从一道高考题的探究看高三数学复习策略
朱永厂++钱军先
1问题提出
图1高三数学一轮复习课上，笔者向学生展示了2017年高考数学江苏卷第12题：“如图1，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB（m，n∈R）， 则m+n=.”
这是一道以平面向量基本定理为背景，以向量分解和向量加法的法则为工具，以化归思想、函数与方程思想、数形结合思想为依托的既源于课本又高于课本的试题，本题的立意深、入口宽、方法广，具有较高的研究价值.本文旨在通过学生对问题解法的探究、理解和感悟来探寻高三数学高效课堂之道，以期抛砖引玉.
2解法探究
对问题解法进行多角度的探究，运用一题多解的方法，能够有效地帮助学生自主构建平面向量的认知网络，获得解决问题的一般方法，找到向量与其他知识的内在联系，揭示出问题的本质，比较出各种不同解法的优劣，将数与形完美地结合，使一个陌生的、复杂的问题转化成熟悉的、易于解决的问题来处理，从而有效地训练学生的思维品质，提高学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的数学核心素养.
图22.1从形的视角入手
课堂上，第一学习小组首先从形的角度进行了探究，借助向量加法的三角形法则和解三角形中的正弦定理，获得了常规解法，由组长学生1展示.
解法1如图2，过点C作直线OA的平行线交OB的延长线于D，则有OC=OD+DC，由tanα=7得sinα=7210，cosα=210，
在△OCD中，有sinD=sinπ4+α=sinπ4cosα+cosπ4sinα=22·210+22·7210=45，
由正弦定理，得OD7210=CD22=245，解得CD=54，OD=74，再由DC=mOA，OD=nOB得m=54，n=74.所以m+n=3.
這时，第二小组的学生2也站了起来说，上面的方法是利用平面向量基本定理将向量OC分解到向量OA，OB方向上来的，解法很好，但若换个视角将向量OA，OB进行分解，解法将更为优美.
图3解法2如图3，分别将向量OA，OB分解到平行和垂直于OC的方向上来，再由OC=mOA+nOB，可得mcosα+ncos45°=2，
msinα-nsin45°=0，
因为sinα=7210，cosα=210，
所以210m+22n=2，
7210m-22n=0，即m+5n=10，
7m-5n=0，
解得m=54，n=74，所以m+n=3.
此时，先是鸦雀无声，后是掌声一片！
2.2从数的角度挖掘
稍倾，第三学习小组又提出了不同的见解，小组代表同学3激动地说，问题中既有向量的模又有向量的夹角，这与向量的数量积有联系，正是向量数量积的体现啊！若从向量数量积的角度去挖掘，则会出现“柳暗花明又一村”的喜人景象.
解法3由OC=mOA+nOB，得
mOA=OC-nOB，
nOB=OC-mOA，
对方程组中的方程两边分别平方得
m2OA2=OC2+n2OB2-2nOBOCcosπ4，
n2OB2=OC2+m2OA2-2mOAOCcosα，再由OA=1，OB=1，OC=2和cosα=210得m2=2+n2-2n，
n2=2+m2-25m，解得m=54，n=74，
所以m+n=3.
同是第三小组的同学4也站了起来说，告诉大家一个好消息，我们组还从结论“若向量OA，OB不共线，且OP=xOA+yOB，则x+y=1的充要条件为A，B，P三点共线（苏教版必修④P73第15题） ”入手，得出了这道试题的另一种解法.
图4解法4如图4，连结AB交OC于D，由tanα=7可得sinα=7210，cosα=210，
所以 cos∠AOB=cosπ4+α=cosπ4cosα-sinπ4sinα=-35，
在△OAB中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB=165，即AB=45，
于是又cosB=25，sinB=15，所以sin∠ODB=sinπ4+B=31010.
由正弦定理得OD15=131010，解得OD=23，
故OC=3OD.所以，由上述结论得m+n=3.
此时，教室里响起了一片热烈的掌声！
2.3从数与形的角度升华
紧接着，第四学习小组的同学显得有点急不可耐了，学生5代表大家阐述了观点，基于向量兼具数与形的双重特征，我们如果建立平面直角坐标系就能将数与形完美结合起来.
图5解法5如图5，以O为坐标原点，OA为x轴建立平面直角坐标系，因为sinα=7210，cosα=210，sinπ4+α=45，
所以有 OA=1，0，OB=cosα+π4，
sinα+π4=-35，45，
OC=2cosα，2sinα=15，75，又OC=mOA+nOB，所以可得m-35n=15，
45n=75，解得m=54，n=74，所以m+n=3.
第五学习小组的同学6代表他们组给出了更为巧妙的建系方法，获得了较小运算量的精彩解法.
解法6以O为坐标原点，OC为x轴建立平面直角坐标系，于是有OA=cos-α，sin-α，OB=cosπ4，sinπ4，OC=2，0，
再由sinα=7210，cosα=210和OC=mOA+nOB，得mcosα+ncos45°=2，
-msinα+nsin45°=0，即m+5n=10，
7m-5n=0，
解得m=54，n=74，所以m+n=3.
最后，学习委员进行了概括与总结：本题并不是一道多么繁、难的问题，解决起来也没有太大的困难，问题突破的关键在于能否通过对本题的探究，将平面向量、解三角形以及解析法等知识和方法有机地串联起来，能否通过不同的解法比较出各解法的优劣，能否通过探究概括出可以推广的东西，能否在解决问题中优化我们学习者的思维.
不知不觉中，下课铃响了，但雷鸣般的掌声经久不息！
3教学思考
课堂上，笔者引导学生从多角度、深层次对高考题进行了探究，不仅深化了对平面向量的加法法则、平面向量基本定理、向量数量积、向量的坐标运算、三角形中的正、余弦定理等核心概念的理解，还将它们的本质和内涵进行了有机整合和联系，将数学中的符号语言和图形语言进行了巧妙的结合和转化.虽然本节课只是解决了一道题，但是从问题的典型性、探究的科学性、引导的合理性来看却是解决了一类题甚至是几类题，收到了较好的效果.在高三复习课的例题教学中，如果我们能在引导学生从不同角度探究问题的解法的同时，帮助学生比较不同解法的优劣、总结适用的范围、探索可推广的条件，在变式拓展中完善学生的认知结构，深化学生对所学知识、思想和方法的认识和理解，提高学生分析问题、解决问题的能力，提升学生的数学素养，则更加完美.基于此，笔者对高三的数学复习有如下思考：
3.1回归课本，重在构建和完善认知网络
高三数学复习过程中，要立足课本，结合具体问题，重新全面地梳理课本中的概念、定理、公式等知识和方法，系统地建构知识结构和网络，要引导学生揭示其内在的联系与规律，从中提炼出数学思想方法.课本中的许多重要的例题和习题都是高考试题的原型，它们蕴含了重要数学理论的本质属性，蕴含着数学中重要的数学思想方法，对这类数学问题，要充分运用变式教学，通过类比、延伸、迁移和拓展，提出新的问题并加以解决，努力使学生做到触类旁通、举一反三，有效地培养学生的数学思维和提高数学素质.
3.2精选例题，重在突出典型性和示范性
问题是数学的心脏，如何选题很重要.在高三数学复习过程中，大多数教师仍然喜欢选一些技巧性强的难题，以为这样学生的水平就能提高，学生在高考中就能得心应手，就能体现出教师水平的高超.其实恰恰相反，这样的课堂往往是低效的，甚至是无效的乃至负效的.实际上，例题的选择应具有典型性、思维性和示范性，例题的立意要深、入口要宽、方法要广、研究性要强，只有这样的问题才有利于教师从不同的角度去引导学生进行探究；才有利于学生进行解题的总结与归纳、回顾与反思；才有利于学生提炼并概括出基本思想与基本方法；才有利于学生在解法的比较和思辨中解决“会而不对，对而不全，全而不美”的现象；才有利于学生在高考中超越自我、创造辉煌.
3.3解题教学，重在研究解题方向和策略
数学教学是数学思维活动的教学.数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量，解题教学要重在研究解题的方向和策略.教师对问题的讲解要到位，要重视知识的形成过程，不能孤立地就题论题，要讲相关知识点之间的联系，要讲老师是如何想到的？为什么这样想？条件与目标之间应该如何转化？要把教师之前不成熟的想法、错误的想法和调整后的想法展现给学生，要多讲通性通法，少讲或不讲不具有推广性的技巧.要注意充分挖掘典型题的教育功能，教学生学会思考，学会对典型问题进行变式、拓展、推广和反思.
学之道在于“悟”，教之道在于“度”.课堂教学是教与学的双边活动，学的真谛在于悟，悟是獨立思考，是自主构建，是高效的学习方法；教的秘诀在于度，度就是恰到好处，就是能在恰当的时间和结点给予启发，是高效课堂的重要保证. 学的悲哀是依赖，教的悲哀是替代，这种不争的依赖和替代现象在基础年级有，在毕业年级也存在.所以，在高三数学复习中，只有教会学生探究和思考问题的方法，才能真正摆脱模仿，走出题海，走向创新.
作者简介朱永厂（1977—），男，江苏泗洪人，中学高级教师，研究方向为课堂教学与课程改革研究.省优秀青年教师，学科带头人，已在《数学通报》、《数学教学》、《中学数学杂志》等期刊上发表论文一百多篇，参编教材两本，编写专著一本，主编教辅用书10余部等.
1问题提出
图1高三数学一轮复习课上，笔者向学生展示了2017年高考数学江苏卷第12题：“如图1，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB（m，n∈R）， 则m+n=.”
这是一道以平面向量基本定理为背景，以向量分解和向量加法的法则为工具，以化归思想、函数与方程思想、数形结合思想为依托的既源于课本又高于课本的试题，本题的立意深、入口宽、方法广，具有较高的研究价值.本文旨在通过学生对问题解法的探究、理解和感悟来探寻高三数学高效课堂之道，以期抛砖引玉.
2解法探究
对问题解法进行多角度的探究，运用一题多解的方法，能够有效地帮助学生自主构建平面向量的认知网络，获得解决问题的一般方法，找到向量与其他知识的内在联系，揭示出问题的本质，比较出各种不同解法的优劣，将数与形完美地结合，使一个陌生的、复杂的问题转化成熟悉的、易于解决的问题来处理，从而有效地训练学生的思维品质，提高学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的数学核心素养.
图22.1从形的视角入手
课堂上，第一学习小组首先从形的角度进行了探究，借助向量加法的三角形法则和解三角形中的正弦定理，获得了常规解法，由组长学生1展示.
解法1如图2，过点C作直线OA的平行线交OB的延长线于D，则有OC=OD+DC，由tanα=7得sinα=7210，cosα=210，
在△OCD中，有sinD=sinπ4+α=sinπ4cosα+cosπ4sinα=22·210+22·7210=45，
由正弦定理，得OD7210=CD22=245，解得CD=54，OD=74，再由DC=mOA，OD=nOB得m=54，n=74.所以m+n=3.
這时，第二小组的学生2也站了起来说，上面的方法是利用平面向量基本定理将向量OC分解到向量OA，OB方向上来的，解法很好，但若换个视角将向量OA，OB进行分解，解法将更为优美.
图3解法2如图3，分别将向量OA，OB分解到平行和垂直于OC的方向上来，再由OC=mOA+nOB，可得mcosα+ncos45°=2，
msinα-nsin45°=0，
因为sinα=7210，cosα=210，
所以210m+22n=2，
7210m-22n=0，即m+5n=10，
7m-5n=0，
解得m=54，n=74，所以m+n=3.
此时，先是鸦雀无声，后是掌声一片！
2.2从数的角度挖掘
稍倾，第三学习小组又提出了不同的见解，小组代表同学3激动地说，问题中既有向量的模又有向量的夹角，这与向量的数量积有联系，正是向量数量积的体现啊！若从向量数量积的角度去挖掘，则会出现“柳暗花明又一村”的喜人景象.
解法3由OC=mOA+nOB，得
mOA=OC-nOB，
nOB=OC-mOA，
对方程组中的方程两边分别平方得
m2OA2=OC2+n2OB2-2nOBOCcosπ4，
n2OB2=OC2+m2OA2-2mOAOCcosα，再由OA=1，OB=1，OC=2和cosα=210得m2=2+n2-2n，
n2=2+m2-25m，解得m=54，n=74，
所以m+n=3.
同是第三小组的同学4也站了起来说，告诉大家一个好消息，我们组还从结论“若向量OA，OB不共线，且OP=xOA+yOB，则x+y=1的充要条件为A，B，P三点共线（苏教版必修④P73第15题） ”入手，得出了这道试题的另一种解法.
图4解法4如图4，连结AB交OC于D，由tanα=7可得sinα=7210，cosα=210，
所以 cos∠AOB=cosπ4+α=cosπ4cosα-sinπ4sinα=-35，
在△OAB中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB=165，即AB=45，
于是又cosB=25，sinB=15，所以sin∠ODB=sinπ4+B=31010.
由正弦定理得OD15=131010，解得OD=23，
故OC=3OD.所以，由上述结论得m+n=3.
此时，教室里响起了一片热烈的掌声！
2.3从数与形的角度升华
紧接着，第四学习小组的同学显得有点急不可耐了，学生5代表大家阐述了观点，基于向量兼具数与形的双重特征，我们如果建立平面直角坐标系就能将数与形完美结合起来.
图5解法5如图5，以O为坐标原点，OA为x轴建立平面直角坐标系，因为sinα=7210，cosα=210，sinπ4+α=45，
所以有 OA=1，0，OB=cosα+π4，
sinα+π4=-35，45，
OC=2cosα，2sinα=15，75，又OC=mOA+nOB，所以可得m-35n=15，
45n=75，解得m=54，n=74，所以m+n=3.
第五学习小组的同学6代表他们组给出了更为巧妙的建系方法，获得了较小运算量的精彩解法.
解法6以O为坐标原点，OC为x轴建立平面直角坐标系，于是有OA=cos-α，sin-α，OB=cosπ4，sinπ4，OC=2，0，
再由sinα=7210，cosα=210和OC=mOA+nOB，得mcosα+ncos45°=2，
-msinα+nsin45°=0，即m+5n=10，
7m-5n=0，
解得m=54，n=74，所以m+n=3.
最后，学习委员进行了概括与总结：本题并不是一道多么繁、难的问题，解决起来也没有太大的困难，问题突破的关键在于能否通过对本题的探究，将平面向量、解三角形以及解析法等知识和方法有机地串联起来，能否通过不同的解法比较出各解法的优劣，能否通过探究概括出可以推广的东西，能否在解决问题中优化我们学习者的思维.
不知不觉中，下课铃响了，但雷鸣般的掌声经久不息！
3教学思考
课堂上，笔者引导学生从多角度、深层次对高考题进行了探究，不仅深化了对平面向量的加法法则、平面向量基本定理、向量数量积、向量的坐标运算、三角形中的正、余弦定理等核心概念的理解，还将它们的本质和内涵进行了有机整合和联系，将数学中的符号语言和图形语言进行了巧妙的结合和转化.虽然本节课只是解决了一道题，但是从问题的典型性、探究的科学性、引导的合理性来看却是解决了一类题甚至是几类题，收到了较好的效果.在高三复习课的例题教学中，如果我们能在引导学生从不同角度探究问题的解法的同时，帮助学生比较不同解法的优劣、总结适用的范围、探索可推广的条件，在变式拓展中完善学生的认知结构，深化学生对所学知识、思想和方法的认识和理解，提高学生分析问题、解决问题的能力，提升学生的数学素养，则更加完美.基于此，笔者对高三的数学复习有如下思考：
3.1回归课本，重在构建和完善认知网络
高三数学复习过程中，要立足课本，结合具体问题，重新全面地梳理课本中的概念、定理、公式等知识和方法，系统地建构知识结构和网络，要引导学生揭示其内在的联系与规律，从中提炼出数学思想方法.课本中的许多重要的例题和习题都是高考试题的原型，它们蕴含了重要数学理论的本质属性，蕴含着数学中重要的数学思想方法，对这类数学问题，要充分运用变式教学，通过类比、延伸、迁移和拓展，提出新的问题并加以解决，努力使学生做到触类旁通、举一反三，有效地培养学生的数学思维和提高数学素质.
3.2精选例题，重在突出典型性和示范性
问题是数学的心脏，如何选题很重要.在高三数学复习过程中，大多数教师仍然喜欢选一些技巧性强的难题，以为这样学生的水平就能提高，学生在高考中就能得心应手，就能体现出教师水平的高超.其实恰恰相反，这样的课堂往往是低效的，甚至是无效的乃至负效的.实际上，例题的选择应具有典型性、思维性和示范性，例题的立意要深、入口要宽、方法要广、研究性要强，只有这样的问题才有利于教师从不同的角度去引导学生进行探究；才有利于学生进行解题的总结与归纳、回顾与反思；才有利于学生提炼并概括出基本思想与基本方法；才有利于学生在解法的比较和思辨中解决“会而不对，对而不全，全而不美”的现象；才有利于学生在高考中超越自我、创造辉煌.
3.3解题教学，重在研究解题方向和策略
数学教学是数学思维活动的教学.数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量，解题教学要重在研究解题的方向和策略.教师对问题的讲解要到位，要重视知识的形成过程，不能孤立地就题论题，要讲相关知识点之间的联系，要讲老师是如何想到的？为什么这样想？条件与目标之间应该如何转化？要把教师之前不成熟的想法、错误的想法和调整后的想法展现给学生，要多讲通性通法，少讲或不讲不具有推广性的技巧.要注意充分挖掘典型题的教育功能，教学生学会思考，学会对典型问题进行变式、拓展、推广和反思.
学之道在于“悟”，教之道在于“度”.课堂教学是教与学的双边活动，学的真谛在于悟，悟是獨立思考，是自主构建，是高效的学习方法；教的秘诀在于度，度就是恰到好处，就是能在恰当的时间和结点给予启发，是高效课堂的重要保证. 学的悲哀是依赖，教的悲哀是替代，这种不争的依赖和替代现象在基础年级有，在毕业年级也存在.所以，在高三数学复习中，只有教会学生探究和思考问题的方法，才能真正摆脱模仿，走出题海，走向创新.
作者简介朱永厂（1977—），男，江苏泗洪人，中学高级教师，研究方向为课堂教学与课程改革研究.省优秀青年教师，学科带头人，已在《数学通报》、《数学教学》、《中学数学杂志》等期刊上发表论文一百多篇，参编教材两本，编写专著一本，主编教辅用书10余部等.
