

    ∠DAJ，所以ADAJ=DKKJ，即416+（3+x）2=1273+x-127，解得x=65，再由△JCP∽△JDA，可求得CP=87

    上述的解法利用点E与点E′相互对称的性质，得出AK平分∠DAJ，利用角平分线得出线段的比例关系，列出方程求解，但解题思路不容易想到，且角平分线的这点性质不在初中要求范围之内，所列方程烦且难解.笔者不禁思考还有其他的方法吗？

    2 解答反思

    2.1 ?如何确定∠HAP大小

    由题意条件可得tan∠HAG=37，说明∠HAG的大小是确定的，显然∠APB=∠HAP=

    2∠HAG，所以∠APB的大小也是确定的，已知AB=3，若能确定tan∠HAP大小，问题能解.那么如何求出∠APB的正切值呢？图2

    我们可以这样构造如图2，构造Rt△ABC，∠C=90°，且BC=3，AC=7，显然tanA=37，DE为AB的垂直平分线，则AE=BE，∠ABE=∠A，所以∠BEC=2∠A.设CE=x，则BE=7-x，由勾股定理可求得EC=207，因为BC=3，所以tan∠BEC=2120.即：若tanA=37，则tan2A=2120

    所以，如图1，因为tan∠HAG=37，所以tan∠HAP=tan∠APB=tan2∠HAG=2120，因为AB=3，可求得BP=207，则PC=87

    这种解法从图形的确定性去分析角度的大小，从而将求线段CP的长转化为求△ABP中BP的长，利用三角函数可求解.难点为求2∠HAG的正切值，通过构造直角三角形，利用垂直平分线构造2倍角，利用解直角三角形的方法可顺利求解.

    2.2 对此解法的一般性探索

    实际上，对于一些非特殊角，我们可以通过确定角的三角函数值来确定角的大小，当然也可以通过确定2倍角的三角函数值来确定角两倍的大小.下面我们来探索一般情况：图3

    如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，设BC=a，AC=b（b>a），显然tanA=ab，DE为AB的垂直平分线，所以∠BEC=2∠A，AE=BE.设CE=x，则BE=b-x，由勾股定理，得BC2+CE2=BE2，即a2+x2=（b-x）2，解得EC=b2-a22b，因为BC=a，所以tan∠BEC=2abb2-a2，即：若tanA=ab，则tan2A=2abb2-a2

    利用这种构造的方法即可以方便地求出一些与“2倍角”有关的问题

    问题2 如图4，在正方形ABCD中，AB=6，E是BC边中点，将△ABE沿着边AE对折，使得点B与点F重合，AF与对角线交于点G，求线段GF的长

    解法分析 问题要求线段GF的长，可通过求线段AG来求解，显然tan∠BAE=12，由此前探究的规律得：tan∠BAG=tan?2∠BAE=2×1×222-12=43.过点G作GN⊥AB，所以可设AN=3x，则NG=4x，AG=5x，BN=NG=4x，由AB=6，可得7x=6，则x=67，所以GF=127图4 图5

    问题3 如图5，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+b经过点A（-1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y=kx（k>0，x>0）交于点C，且BC=AB，点D是反比例函数上一点，连接AD.若tan∠BAD=12，则点D的横坐标为

    解法分析 过点D作DE⊥x轴，设AD与y轴交于点F，易得反比例函数解析式为y=4x，直线解析式为y=2x+2，A（-1，0），B（0，2），可得tan∠ABO=12.因为

    tan∠BAD=12，所以∠ABO=∠BAD，所以∠AFO=2∠ABO，所以tan∠AFO=tan2∠ABO?=43

    因为DE∥OF，所以tan∠ADE=43.设D（a，4a），可得a+14a=43，所以a=-3+2016

    另解：本题也可以通过得到tan∠AFO=43来确定F点的坐标为（0，34），从而确定直线AD的解析式，通过求交点的方法来得到

    两种方法都是利用∠AFO与∠ABO的关系，通过三角函数值来确定直线AD或∠ADE的大小，利用边角关系求解点D的横坐标，解题思路明确，方法简单，易于实现.同理：若tanA=13，则tan2A?=2×1×332-12=34，这个结论在一些试题中同样也有用处，在此不一一赘述.

    2.3 如何确定半角的三角函数值

    以上思考是通过作垂直平分线得到一个角的2倍角，再得到2倍角的正切值来确定一个角，反之也可以通过构造一个直角三角形来确定一个角的半角的三角函数值图6

    如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，设BC=a，AC=b，顯然tanA=ab，延长CA至D，使得AD=AB，所以∠D=12∠BAC.因为BC=a，AC=b，所以AB=a2+b2，AD=a2+b2.所以tan∠D?=ab+a2+b2.即：若tanA=ab，则tan12A=ab+a2+b2

    这个公式比较复杂，记忆起来也并没有什么意义，但是我们可以掌握这种构造图形的方法求出半角的正切值，从而确定一个角的大小，特别是当出现一些角的两倍是特殊角的时候用途比较大，如：若tanA=34，则tan12A=39=13;若tanA=43，则tan12A=48=12

    还有一些角如15°，22.5°，这些角不是特殊角，但是它的两倍是30°，45°，解题中如果能构造30°，45°的直角三角形，求出15°，22.5°的三角函数值，解题比较顺利

    问题4 如图7，正方形ABCD的边长为2，E是CD边上一点，对折△ADE，使得边AD与AF重合，若以正方形中心O为圆心的圆与AE，AF刚好相切，求⊙O的半径

    解题分析 因为⊙O与AE，AF都相切，所以∠1=∠2，因为∠3=∠EAF=2∠1，所以∠DAO=3∠1=45°，可得∠1=15°，因为AB=2，则AO=2，连接切点与圆心OP，作∠1=∠AOQ=15°，所以∠OQP=30°.设OP=x，可得：AP=（2+3）x，利用勾股定理可解图7 图8

    问题5 （2019年浙江温州）三个形状大小相同的菱形按如图8所示方式摆放，已知

    ∠AOB=∠AOE=90°，菱形的较短对角线长为2?cm.若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为cm

    解题分析 可得∠HAG=45°，根据菱形的性质可知∠HAN=22.5°，易知HN=1，通过这两个条件能求出AO的长吗？基于这种思考，可以用下列方法求解：作∠AHM=22.5°，从而可得∠HMN=45°，则MN=HN=1，HM=AM=2，从而可得AN=2+1，进而得到△ABE的周长

    此题解法很多，这种解法利用已知22.5°的角，构造得到45°的直角三角形，从而利用这些特殊角得到边的关系，方法灵活，解答简单，但对角度的灵活使用要求较高，需要三角函数的素养比较高.

    2.4 对于“2倍角”是钝角的思考图9

    前面是思考了“2倍角”是锐角，如图9，在Rt△ABC中，∠C=90°，设BC=a，AC=b（a>b），显然∠A>45°，DE为AB的垂直平分线，所以∠BEP=2∠A，此时∠BEP为钝角，初中阶段钝角的三角函数不作要求，那么对于这个问题有什么结论呢？

    如图9，显然tanA=ab，DE为AB的垂直平分线，所以∠BEP=2∠A，AE=BE.设CE=x，则BE=b+x，由勾股定理，得BC2+CE2=BE2，即a2+x2=（b+x）2，解得EC=a2-b22b，因为BC=a，所以tan∠BEC=2aba2-b2，

    即：若tanA=ab，?∠A>45°，则tan（180-2A）=2aba2-b2图10

    问题6 （2020学年浙江台州三门县期末）如图10，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC的中点，以D为圆心，CD为半径画弧与以BC为直径的半圆相交于点F，连接EF并延长与AD交于点G，则AG的长为

    解题分析 连接DF，DE，由题已知可得DF为⊙D的切线，即可得∠GEC=2∠DEC，tan∠DEC=43，则tan∠GEH=2aba2-b2=247，GH=AB=4，可求得HE=76，所以AG=116

    另解 如图10，可证△GHE≌△DFG，所以GF=HE，设HE=x，则GE=3+x，由勾股定理，得GH2+HE2=GE2，列方程可求得x=76，所以AG=116图11

    再思考图9中的问题可以发现，如图11，∠AGC=∠ABG+∠BAG=2∠ABC，∠AGC+∠GAC=90°.由对称可知∠GAC=∠EBC，所以可得∠EBC+2∠ABC=90°.而tan∠ABC=ba，tan∠EBC?=a2-b22ab，即：若tanB=ba，∠B<45°，则tan（90-2B）=a2-b22ab利用这个结论也可以解决上面问题6，方法如下：如图10，tan∠EDC=34，则tan∠GDF=

    tan（90°-2∠EDC）=42-322×4×3=724，DF=DC=4，可得GF=76，可求得HE=76，所以AG=116.

    2.5 如何求两角之和的三角函数值

    这个问题当然是可以的，一般的角求出来用途也不是很大，但是一些特殊关系的角在解题中能够发挥作用，如若∠A+∠B=45°，他们的关系会怎么样呢？我们来研究一下

    如图12，在等腰Rt△AEF中，∠EAF=45°，AE=EF，构造矩形ABCD，使得E，F两点分别在BC，CD边上，设BE=a，AB=b，可得DF=b-a，AD=a+b，显然∠1+∠2=45°.

    则有tan∠1=ab，tan∠2=b-ab+a即：若∠1+∠2=45°，tan∠1=ab，则tan∠2=b-ab+a

    特别地，若∠1+∠2=45°，tan∠1=12，则tan∠2?=b-ab+a=13图12 图13

    问题7 （2018年山东滨州）如图13，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E，F分别在BC，CD上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF的长为

    解题分析 由已知条件AB=2，AE=5得BE=1，即tan∠BAE=12，又因为∠EAF=45°，则∠BAE+∠DAF=45°，由上面探究的结论可得tan∠DAF=13，由BC=4，则DF=43，由勾股定理可得AF=4310图14

    问题8 （2017年浙江金华）如图14，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y=kx的图象上.作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为

    解题分析 作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，已知点A（2，3）和点B（0，2），可求得tan∠BAD=12，又因为∠BAC=45°，则∠BAD+∠CAE=45°，由上面探究的结论可得tan∠CAE=13，由AE=3，则EF=1，从而可以确定F点坐标为（1，0），即可确定直线AC的解析式，利用方程组即可求出点C的坐标图15

    问题9 （2018年秋·浙江宁波北仑区期末）如图15，已知点A（3，3），点B（0，2），点A在二次函数y=x2+bx-9的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交二次函数图象于点C，则点C的坐标为

    解题分析 作AE⊥y轴于点E，AD⊥x轴，CD⊥y轴于点D，已知点A（3，3）和点B（0，2），可求得tan∠BAE=13，又因为∠BAC=45°，则∠BAE+∠CAD=45°，由上面探究的结论可得tan∠CAD=12，设点C（x，x2+x-9），则CD=3-x，AD=-x2-x+12，由CDAD=12可以确定C点坐标为（-2，-7）

    实际上，在解决几何问题中利用角度的大小分析图形的形状，从而确定点的位置及边长的大小，这对解题思路的形成很有帮助，通过构造图形得到一些非特殊角度的特殊关系，利用三角函数值来确定角度的大小，从而可以得到问题的解;另外，当前教育背景下，解题及解题教学也必然需要从数量向质量转变，对一个數学问题的深度思考，是提升学生的数学学习兴趣，提升数学成绩及数学教学品味的关键手段

    作者简介 王万丰（1979—），男，浙江省教坛新秀，台州市名教师，路桥区第五届、第六届拔尖人才，人民教育出版社中学数学室外编辑，在《中学数学杂志》《中国数学教育》等杂志发表论文20多篇.