“简单的线性规划问题”的八步教学设计
崔静静 赵思林
【摘 要】 数学技能指学生在学习数学知识的过程中，通过训练完成数学学习任务的一种行动或心智行动方式.数学技能分为动作技能和心智技能.基于促进数学技能习得的相关理论，对简单的线性规划问题进行“八步”教学设计：“设”—“列”—“画”—“化”—“移”—“看”—“求”—“悟”，并说明各步的设计意图.这样设计有利于突出重点，突破难点.代数法、向量法也可作为一般方法解此类问题.
【关键词】 技能习得；线性规划；“八步”教学设计
2017年9月22日至24日，全国第二届全日制教育硕士学科教学（数学）专业教学技能大赛（决赛）在山东烟台鲁东大学举行，本次大赛共涉及高中数学的8个课题，“简单的线性规划问题”是其中一个，该课题选自人教社普通高中课程标准试验教科书数学5（必修）（A版）[1].笔者在赛后写下了“简单的线性规划问题”的教学设计.
1 数学技能的相关理论的简述
数学技能指学生在学习数学知识的过程中，通过训练完成数学学习任务的一种行动或心智行动方式.数学技能可分为动作技能和心智技能[2].
动作技能指数学活动中由一系列实际操作以合理、完善的程序构成的操作活动方式.它具有外显性、客观性、非简约性三个基本特点.
心智技能是指借助内部言语在大脑中按合理完善的方式自动地进行数学认知活动方式，它是经过后天的学习和训练而形成的.它具有以下特点：（1）心智技能的作用对象是抽象的数学概念、命题与表象；（2）心智技能的动作是借助内部言语在头脑内部完成的，其他人很难从外部观测到学习主体的变化情况；（3）简缩性，即动作成分可以省略、合并、简化；（4）有时需要借助动作技能加以完成；（5）依附于一定的数学概念、法则，建立在理解的基础之上；（6）可通过练习提高技能实施的速度与效率.
中小学课程中的数学基本技能包括：数值运算技能、符号操作技能、图形处理技能、数据分析技能、推理论证技能、数学交流技能等.
2 促进数学技能习得的教学设计
2.1 教材分析
2.1.1 教学内容分析
“簡单的线性规划问题”是人教社A版普通高中课程标准试验教科书数学5（必修）第三章《不等式》中第3节的第二个内容.该课题是在学习了不等式的性质和“二元一次不等式（组）与平面区域”之后的一个教学内容.因此，“简单的线性规划问题”可看成是“不等式的性质”和“二元一次不等式（组）与平面区域”的应用.显然，解决“简单的线性规划问题”也必需“直线的方程”等解析几何知识作基础.
2.1.2 教学目标分析
通过教学，能让学生从工厂产品的实际问题中建立起数学模型，在教师启发和引导下，学生能利用学过的知识和方法解决这个数学模型，并由此建构线性规划问题、目标函数、可行解、可行域、最优解等系列概念.掌握求解线性规划问题的最优解的方法和一般步骤.
2.1.3 教学问题诊断分析
线性规划问题的求解，需要学生具备一定的数学心智技能和动作技能才能完成.线性规划的教学，学生在最优解的求解过程中容易出现“似懂非懂”、“懂而不会”和“眼高手低”的情况.因此，教师可着眼于数学技能的相关理论及应用，而着手于“八步”教学设计即“设”—“列”—“画”—“化”—“移”—“看”—“求”—
“悟”.这既有利于学生外化于形的动作技能的练成，又有利于学生内化于心的心智技能的形成，从而，真正使学生的数学心智技能和动作技能得到有效训练，真正使学生经历求解线性规划最优解的一般步骤，并掌握其方法、体会其思想.
2.2 简单的线性规划问题的“八步”教学设计与简略说明
基于技能习得理论下简单线性规划问题的“八步”教学设计（或称“八环节”）的流程图，如图1.
2.2 简单的线性规划问题“八步”教学的实施建议与设计意图分析
依据促进数学技能习得的相关理论制定“八步”教学设计，提出了如下实施建议，并对每一步说明设计意图.
第一步：“设”
学生学习本节之前已经学习了一元二次不等式及其解法，能够根据题意列出二元一次不等式组并画出其表示的平面区域.
教学设计：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
问题1 若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
依据题意，将重要信息提取到表格中，如图1.
【设计意图】 “设”是指依据题意设出未知元，用字母代替数，变元x、y代替未知量甲、乙两种产品的生产量.把实际问题转化为线性规划模型，提高学生分析问题、解决问题的能力[3].用代数方法进行解决，培养了学生的符号操作技能.
第二步：“列”
由上，化简后列出二元一次不等式组、求利润的表达式.
2.求最大值的函数z=2x+3y叫做目标函数，且它是关于变量x、y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数.
3.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.
4.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.
5.使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解.
【设计意图】 考察学生根据实际需要合理的选择适当的工具和方法，列出并化简已知条件给定的二元一次不等式组，培养了学生的数值运算技能.这里对教材的安排作了略微的调整.先对概念进行解读，再探求最优解，符合学生的认知规律.
教学设计：让学生自己画出二元一次不等式组表示的平面区域，如图2，并结合图象解读以上概念，使学生加深对概念的理解.
【设计意图】 要求学生准确地画出上面二元一次不等式组表示的平面区域.作图是学习数学知识、解决数学问题的重要手段，有助于培养学生的图形处理技能.
第四步：“化”
将目标函数z=2x+3y画在平面区域上是探求最优解的突破口.
教学设计：教师引导学生把目标函数z=2x+3y变形为y=-23x+z3，这是斜率为-23，纵截距为z3的直线.
【设计意图】 数学抽象的最终结果是符号化，包括了符号演算能力、表达式的变形和等价转化能力、数形结合能力、图像符号能力等.引导学生化目标函数为直线方程的形式.要求学生熟练地进行字母式的演算和变形，将目标函数z=2x+3y变形为y=-23x+z3再加以討论，培养学生的符号操作技能.
第五步：“移”
当利润z从0开始变化时，可以得到一组互相平行的直线，如图3.
【设计意图】 平移直线方程y=-23x+z3，为下一步“看”建立了直观形象的思维支柱.
第六步：“看”
看直线y=-23x+z3与可行域有公共点时，在可行域内找一点M，使直线经过点M时纵截距z3最大.
教师借助几何画板演示直线y=-23x+z3在可行域内平移.
设计意图：“看”是指看直线方程与可行域的交点，意图培养学生的数据分析能力.
第七步：“求”
由上，可知当直线y=-23x+z3经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，纵截距z3最大.
此时利润最大值zmax=2×4+3×2=14.
设计意图：依据题意求纵截距的最大值或最小值.
第八步：“悟”
感悟线性规划问题中蕴含的思想方法，形成求解此类题型的一般方法.
【设计意图】 让学生对整个解决过程中蕴含的思想方法进行总结归纳，形成个人知识、思想方法，让其享受做数学的乐趣.
3 解决线性规划问题的其他两种方法
以上的教学设计是解决线性规划问题的常用几何法，下面再给出两种一般方法.
代数法
步骤一：将不等式变为方程，两两联立后求其解（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）.步骤二：将所有解带入目标函数，得到目标函数值z1，z2，…zn.步骤三：检验.即若z1为所求的最大值，则将（x1，y1）代到线性可行域的不等式验证，若全部符合，则z1为最值.
向量法
对于目标函数z=2x+3y，可构造a=（2，3），b=（x，y），则z=a·b.
因为a·b=a·b·cos，
所以z=22+32·b·cos=13·b·cos.
按照向量的几何意义，b·cos表示b在a上的投影，即当b在a上的投影最大值，z取最大值.由图3可知，当b=（4，2）时，z取最大值a·b=（2，3）·（4，2）=14.
4 结语
将简单线性规划问题的八步教学设计归结为几何法，其中每一步对学生应该掌握的技能都做了相应的要求，其中“画”、“移”等是动作技能，“设”、“化”等是心智技能.当然也不能孤立地看待某个过程为动作技能或心智技能，更多的是两者的结合，教学的目的也即是实现二者的完美结合，培养出对社会有价值的实用型人才.
参考文献
[1] 刘绍学，钱珮玲等. 普通高中课程标准实验教科书数学5（必修）（A版） [M]. 北京：人民教育出版社，2007：12.
[2] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.10：151.
[3] 耿永雪，张吉.简单的线性规划问题的教学思考[J].数学通讯，2002（3）：20.
作者简介
崔静静（1993—），女，四川省德昌县人，硕士研究生，系四川师范大学数学与软件科学学院、内江师范学院联合招收培养的研究生，主要从事数学教育研究；赵思林（1962—），男，四川省巴中市人，教授，硕士生导师，主要从事高考数学、数学教育等研究，系本文通讯作者.
【摘 要】 数学技能指学生在学习数学知识的过程中，通过训练完成数学学习任务的一种行动或心智行动方式.数学技能分为动作技能和心智技能.基于促进数学技能习得的相关理论，对简单的线性规划问题进行“八步”教学设计：“设”—“列”—“画”—“化”—“移”—“看”—“求”—“悟”，并说明各步的设计意图.这样设计有利于突出重点，突破难点.代数法、向量法也可作为一般方法解此类问题.
【关键词】 技能习得；线性规划；“八步”教学设计
2017年9月22日至24日，全国第二届全日制教育硕士学科教学（数学）专业教学技能大赛（决赛）在山东烟台鲁东大学举行，本次大赛共涉及高中数学的8个课题，“简单的线性规划问题”是其中一个，该课题选自人教社普通高中课程标准试验教科书数学5（必修）（A版）[1].笔者在赛后写下了“简单的线性规划问题”的教学设计.
1 数学技能的相关理论的简述
数学技能指学生在学习数学知识的过程中，通过训练完成数学学习任务的一种行动或心智行动方式.数学技能可分为动作技能和心智技能[2].
动作技能指数学活动中由一系列实际操作以合理、完善的程序构成的操作活动方式.它具有外显性、客观性、非简约性三个基本特点.
心智技能是指借助内部言语在大脑中按合理完善的方式自动地进行数学认知活动方式，它是经过后天的学习和训练而形成的.它具有以下特点：（1）心智技能的作用对象是抽象的数学概念、命题与表象；（2）心智技能的动作是借助内部言语在头脑内部完成的，其他人很难从外部观测到学习主体的变化情况；（3）简缩性，即动作成分可以省略、合并、简化；（4）有时需要借助动作技能加以完成；（5）依附于一定的数学概念、法则，建立在理解的基础之上；（6）可通过练习提高技能实施的速度与效率.
中小学课程中的数学基本技能包括：数值运算技能、符号操作技能、图形处理技能、数据分析技能、推理论证技能、数学交流技能等.
2 促进数学技能习得的教学设计
2.1 教材分析
2.1.1 教学内容分析
“簡单的线性规划问题”是人教社A版普通高中课程标准试验教科书数学5（必修）第三章《不等式》中第3节的第二个内容.该课题是在学习了不等式的性质和“二元一次不等式（组）与平面区域”之后的一个教学内容.因此，“简单的线性规划问题”可看成是“不等式的性质”和“二元一次不等式（组）与平面区域”的应用.显然，解决“简单的线性规划问题”也必需“直线的方程”等解析几何知识作基础.
2.1.2 教学目标分析
通过教学，能让学生从工厂产品的实际问题中建立起数学模型，在教师启发和引导下，学生能利用学过的知识和方法解决这个数学模型，并由此建构线性规划问题、目标函数、可行解、可行域、最优解等系列概念.掌握求解线性规划问题的最优解的方法和一般步骤.
2.1.3 教学问题诊断分析
线性规划问题的求解，需要学生具备一定的数学心智技能和动作技能才能完成.线性规划的教学，学生在最优解的求解过程中容易出现“似懂非懂”、“懂而不会”和“眼高手低”的情况.因此，教师可着眼于数学技能的相关理论及应用，而着手于“八步”教学设计即“设”—“列”—“画”—“化”—“移”—“看”—“求”—
“悟”.这既有利于学生外化于形的动作技能的练成，又有利于学生内化于心的心智技能的形成，从而，真正使学生的数学心智技能和动作技能得到有效训练，真正使学生经历求解线性规划最优解的一般步骤，并掌握其方法、体会其思想.
2.2 简单的线性规划问题的“八步”教学设计与简略说明
基于技能习得理论下简单线性规划问题的“八步”教学设计（或称“八环节”）的流程图，如图1.
2.2 简单的线性规划问题“八步”教学的实施建议与设计意图分析
依据促进数学技能习得的相关理论制定“八步”教学设计，提出了如下实施建议，并对每一步说明设计意图.
第一步：“设”
学生学习本节之前已经学习了一元二次不等式及其解法，能够根据题意列出二元一次不等式组并画出其表示的平面区域.
教学设计：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
问题1 若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
依据题意，将重要信息提取到表格中，如图1.
【设计意图】 “设”是指依据题意设出未知元，用字母代替数，变元x、y代替未知量甲、乙两种产品的生产量.把实际问题转化为线性规划模型，提高学生分析问题、解决问题的能力[3].用代数方法进行解决，培养了学生的符号操作技能.
第二步：“列”
由上，化简后列出二元一次不等式组、求利润的表达式.
2.求最大值的函数z=2x+3y叫做目标函数，且它是关于变量x、y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数.
3.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.
4.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.
5.使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解.
【设计意图】 考察学生根据实际需要合理的选择适当的工具和方法，列出并化简已知条件给定的二元一次不等式组，培养了学生的数值运算技能.这里对教材的安排作了略微的调整.先对概念进行解读，再探求最优解，符合学生的认知规律.
教学设计：让学生自己画出二元一次不等式组表示的平面区域，如图2，并结合图象解读以上概念，使学生加深对概念的理解.
【设计意图】 要求学生准确地画出上面二元一次不等式组表示的平面区域.作图是学习数学知识、解决数学问题的重要手段，有助于培养学生的图形处理技能.
第四步：“化”
将目标函数z=2x+3y画在平面区域上是探求最优解的突破口.
教学设计：教师引导学生把目标函数z=2x+3y变形为y=-23x+z3，这是斜率为-23，纵截距为z3的直线.
【设计意图】 数学抽象的最终结果是符号化，包括了符号演算能力、表达式的变形和等价转化能力、数形结合能力、图像符号能力等.引导学生化目标函数为直线方程的形式.要求学生熟练地进行字母式的演算和变形，将目标函数z=2x+3y变形为y=-23x+z3再加以討论，培养学生的符号操作技能.
第五步：“移”
当利润z从0开始变化时，可以得到一组互相平行的直线，如图3.
【设计意图】 平移直线方程y=-23x+z3，为下一步“看”建立了直观形象的思维支柱.
第六步：“看”
看直线y=-23x+z3与可行域有公共点时，在可行域内找一点M，使直线经过点M时纵截距z3最大.
教师借助几何画板演示直线y=-23x+z3在可行域内平移.
设计意图：“看”是指看直线方程与可行域的交点，意图培养学生的数据分析能力.
第七步：“求”
由上，可知当直线y=-23x+z3经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，纵截距z3最大.
此时利润最大值zmax=2×4+3×2=14.
设计意图：依据题意求纵截距的最大值或最小值.
第八步：“悟”
感悟线性规划问题中蕴含的思想方法，形成求解此类题型的一般方法.
【设计意图】 让学生对整个解决过程中蕴含的思想方法进行总结归纳，形成个人知识、思想方法，让其享受做数学的乐趣.
3 解决线性规划问题的其他两种方法
以上的教学设计是解决线性规划问题的常用几何法，下面再给出两种一般方法.
代数法
步骤一：将不等式变为方程，两两联立后求其解（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）.步骤二：将所有解带入目标函数，得到目标函数值z1，z2，…zn.步骤三：检验.即若z1为所求的最大值，则将（x1，y1）代到线性可行域的不等式验证，若全部符合，则z1为最值.
向量法
对于目标函数z=2x+3y，可构造a=（2，3），b=（x，y），则z=a·b.
因为a·b=a·b·cos，
所以z=22+32·b·cos=13·b·cos.
按照向量的几何意义，b·cos表示b在a上的投影，即当b在a上的投影最大值，z取最大值.由图3可知，当b=（4，2）时，z取最大值a·b=（2，3）·（4，2）=14.
4 结语
将简单线性规划问题的八步教学设计归结为几何法，其中每一步对学生应该掌握的技能都做了相应的要求，其中“画”、“移”等是动作技能，“设”、“化”等是心智技能.当然也不能孤立地看待某个过程为动作技能或心智技能，更多的是两者的结合，教学的目的也即是实现二者的完美结合，培养出对社会有价值的实用型人才.
参考文献
[1] 刘绍学，钱珮玲等. 普通高中课程标准实验教科书数学5（必修）（A版） [M]. 北京：人民教育出版社，2007：12.
[2] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.10：151.
[3] 耿永雪，张吉.简单的线性规划问题的教学思考[J].数学通讯，2002（3）：20.
作者简介
崔静静（1993—），女，四川省德昌县人，硕士研究生，系四川师范大学数学与软件科学学院、内江师范学院联合招收培养的研究生，主要从事数学教育研究；赵思林（1962—），男，四川省巴中市人，教授，硕士生导师，主要从事高考数学、数学教育等研究，系本文通讯作者.
