折纸几何在日本

    杜丽媛 代钦

    【摘 要】 本文通过《Origamics：Mathematical Explorations through Paper Folding》一书中七个折纸专题的介绍，明晰了折纸中所蕴含的一些数学原理与结论，并呈现了日本九年级数学课堂上折纸教学实录，得出如下结论：折纸教学中教师的角色是启发者，启发学生提出问题、分析问题、得出结论、验证结论、结论的推广与一般化;折纸课堂可采取小组合作与个别指导相结合的教学组织形式，从而促使折纸作为辅助教学的有效手段发挥作用.

    【关键词】 折纸;几何;折纸教学

    1 《Origamics：Mathematical Explorations through Paper Folding》[1]的概述

    芳賀和夫，一位生物学专业教授，却在折纸方面成绩斐然.芳贺先生从于1984年开始在《数学セミナー》上发表连载文章，展示自己徒手制作的几何图形成果.其折纸著作数量丰硕，于1996年出版《基于折纸数理学的数学教学》专著，1999年出版的《折纸数理学1》，2005年出版的《折纸数理学2》，2008年出版的《折纸数理学》，2014年出版《用折纸欣赏几何图形》.纵观芳贺先生的折纸研究历程，不难发现，芳贺先生不仅注重折纸原理的探究，也提及了折纸在教学中的应用.曾在高中教授生物学科的芳贺和夫有着十年的教学经历，这使得它更加注重折纸的教育价值，在书中呈现了多个鲜活的折纸教学片段，以及一节完整的折纸数学课.

    被誉为“折纸手工的复兴者”的罗伯特·朗曾说过：“是什么让折纸又一次发扬光大？是数学Robert Lang.The Math and Magic of Origami，TED.”，数学赋予了折纸新的含义.折纸数理学折纸数理学又称折纸几何学，本文所说的折纸与几何在日本是指折纸几何学在日本的发展，以《Origamics：Mathematical Explorations through Paper Folding》一书为例.是折纸与数学的巧妙结合.《Origamics：Mathematical Explorations through Paper Folding》是对芳贺和夫所提出的折纸数理学的总结.1994年第二届折纸科技国际大会上提出了折纸数理学的概念，随后通过1999年出版的《折纸数理学1》和2005年出版的《折纸数理学2》阐明了折纸数理学的含义和内容，在2008年的《Origamics：Mathematical Explorations through Paper Folding》中丰富了折纸几何学的应用，增添了新的发现，扩充为十个章节.其特色为折纸原理与折纸教学并重，是一本为教师提供动手实践课的参考书.

    2 主题介绍

    折纸数理学中的折纸不同于普通的折纸，芳贺先生认为有如下三个原因：（1）一般的折纸是通过折叠完成，期间很少或者几乎没有将纸张展开，而折纸数理学中的折纸需要将每一步都展开观察折痕.（2）折纸数理学中最重要的就是折痕及折叠的过程，而不是折叠后的图形，这也是要求折痕必须清晰的原因.（3）折纸数理学中的折纸不像普通折纸折叠动物、玩具或者工艺品，它是一门从数学角度研究折纸艺术的学科.基于此，从中选择七个专题进行介绍.

    2.1 芳贺三定理

    1.芳贺第一定理

    如图1，将正方形的一个顶点C向上翻折到边AB的中点E上，与之重合.正方形的每一条边都被分成了固定的比值.

    （1）边BC上的BF∶FC=3∶5.

    （2）边AD上的AH∶HD=2∶1.

    （3）边AD上AI∶DI=7∶1.

    （4）边EG上EH∶HG=5∶1.

    2.芳贺第二定理

    如图2，E为正方形边AB上的中点，将点B向内翻折，产生一条过点E和点C的折痕，此时三角形EBC为直角三角形，将线段EF延长，与边AD交于点G，则G为边AD的三等分点.

    3.芳贺第三定理

    如图3，E为正方形边AB上的中点，将点C向内翻折，使得点C落在边AD上，并且折痕经过点E.此时，AD边上的线段AH∶DH=2∶1.

    4.推论

    芳贺定理的证明涉及到相似三角形和勾股定理，或者建立直角坐标系用解析几何的方法表示直线，求其坐标.芳贺定理的探究不仅限于正方形纸张，也可推广到长方形纸张中，在已知长方形长宽之比的情况下，分两种情况——横向的长方形和纵向的长方形——能够验证芳贺定理仍成立.

    2.2 X形折痕的研究

    如图4，设正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD的顶点C向上翻折到与之不相邻的一边AB上的任一点I，形成折痕GE，展开.再将顶点D翻折到点I上，形成折痕HF，展开，记折痕GE与 HF的交点为J，则有如下结论：

    （1）两折痕的交点J在线段DC的垂直平分线上.

    （2）两折痕的交点J在正方形ABCD的中心下方一定

    范围内，即交点到上边AB的距离大于12小于58.

    （3）交点到点I的距离与到顶点C和顶点D的距离相等，即点I为△ICD的外心.

    （4）边HG和边EF的长为固定值，与点I的位置无关.该定理的证明依赖于解析几何，在这里不作证明.但该定理仍可推广到长方形中，结论（1）至（3）仍成立，但结论（4）中边HG和边EF的长为固定值，而是依赖于长方形的长与宽.

    2.3 将纸张一顶点折起

    将正方形ABCD的一边向内任意翻折，但不要沿对角线对折，观察所形成的阴影部分图形，会形成三角形、四边形和五边形，关键决定于向上翻折的顶点最终落在哪个位置（过程如图5—图7），通过在15cm×15cm小格上的225次实验得出如图8所示的结论，当顶点落在正方形内部阴影区域时会形成三角形，落在正方形内部阴影区域外时会形成四边形;当顶点落在正方形外部三个圆形区域内时会形成五边形.并通过面积计算可知落在三角形区域的概率为6.89%，落在四边形区域的概率为37.93%，落在五边形区域的概率为55.18%.可知得到五边形的概率最大，但在实际操作过程中，人们很少能折出五边形.

    2.4 将纸张四个顶点折到内部一点

    如图9，点E为正方形ABCD中的任意一点，分别将四个顶点A、B、C、D折叠到点E，再展开纸张，观察折痕与没有被折叠过的边所形成的图形，当点E的位置变化时，分别能够得到四边形、五边形和六边形.通过与2.3（将纸张一顶点折起）相类似的方法，能够得到如下结论：如图10，当点E落在花瓣图形内时，形成六边形;当点落在正方形内花瓣图形之外时，形成五边形;当点落在正方形四个顶点及中心时，形成四边形.神奇之处在于当正方形变成长方形，会出现七边形.花瓣图形首次出现在1994年，芳贺先生在第二届折纸科技国际大会上展示出该结果，随后1995年的日本数学社会教育年会中仍有提到.

    2.5 子母线问题

    在正方形ABCD上任意折出一条折痕，将其定义为母线，然后依次将各条边或者各边的一部分折叠到母线上，展开纸张，得到的折痕记为子线，描出子线的交点，交点的个数从2个到7个不等，这取决于母线的位置.见图11所作的六个交点.

    子母线定理：在正方形纸张中折出任意一条母线EF，将所有的边折到该母线上，则子线的交点都在正方形的基础折线上，即正方形的对角线和对折线上.该定理的证明涉及到全等三角形、角平分线定理及三角形外切圆相关知识.

    子母线定理推论：将图11中的多个正方形平铺，若子线交点落在原正方形外，则必在其他相邻正方形的对角线和对折线上，如图12中的点M.

    2.6 主客游戏

    如图13，给正方形的四个顶点分别命名为H和A、B、C，代表主人和三位客人，由主人依次与三位客人会面，每次只见一位客人，其他人不得打扰（如H与A翻折到某一点重合，B、C不能同时翻折到此点），图13观察H翻折到不同位置时，能接见到记为客人，实验方法如2.3（将纸张一顶点折起），得出图13的结论，点H在不同的位置，能够与之重合的顶点的个数也不同.此问题与2.3（将纸张一顶点折起）有相似之处，都是通过观察翻折后的点的特征来确定原始点H的位置，在多次试验后画出“地图”.因此有了之前的铺垫，芳贺先生生动形象地将这个问题描述为了一个数学游戏——主客游戏，增加学生对于折纸的兴趣，促使学生主动动脑筋思考问题，实现手脑并用，促进思维与能力的发展.

    2.7 长方形的长与宽等分

    本章可以看做对芳贺定理的一系列推论，从正方形推广到长方形，从三等分到五等分、七等分、九等分、十一等分、十三等分、十五等分、十七等分，也可视为长方形的素数等分.基于素数等分，我们可以尝试合数的等分.

    3 日本课堂中的折纸活动

    芳贺先生认为：“折纸对于发现、验证数学原理很有帮助，也有助于满足学生对数学知识的渴求，希望读者能够好好利用本书去学习折纸几何学.”在课堂上开展折纸已成为日本教育的一大现状，日本教科书中有多处利用折纸进行几何教学的图片，如图14.

    在“探究将纸张一顶点折起”这一主题中，所授课程的对象是九年级学生，一方面九年级的学生已具备该课题所需的基本知识，如圆的性质、外心、内心、三角形外接圆以及二次方程，学生能够灵活运用.另一方面这个年龄阶段的学生的思维是以经验型为主的逻辑思维，开始向抽象型逻辑思维转变，但仍需借助直观的桥梁.但几何折纸教学不仅仅局限在九年级，在各个年龄阶段有着不尽相同的作用.

    【课例1】探究将纸张一顶点折起

    教师首先请同学们尝试将正反面不同的双色纸的一个顶点向内折起，折出一条折痕，并不断鼓励那些不知道该怎么做的学生.

    观察折起的图形是几边形.（有的学生是三角形，有的学生是四边形）

    统计学生的结果，将所有学生的成果展示，如图15，请第一次折出三角形的学生再折出一个四边形，第一次折出四边形的学生再折一个三角形.

    提示学生思考两者折法的不同之处，表明自己的观点：

    学生A：折叠后的图形中包含两条相邻的边就是三角形;折叠后的图形中包含两条相对的边就是四角形.

    学生B：折叠过程中仅有一个顶点在运动就是三角形，折叠过程中有两个顶点在运动就是四边形.

    学生C：折叠后图形决定于折纸的顶点所移动的顶点在正方形上的位置.

    学生D：折叠后阴影部分在正方形内部就是三角形，折叠后阴影部分在正方形内部就是四边形.

    学生E：若折痕大于正方形边长则形成三角形，若折痕小于正方形边长则形成四边形.

    教师请同学通过举反例等方式验证上述说法是否正确.在小组讨论的过程中，学生的关注不仅仅在于结论的对错，还考虑到了该结论的缺陷在哪里、应用该结论的条件是什么，每个人都有自己的收获.

    接下来提出下一个问题：顶点落在哪些不同的位置时，会形成三角形和四边形.通过在15cm×15cm小格上的225次实验得出不同的结论.

    在学生描绘边界线时，教师会将学生的不同边界线展示.学生讨论哪一种更合理，最终得出曲线的边界线.

    最后，教师总结实验的过程，并提出科学探究的一般方法如下：

    （1）发现问题：在实践过程中意识到一种特定的现象或问题.

    （2）分析问题：用自己的思想去理解问题.

    （3）解决问题：建立方案，收集数据资料.

    （4）验证方案：通过数据的论证，说明方案的可行性.

    （5）结论的变式与一般化：改变结论的条件，增加结论使用的范围.

    在这一节45到50分钟的数学折纸课堂上，教师的角色始终是启发者，通过不断的提问促使学生思考要做什么和为什么要这么做.学生则在动手操作中发现和提出问题、分析问题、得出结论、验证结论、结论的推广与一般化.课堂气氛始终是轻松愉悦的，因为教师不会给出固定的结论，每个学生的说法都可以当做自己要去探究的方向，避免了学生思维僵化，其发散性思维得到培养.

    课例中的折纸课采取了小组合作与个别指导相结合的教学组织形式.既让每一个学生参与其中，又能促进学生之间的交流合作，不失为课堂中的一种德育.折纸课程应尽量规避集体讲授，个别指导即成为一种理想化状态下的最佳选择，在个别指导的过程中，教师能够清晰地了解学生操作水平的问题，进行对应的指导;小组合作过程中，学生间的多种多样的折叠方法能够相互吸引.

    这也促使教师发现其中的问题：既然折出五边形的面积最大，进而被折叠出的概率最大，为何在课堂折纸过程中，折叠出最多的反而是三角形，这不仅仅是一个数学概率问题，也是一个心理学的研究方向.

    4 启示与思考

    折纸在中国教科书中的地位与日本相差不大，但现实教学中实施状况相距甚远.据统计中国2013年“人教版”教科书中共出现26处，日本启林馆平成24年出版的《数学》教科书中共有29处.大多集中于平面几何与立体几何，尤其是三角形的性质和四边形的性质.二者较为显著的不同之处在于理念的侧重不同，日本将折纸看做一种发现数学的手段，中国则将折纸视为体验知识的方式.因此，在我国实际教学过程中，纵使教科书中有折纸的内容，教师也选择以其他方式教授，如教师直接演示或者教师口述讲解，如何开展数学折纸课程成为一个值得思考的问题.

    数学教学中应避免折纸动手操作流于形式或仅仅只是一项动手操作活动.折纸只有能促使学生思考、探究其中的数学原理，才能成为辅助教学的手段，否则它只是一种活动形式.而对于教师在促进折纸课堂教学方面可提出如下建议：（1）通过发现和提出问题、分析问题、得出结论、验证结论、结论的推广与一般化五个环节，每个环节中学生独立思考，教师的职责在于提出适当的问题启发诱导.（2）小组合作与个别指导相结合的教学组织形式.既有个人能力的培养，又不乏师生间、生生间的取长补短.（3）融合相關知识，形成课题学习，在折纸过程中体验数学之美.

    参考文献

    [1]Kazuo Haga.Origamics Mathematical Explorations through Paper Folding[M].Singapore：

    World Scientific Publishing，2008：preface.