让 “参数k ”亮出颜值，由“特征点”揭示内涵

    程军

    

    

    

    在一次函数应用教学中，经常出现“直线型”行程问题，围绕运动情景让学生写出相应的一次函数解析式，或画出相应图象，或求速度等等，学生往往觉得听听容易，自己独立做比较困难，教师教得累，学生学得苦.如何准确找到“直线型”行程问题解决的“金钥匙”，笔者结合最近几年中考题作以下探索和思考，与同行交流.

    1 案例透视

    案例1 （2019无锡）?“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间之间的函数关系式如图1中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路汽骑车匀速前往甲地，两人之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图2中折线段CD—DE—EF所示图1图2

    （1）小丽和小明骑车的速度各是多少？

    （2）求E点坐标，并解释点的实际意义

    思路分析 在直线型运动中，求速度是最常见的问题

    首先，弄清变量y和t的含义，变量s和t的含义，弄清在y—t和s—t图象中速度的计算方法

    其次，要关注特征点A（0，36），B（2.25，0），C（0，36），D（1，0），E的含义，教学时应引导学生看图“读出”信息，深刻理解它在实际情景中的运动含义，特征点就是很好的抓手;例如E表示其中一人达到终点（显然速度快的是小明，E点表示小明已到达终点甲地）;特征点D（1，0）表示两人相遇时用时1小时……

    第三，观察图2，根据s与t的含义，结合三条折线段中出现的特征点，通过画“线段图”（图3）进行情景再现，下图是小丽和小明的运动路径图：

    CD段图象对应——两人之间的距离s先是逐渐减小直至为0（即相遇）的情景;

    DE段图象对应——两人相遇后，两人间的距离s逐渐增加直至小明到达甲地的情景;

    EF段图象对应——两人之间距离s（可以看成小丽离开出发地甲的距离）仍然逐渐增加的情景，但注意此时单位时间内增加的幅度要小了，

    这样的运动情境通过下面线段图引导学生搞清楚，那么问题解决就不困难了

    由D（1，0）可知两人速度和36?km/h，于是小明速度即知，E点表示小明到达终点，时间可求出，即E点横坐标已知，E点纵坐标即为小丽离开甲的距离

    图3

    解题过程

    （1）v小丽=yt=362.25=16?km/h，由v小明+V小丽=361=36，得v小明=20?km/h;

    （2）求E点坐标有两法：

    法一 小明到达终点时间t小明=3620=1.8h，此时小丽离开小明的距离即小丽距甲的距离=1.8×16=28.8?km，故E（1.8，28.8）;

    法二 直线DE中的“k”值为两人速度和16+20=36，且过（1，0），故解析式为s=36（t-1）=36t-36，令xE=1.8代入，sE=28.8，故E（1.8，28.8）

    解后反思 本题关键处是理解特征点D和E的含义，其中E点理解是难点，通过画线段图，情景再现，就能想清楚E表示小明到终点，此时两人间的距离s就是小丽离开甲的距离，这一点学生往往忽视.法二可以避开这么深刻的理解，通过解析法同样解决问题.但要清楚直线DE?中的“k”值为速度和36（反向运动），直线CD中的“k”值的絕对值为速度和36;由v小丽=yt=16?km/h，注意到直线AB的解析式为y=-16x+36，显然k=16，这里小丽速度v=-k，一般地，在s—t?图象中，一次函数图象是一条直线（或线段），它的“k”即为运动对象的速度值或速度和（或速度差）图4

    案例2 （2018南京）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min回到家中.设小明出发第t?min时的速度为v?m/min，离家的距离为s?m，v与t之间的函数关系如图4所示（图中的空心圈表示不包含这一点）

    （1）略;（2）当2

    思路分析 （1）略;

    （2）当2

    根据v—t图象，若t=5就返回，则s1=200+480=680，而返回s2=880，显然在5

    （3）根据0≤t≤2，2

    解题过程 （1）省略

    （2）先预判，若t=5返回，s1=200+480=680，而返回s2=880，s1

    求解析式有2种方法：图5法一 由线段图（图5）再现情景，从运动角度，直接写出解析式：

    AB对应：s=200t（0≤t≤2）;

    BC对应：s=200+（t-2）×160，即s=160t-120（2

    CD对应：s=200+480+（t-5）×80，即s=80t+280（5

    D—A对应（返回）：s=200+480+100-80（t-6.25），即s=-80t+1280（6.25

    故s与t的函数表达式为s=200t（0≤t≤2）160t-120（2

    法二 ?抓特征点，求坐标，用待定系数法求解析式;由t=2，得（2，200）;由t=5，

    思路分析 根据题意，两车距离y是乙车行驶的时间的函数，

    先关注特征点，读出相关信息，（0，80）→乙出发时，甲乙相距80?km;

    （2，0）→2小时后，乙车追上甲，说明乙速度比甲大，且甲乙速度差40?km/h?;

    （6，m）→乙出发6小时到达B，此时甲乙间距离最大;H点→乙在B停留1?h后原路返回;

    解题过程 法一 情景再现，画出有关线段图（图8），结合直线“k”的值和运动求解析式，并配合两变量中一个变量值已知，可快速求出图8

    第一段线段“k”值为-?40，则V乙-V甲=802=40?km/h，由V甲=80?km/h，得V乙=80+40=120?km/h，第二条线段“k”值为120-80=?40，解析式为y=?40（x-2）=?40x-80，令x=6，得y=160，即m=160?km;

    第三段线段“k?”值为-80，甲乙间距离可看成甲离开B的距离（乙已经达到B），故解析式为y=6×120-80（x+1）=-80x+640，令x=7，则y=8，故H（7，80）;

    第四段两人相向而行，“?k”值为-（80+120）=?-200，直线解析式为，y=80-200（x-7）令y=0，则x=7.4，故n=7.4综上，选B

    法二 通过线段图8，从纯直线运动角度看：

    →乙出发时甲乙相距80?km，则说明乙每小时比甲快40?km，则乙的速度为120?km/h，①正确;

    →由（6，m）知乙从相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40?km，则甲乙距离4×40=160?km，则m=160，故②正确;

    →当乙在B休息1?h时，甲前进80?km，故y=160-80=80?km，H点坐标为（7，80），故③正确;

    →乙返回时，甲乙相距80?km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，故④错误

    解后反思 本题同样是y—x?图象，画线段图，再现情景，理清运动关系，利用“k”值，快速求出乙速和相关解析式，由于本题只求m和n等值，通过快速求出解析式，结合已知一个变量的值，同样可以求出另一个变量，法一简洁易懂;法二则纯属直线运动型问题，变成一个算术题，但对于不同函数图象和相应线段图的無缝对接，在理解和认识上是难点和关键，往往学生不易理解，法一简洁明了，易于掌握.

    2 对教学的建议和思考

    一次函数解析式为y=kx+b，它的图象是一条直线;在“直线型”行程问题中，y—t或s—t图象是直线的一部分，或者是几条线段连接构成的折线段，故这类图象基本是几个一次函图象的拼接.求一次函数解析式、求点坐标或描述特征点含义、求速度等等，这类题目在近几年中考中经常出现，成为命题热点，教学时引导学生理解并掌握以下几点很重要.

    2.1 深刻理解解析式中参数“k”的本质意义

    一次函数中的参数k=函数值y的增量自变量x的增量，由此可知?“参数k”在“直线型”运动问题s—t图象中，︱k︱就是速度值或速度和（差）;不同情境，k值含义不同.深刻理解并准确应用k的含义，即可高效解题，可谓是高颜值参数.

    2.2? 抓住图象中的特征点（或转折点），揭示运动对象所处关键位置

    “直线型”行程问题的图象由于出现了特征点，故它的上一个运动情景与下一个运动情景发生了变化——或时间先后变化或运动方向变化或速度大小变化等，要牢牢抓住这把?“金钥匙”，读出有效信息，结合线段图抓住图象和运动情景的对应关系，揭示运动情景中关键点的内涵.

    2.3 画好线段图，再现运动情景，弄清运动过程，找出解题思路

    “直线型”行程问题运动情景较复杂，光空想易发生偏差，通过线段图作为载体，画出各种运动情况，逐段分析各种情景很关键，可以理清解题思路.一般可以标出出发点、对应速度、运动时间或相应路程等，发挥直观想象能力，从而找到数量关系;在求相应解析式时，不能仅考虑待定系数法，更要结合运动观点（线段图）和“k”值，一般解析式都能快速求出.