让 “参数k ”亮出颜值,由“特征点”揭示内涵

    程军

    

    

    

    在一次函数应用教学中,经常出现“直线型”行程问题,围绕运动情景让学生写出相应的一次函数解析式,或画出相应图象,或求速度等等,学生往往觉得听听容易,自己独立做比较困难,教师教得累,学生学得苦.如何准确找到“直线型”行程问题解决的“金钥匙”,笔者结合最近几年中考题作以下探索和思考,与同行交流.

    1 案例透视

    案例1 (2019无锡)?“低碳生活,绿色出行”是一种环保、健康的生活方式,小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地,她与乙地之间的距离y(km)与出发时间之间的函数关系式如图1中线段AB所示,在小丽出发的同时,小明从乙地沿同一条公路汽骑车匀速前往甲地,两人之间的距离s(km)与出发时间t(h)之间的函数关系式如图2中折线段CD—DE—EF所示图1图2

    (1)小丽和小明骑车的速度各是多少?

    (2)求E点坐标,并解释点的实际意义

    思路分析 在直线型运动中,求速度是最常见的问题

    首先,弄清变量y和t的含义,变量s和t的含义,弄清在y—t和s—t图象中速度的计算方法

    其次,要关注特征点A(0,36),B(2.25,0),C(0,36),D(1,0),E的含义,教学时应引导学生看图“读出”信息,深刻理解它在实际情景中的运动含义,特征点就是很好的抓手;例如E表示其中一人达到终点(显然速度快的是小明,E点表示小明已到达终点甲地);特征点D(1,0)表示两人相遇时用时1小时……

    第三,观察图2,根据s与t的含义,结合三条折线段中出现的特征点,通过画“线段图”(图3)进行情景再现,下图是小丽和小明的运动路径图:

    CD段图象对应——两人之间的距离s先是逐渐减小直至为0(即相遇)的情景;

    DE段图象对应——两人相遇后,两人间的距离s逐渐增加直至小明到达甲地的情景;

    EF段图象对应——两人之间距离s(可以看成小丽离开出发地甲的距离)仍然逐渐增加的情景,但注意此时单位时间内增加的幅度要小了,

    这样的运动情境通过下面线段图引导学生搞清楚,那么问题解决就不困难了

    由D(1,0)可知两人速度和36?km/h,于是小明速度即知,E点表示小明到达终点,时间可求出,即E点横坐标已知,E点纵坐标即为小丽离开甲的距离

    图3

    解题过程

    (1)v小丽=yt=362.25=16?km/h,由v小明+V小丽=361=36,得v小明=20?km/h;

    (2)求E点坐标有两法:

    法一 小明到达终点时间t小明=3620=1.8h,此时小丽离开小明的距离即小丽距甲的距离=1.8×16=28.8?km,故E(1.8,28.8);

    法二 直线DE中的“k”值为两人速度和16+20=36,且过(1,0),故解析式为s=36(t-1)=36t-36,令xE=1.8代入,sE=28.8,故E(1.8,28.8)

    解后反思 本题关键处是理解特征点D和E的含义,其中E点理解是难点,通过画线段图,情景再现,就能想清楚E表示小明到终点,此时两人间的距离s就是小丽离开甲的距离,这一点学生往往忽视.法二可以避开这么深刻的理解,通过解析法同样解决问题.但要清楚直线DE?中的“k”值为速度和36(反向运动),直线CD中的“k”值的絕对值为速度和36;由v小丽=yt=16?km/h,注意到直线AB的解析式为y=-16x+36,显然k=16,这里小丽速度v=-k,一般地,在s—t?图象中,一次函数图象是一条直线(或线段),它的“k”即为运动对象的速度值或速度和(或速度差)图4

    案例2 (2018南京)小明从家出发,沿一条直道跑步,经过一段时间原路返回,刚好在第16min回到家中.设小明出发第t?min时的速度为v?m/min,离家的距离为s?m,v与t之间的函数关系如图4所示(图中的空心圈表示不包含这一点)

    (1)略;(2)当2

    思路分析 (1)略;

    (2)当2

    根据v—t图象,若t=5就返回,则s1=200+480=680,而返回s2=880,显然在5

    (3)根据0≤t≤2,2

    解题过程 (1)省略

    (2)先预判,若t=5返回,s1=200+480=680,而返回s2=880,s1

    求解析式有2种方法:图5法一 由线段图(图5)再现情景,从运动角度,直接写出解析式:

    AB对应:s=200t(0≤t≤2);

    BC对应:s=200+(t-2)×160,即s=160t-120(2

    CD对应:s=200+480+(t-5)×80,即s=80t+280(5

    D—A对应(返回):s=200+480+100-80(t-6.25),即s=-80t+1280(6.25

    故s与t的函数表达式为s=200t(0≤t≤2)160t-120(2

    法二 ?抓特征点,求坐标,用待定系数法求解析式;由t=2,得(2,200);由t=5,

    思路分析 根据题意,两车距离y是乙车行驶的时间的函数,

    先关注特征点,读出相关信息,(0,80)→乙出发时,甲乙相距80?km;

    (2,0)→2小时后,乙车追上甲,说明乙速度比甲大,且甲乙速度差40?km/h?;

    (6,m)→乙出发6小时到达B,此时甲乙间距离最大;H点→乙在B停留1?h后原路返回;

    解题过程 法一 情景再现,画出有关线段图(图8),结合直线“k”的值和运动求解析式,并配合两变量中一个变量值已知,可快速求出图8

    第一段线段“k”值为-?40,则V乙-V甲=802=40?km/h,由V甲=80?km/h,得V乙=80+40=120?km/h,第二条线段“k”值为120-80=?40,解析式为y=?40(x-2)=?40x-80,令x=6,得y=160,即m=160?km;

    第三段线段“k?”值为-80,甲乙间距离可看成甲离开B的距离(乙已经达到B),故解析式为y=6×120-80(x+1)=-80x+640,令x=7,则y=8,故H(7,80);

    第四段两人相向而行,“?k”值为-(80+120)=?-200,直线解析式为,y=80-200(x-7)令y=0,则x=7.4,故n=7.4综上,选B

    法二 通过线段图8,从纯直线运动角度看:

    →乙出发时甲乙相距80?km,则说明乙每小时比甲快40?km,则乙的速度为120?km/h,①正确;

    →由(6,m)知乙从相遇点到达B,用时4小时,每小时比甲快40?km,则甲乙距离4×40=160?km,则m=160,故②正确;

    →当乙在B休息1?h时,甲前进80?km,故y=160-80=80?km,H点坐标为(7,80),故③正确;

    →乙返回时,甲乙相距80?km,到两车相遇用时80÷(120+80)=0.4小时,则n=6+1+0.4=7.4,故④错误

    解后反思 本题同样是y—x?图象,画线段图,再现情景,理清运动关系,利用“k”值,快速求出乙速和相关解析式,由于本题只求m和n等值,通过快速求出解析式,结合已知一个变量的值,同样可以求出另一个变量,法一简洁易懂;法二则纯属直线运动型问题,变成一个算术题,但对于不同函数图象和相应线段图的無缝对接,在理解和认识上是难点和关键,往往学生不易理解,法一简洁明了,易于掌握.

    2 对教学的建议和思考

    一次函数解析式为y=kx+b,它的图象是一条直线;在“直线型”行程问题中,y—t或s—t图象是直线的一部分,或者是几条线段连接构成的折线段,故这类图象基本是几个一次函图象的拼接.求一次函数解析式、求点坐标或描述特征点含义、求速度等等,这类题目在近几年中考中经常出现,成为命题热点,教学时引导学生理解并掌握以下几点很重要.

    2.1 深刻理解解析式中参数“k”的本质意义

    一次函数中的参数k=函数值y的增量自变量x的增量,由此可知?“参数k”在“直线型”运动问题s—t图象中,︱k︱就是速度值或速度和(差);不同情境,k值含义不同.深刻理解并准确应用k的含义,即可高效解题,可谓是高颜值参数.

    2.2? 抓住图象中的特征点(或转折点),揭示运动对象所处关键位置

    “直线型”行程问题的图象由于出现了特征点,故它的上一个运动情景与下一个运动情景发生了变化——或时间先后变化或运动方向变化或速度大小变化等,要牢牢抓住这把?“金钥匙”,读出有效信息,结合线段图抓住图象和运动情景的对应关系,揭示运动情景中关键点的内涵.

    2.3 画好线段图,再现运动情景,弄清运动过程,找出解题思路

    “直线型”行程问题运动情景较复杂,光空想易发生偏差,通过线段图作为载体,画出各种运动情况,逐段分析各种情景很关键,可以理清解题思路.一般可以标出出发点、对应速度、运动时间或相应路程等,发挥直观想象能力,从而找到数量关系;在求相应解析式时,不能仅考虑待定系数法,更要结合运动观点(线段图)和“k”值,一般解析式都能快速求出.

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