数学教学的第二要务：精心设计教学方案

    李树臣

    

    

    

    [摘要]课时教学方案的设计是课堂教学前的一项重要工作，设计课时教学方案要认真研读《课标（2011年版）》和教材中本节课的具体內容，正确把握本节教材的编写意图，确定恰当的教学目标，精心设计宏观的教学方案，教学方案要注重学生活动的设计，通过问题引导学生在经历系列数学活动的过程中探究并发现结论，在突出知识之间实质联系的基础上把握知识，

    [关键词]研读教材，把握意图，动手操作，探索发现

    我们在本刊2019年第6期上发表了一篇文章，题目是《数学教学的第一要务：认真研读教材》，该文指出，研读教材，设计教学方案，实施课堂教学是三个基本问题，研读教材是数学教学的第一要务，研读数学教材应分三个环节，其中第三个环节就是反复阅读。精心推敲每一节（请注意：不一定是一课时的）教材，这个研读过程是数学教学的第二个要务——制定课时教学方案的基础，

    笔者在该文的基础上，针对数学教学的第二个基本问题，谈谈我们的一些思考，

    要制定出体现《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）基本理念，具有较高导学价值的课时教学方案，教师应做好三个工作：

    （1）反复研读课时内容所在一节课的教材，把握本节教材的主要内容，制定出本节课的教学目标，确定出教学重点和难点：

    （2）反复研读本课时的教材，把握课时教材的编写意图，制定课时教学目标，确定出教学重点和难点：

    （3）设计出切实可行的教学方案，

    如果一节课只含有一个课时，那么就只有两个环节，（1）（2）合为一个环节，

    下面我们以青岛版教材九（上）1.2节“怎样判定三角形相似”第一课时为例，谈谈课时方案设计的三个环节，目的是指导年轻教师怎样设计课时教学方案，

    1 通过研读，整体把握

    制定课时教学方案的第一个环节就是要研读包含本课时的整节教材，通过研读教材，粗略掌握一节课的主要内容，确定出一节课的教学目标、教学重点，明确所要学习的课时内容在本节课中的作用，

    通过研读“怎样判定三角形相似”这节课，我们的对本节课的整体感知如下：

    1.1 本节课的主要内容

    平面图形的相似是《课标（2011年版）》界定的“图形与几何”中的重要内容，青岛版教材把这部分内容安排在九（上）作为第l章，“怎样判定三角形相似”是本章的第2节内容，设计为5课时，

    第1课时，教科书通过“实验与探究”提出了6个问题，在学生探究这些问题的过程中，发现、归纳出《课标（2011年版）》中的基本事实9及其推论，

    在第2课时。教科书利用“实验与探究”提出了4个问题，让学生围绕这些问题进行思考、探究等活动，在活动的过程中，明确什么是相似三角形;通过类比能找出相似三角形与全等三角形的关系以及差异：类比判定三角形全等的方法，寻找判定两个三角形相似的条件：探究发现并能证明相似三角形的判定定理1.

    在第3课时，教科书类比三角形全等的判定方法“SAS”，首先保留“夾角相等”的条件，把“夹这个角的两边相等”改为“夹这个角的两边成比例”，猜想得到这样的两个三角形是相似的：然后引导学生进行画图和观察，验证这一猜想;最后启发学生运用证明相似三角形判定定理l的经验和思路，探索能否再将△A'B'C'搬到△ABC上进行证明的可行性，根据这个思路，给出了证明，

    在第4课时中，教科书再由判定三角形全等方法的“SSS”提出弱化条件的设想，把“三边相等”改为“三边成比例”，探索两个三角形是否相似，教科书仍然采用让学生通过画图、观察，利用几何直观加以验证，然后借助证明判定定理l，2的经验，将△A'B'C'搬到△ABC上的思路进行证明，

    第5课时，教科书设计了两个应用相似三角形进行测量的实际问题，例4和“挑战自我”这两个问题的意义不仅仅是为了计算，而题目本身给出的就是可操作、且实用的测量方法，通过解决这两个问题，学生能进一步加深对“数学来源于生活，又服务于生活”的认识，

    在第5课时，教科书用“史海漫游”栏目给出了一个阅读材料，题目是“陈子测日”，内容选自我国古代数学典籍《周髀算经》，对于该书中给出的日高公式，让学生运用本节中所学的相似三角形对应边成比例的知识给出合理的解释，帮助学生了解我国古代的数学发展，了解人类为构建数学大厦而付出的创造性劳动，使学生感受到数学的科学价值和人文价值，提高他们的科学文化素养，培养爱国主义精神，

    从上面的分析可以看出，基本事实9反映了平行线的又一个重要性质，基本事实9及其推论是相似三角形判定定理的依据：推导某些线段成比例关系或利用这种关系进行计算，以及建立位似图形概念时也要依赖基本事实及其推论，

    1.2本节课的教学目标

    （1）探索并掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例：掌握基本事实的推论。

    （2）探索两个三角形相似的三个判定定理，了解相似三角形三个判定定理的证明，

    （3）在经历探索基本事实9、相似三角形三个判定定理以及对三个判定定理证明的过程中，进一步感受几何研究的方法，体会几何证明的“威力”，发展合情推理和演绎推理能力，

    1.3 本节课的教学重点、难点

    教学重点：基本事实9和相似三角形的判定定理。

    教学难点：基本事实9及其推论的探索：相似三角形判定定理的证明，

    教学关键：把握本节课知识重点和难点，基本事实9及其推论实际上是平行线性质的深化，在从研究两条平行线被第三条直线所截时所截得的角之间的数量关系，过渡到研究两条直线被一组平行线截得的对应线段之间成比例的关系时，无论从知识本身、认识水平还是思维习惯上看，跨度都比较大，

    基于此，教学中要注重直观操作，引导学生探索、交流、合作、发现有关的结论，在探究及证明三个判定定理时，采用类比三角形全等判定定理条件的方法，从“变换”条件出发，采取通过“画图一观察一猜想”得到结论，根据基本事实9或推论进行证明的基本模式。

    2 反复研读，精准掌握

    2.1 教材内容

    为方便读者研读教材，我们先给出本节课第一课时教材的内容：

    教材一开始就用“实验与探究”栏目提出了下面的问题：

    （1）如图l，直线l1，l2被平行直线l3，l4所截，交点分别为A，B，D，C，过线段AB的中点E，作直线l5//l6，交l2，于点F，F是线段DC的中点吗？如果是，证明你的结论，

    上面的结论还可以说成：直线l1，l2被三条平行直线l3，l4，l5所截，如果在l1上截得的两条线段的比等于1：1.那么在l2上截得的两条线段的比也等于1：1.也就是說这时截得的四条线段成比例，

    （2）在图l中，如果再取AE的中点P，过点P作直线l6//l3交l2于点Q（图2①），此时对应线段AP，PB，DQ，QC成比例吗？为什么？如果取朋的中点P1，过点P1作直线l7//l2，，交Jl2于点Q1（图2②），你发现l1，l2被平行线l3，l7，l4截得的对应线段AP1，P1B，DQ1，Q1C成比例吗（图2②）？

    2.2教材的设计意图

    《课标（2011年版）》界定的基本事实9揭示了两条直线被一组平行线所截时，截得的对应线段之间的数学关系（两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例），教材针对这个事实从最简单、最特殊的情形，即平行线等分线段的情况出发，采用逐步将结论进行推广的方式引入的，引导学生通过思考、推理、探索、猜测等活动，归纳出基本事实9.

    这是一个由特殊到一般、由简单到复杂的认识过程，目的是让学生积累数学活动的经验，经历数学知识的形成和发展过程，体会几何研究的一般方法，这种编写意图具体体现在以下三点：

    将以上两个结论加以概括，得到基本事实9的推论，需要注意的是，在推论的叙述中是截得的三角形的三边对应成比例，而不是对应线段成比例，避免与基本事实9的结论相混淆，这个推论是判定三角形相似的理论基础，

    2.3课时教学目标

    （1）探索并掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例：掌握基本事实的推论。

    （2）在经历探究基本事实9的过程中，积累探究活动的经验，

    （3）通过基本事实9的探索，进一步感受几何研究的方法，体会几何证明的威力，发展合情推理和演绎推理能力，

    对于这些安排，教师只有深入钻研《课标（2011年版）》和教材，才能对教材进行科学、合理、适度、确切地挖掘，从而才能达到准确定位学习目标，合理选择学习素材，引导学生开展有效的学习活动，实现获取数学基础知识、感悟数学基本思想的课标目标。

    3 精心推敲，宏观设计

    《课标（2011年版）》在“教学建议”中指出，数学教学应“从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力”，这是指导我们进行教学的“宏观原则”，下面根据这个原则，给出本课时教学方案的基本要点：

    3.1 动手操作。提出问题

    引导学生画出当一条直线l1被一组平行直线l3，l4，l5所截时的图形（图6），认真观察并思考下面问题：

    （1）根据已经学过的平行线的性质，可以得到哪些结论？

    （2）如果在图6中添加直线l2，有几种不同的添加方式？

    （3）观察截得的线段，猜猜他们之间有什么关系？相互交流，

    设计意图为了引出本节课的课题“探索两条直线被一组平行线所截时，截得线段之间的数量关系”，我们设计了这个问题，目的是引导学生画出符合要求的图形，对于第（1）个问题，学生利用平行线的性质很容易给出解答，对于问题（2）学生可能会画出多种图形，通过相互交流，教师引导学生从众多情况中，抽象、归纳出图7中的四类：

    进一步引导学生观察图7中（2）（3）（4）三类情况下截得线段的长度，鼓励学生猜测它们之间的数量关系。从而引出课题。

    3.2 自主探索。发现结论

    教师出示教材中图6（暂时不要画出辅助线），引导学生由简单到复杂的进行探索：

    （1）当直线l1，l2被平行直线l3，l4，l5所截，如果三条平行线截l1得到的两条线段相等，那么l2被这组平行直线截得的两条线段之间有怎样的数量关系？

    ①针对教材中的图l，写出证明DF=FC的过程。

    ②引导学生把上面的结论进行第一次推广：截

    3.4 归纳升华。突出联系

    你能根据图7中（2）（3）（4）中的图形抽象出图8所示的三个基本图形吗？

    设计意图为了让学生能回过头来对一上课提出的课题进行呼应探索，利用图7概括出它所对应的三个基本图形，使学生对它的认识、理解上升到一个新的境界，特别是图8中的后两个图形（可依次称为“A型”“X型”基本图形）的引出，更是完善了推论：平行于三角形一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例，

    这样导学设计能使学生从本质上掌握平行于三角形一边的直线不仅截其他两边可得成比例线段，而且截其他两边的延长线也同样有成比例线段，这为后面将要学习的“相似三角形的判定定理”打下良好的基础，

    总之，教学设计采用了层层设问、设疑，以问题解决为主线，启发诱导叙述，让他们在探索的过程中，亲身经历了对一个重要基本事实的发现过程，有利于培养学生的观察、猜想、分析、探索、创新等能力，这种导学设计的价值主要在于：

    （1）有利于激发学生的学习兴趣;

    （2）突出了学生的探索发现过程;

    （3）充分尊重了学生的主体地位;

    （4）突出了学生对数学思想方法的感悟过程;

    （5）对学生进行了事物是相互联系、运动变化的教育。