介绍一道原创“数学文化”高考模拟题

2023.02.26

【摘要】2016年10月8日，教育部考试中心公布了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》（教试中心函〔2016〕179号）.关于数学科目修订的内容之一就是增加了对数学文化的要求.本文由电视剧《爱情最美丽》的主台词编拟了一道原创“数学文化”高考模拟题，涉及等比数列、近似计算、计数原理和数论知识，供读者欣赏.
【关键词】数学文化；等比数列；近似计算；电视剧《爱情最美丽》
题目电视剧《爱情最美丽》（张国立导演，北京国立常升影视文化传播有限公司，2013年）主台词（见第6集）：你听说过吗？前世五百次的回眸，换来今世的一次擦肩而过；前世五百次的擦肩而过，换来今世的一次相遇；前世五百次的相遇，换来今世的一次相识；前世五百次的相识，换来今世的一次相知；前世五百次的相知，换来今世的一次相爱.如果你的爱情出现了，你们一定会从人群中，一眼找到彼此.不管中间隔了多少险阻，都一定会遇到.这，就叫做缘分！
由这段话还可得到一个首项和公比均为500、项数为5的等比数列an：
前世a1次的回眸，换来今世的一次擦肩而过；前世a2次的回眸，换来今世的一次相遇；前世a3次的回眸，换来今世的一次相识；前世a4次的回眸，换来今世的一次相知；前世a5次的回眸，换来今世的一次相爱.
请你回答以下问题：
（1）已知一年大约是365×24×3600=31536000（秒）.若回眸一次用时1秒，则换来今世的一次相爱，前世需用个（精确到1）十万年的时间来回眸；
（2）正整数a5的正约数个数是；
（3）若正整数a5的正约数和是A，则42047A+1是位数（其中[x]表示不超过实数x的最大整数）.（参考数据：lg2≈0.3010）
解可得a5=500·5004=210515，因而a5的全部正约数组成的集合是{2α5β|α=0，1，2，…，10；β=0，1，2，…，15}.
（1）换来今世的一次相爱，前世需用a5=5005=3.125×1013秒时间来回眸.因为
3.125×101331536000=3.125×10133.1536×107=31.253.1536×105
3.1536×9.5<3.2×9.5=30.4<31.25
9.5<31.253.1536<10.
从而可得所求答案是10.
（2）由分步计数乘法原理可得a5的正约数个数是（10+1）（15+1）=176.
（3）可得
A=（1+2+22+…+210）（1+5+52+…+515）=1-2111-2·1-5161-5=20174（516-1），
42047A+1=516，
可得42047A+1即516的位数是[16lg5]+1，也即17-[16lg2].
由lg2≈0.3010，可猜测4<16lg2<5，对其严格证明如下：
由4lg2=lg16>1，可得4<16lg2；由211=2048<3125=55，可得216<105，16lg2<5.
所以4<16lg2<5，17-[16lg2]=12.
因而42047A+1即516是12位数.
考查目标（1）阅读理解能力；（2）等比数列的通项公式及其求法；（3）用不等式的放缩法得出相应的近似计算估值；（4）用分步计数乘法原理解决相应的计数问题；（5）用相应的数论知识解题.
设计思路2016年10月8日，教育部考试中心公布了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》（教试中心函〔2016〕179号）.关于数学科目修订的内容之一就是增加了对数学文化的要求.本文由电视剧《爱情最美丽》的主台词编拟了一道原创“数学文化”高考模拟题，涉及等比数列、近似计算、计数原理和数论知识，供读者欣赏.
针对此题，笔者也谈一点当前的高考复习備考.最有效的教法是讲练结合，最有效的学法是“夯实基础、激发兴趣、着眼高考、适当提高”.学困生的学习方法必须要有一种锲而不舍的精神：听老师五百次的讲课，换来一次听懂；昨天五百次的听懂，换来今天的一次会做题；昨天五百次的会做题，换来今天的一次熟练解题；昨天五百次的熟练解题，换来今天的一次巧解；昨天五百次的巧解，换来今天的一次融会贯通；昨天五百次的融会贯通，换来今天的一次考取名校.努力吧，天道酬勤！
笔者根据电视剧《政协主席》片尾曲《心里装着谁》（作词：阎肃，作曲：孟庆云，演唱：佟铁鑫）的歌词改编成《心里装着什么》赠送给读者朋友：
师心里装着教法，生心里装着学习，在这拼搏奋进的时刻，想一想心里装着什么？
马心里装着千里，鹰心里装着高飞，在这潮奔浪涌的时代，问一问心里装着什么？
我们走过了千山万水，面对大野的芳菲，心里装着要用的知识啊，便心无旁骛地迎接每一个朝阳！
有些事，一生只能遇到一次，高三就是；有些事，一次影响一生，一个人的第一学历、第一次婚姻、第一份工作、与他人之间的第一印象等等都是.高三师生们，拼搏奋进吧，你定会成功的！
难度估计0.52
作者简介甘志国（1971—），湖北竹溪人，高级教师，特级教师，研究方向：解题研究、高考研究和初等数学研究.