指向思维培养的问题设计
何萍
【摘 要】 數学核心素养是在数学学习过程中逐步形成的，发展学生核心素养的基础目标是改善学生的思维品质，提高学生的学习能力，让学生学会学习.剖析动点解题思维难点，以动点问题教学为例阐述指向思维培养的问题设计：从发展学生数学核心素养的视角出发，以核心问题引导学生经历由点的运动产生数学问题的过程，探究图形、数量、位置的关系，培养学生发现问题和提出问题的能力，让学生逐步积累数学思维的活动经验，培养学生探究能力.
【关键词】 数学核心素养;思维;基本活动经验;探究能力
动点问题是近几年中考热点，以几何知识和具体的几何图形为背景，通过点的运动或图形的变换，渗透运动变化观点的一类问题，常常集几何、数与式、方程与函数于一身，有着极强的综合性，包含着丰富的数学思想与方法，考察学生的空间想象能力与演绎推理能力，有益于培养学生的思维尤其是创造性思维.
培养学生的数学思维能力和创新能力是数学教育的基本目标之一.数学学习过程中概念的形成、结论的推导、方法的思考、问题的发现和提出、规律的揭示和证明、习题的解决等过程都是培养学生数学思维能力的极好机会.如何挖掘这些内容的思维因素，怎样培养学生的数学思维能力，学生数学思维水平应达到何种程度等，教师对此要有所思考.笔者结合实践，以动点问题教学为例，提出核心素养视角下问题设计的思考.
1 动点解题难点分析
1.1 点的运动带来的空间几何图形想象的困难
所谓动点问题是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在直线上或曲线上运动，构造出新的图形，并进一步通过图形变换产生更多图形.由于运动过程不能依托直观工具展现，只能凭借学生想象，对空间想象能力较弱的学生来说，存在空间想象运动状态和几何图形的困难.尤其是学习初期，如果不及时突破这个难点，会造成学习兴趣和信心的丢失，为后续学习带来障碍.
1.2 遗漏对点的位置分类
在动点的运动过程中，观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好后续计算推理的过程.这一过程，往往随着动点与静止的点的相对位置不同，产生分类.在教学实践中，我们发现，学生对分类的讨论模糊，不明白什么时候分类，如何分类，经常遗漏分类情况.
1.3 难以在运动变化中找到不变的性质
动点运动的过程复杂，其中蕴含了数量、图形、位置上的变化.学生害怕动点问题，难在学生无法穿越动态而抓住解决问题的关键，即在运动变化中找到不变的性质和规律.这是动态几何问题最核心的数学本质，也是重要的函数思想.不少教师告诉学生解决动点问题要“动中取静”，建立方程、函数模型，可是如何动中取静，如何明晰是哪一种数学模型，如何建立数学模型，这些都需要学生积累思维的活动经验，才能学会分析和解决.
2 “梯形背景下的动点探究”的问题设计
1.问题设计呈现
情境：如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=25cm，AB=12cm，BC=16cm，现有动点P以3cm/s的速度从点A→D运动，同时动点Q以2cm/s的速度从点C→B运动，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）.
活动1 教师引导审题.
问题1：观察P、Q两点运动的路径，哪个点先到达？到达时另一个点在什么位置？
问题2：在这个运动范围内，哪些量不变，哪些量变？
问题3：你能得到哪些结论？
问题4：你选择哪些变量为研究对象？你是如何选择？结合P、Q的运动路径，你想研究变量的哪些方面？
说明 问题1启发学生关注观察动点的运动时间和运动范围，问题2、3和4，引导学生分析在运动范围内，哪些不变，哪些变，让学生先提出，教师一一罗列.不变的量可以先求出来，如梯形ABCD的面积、周长，CD长等.重点要关注变的量.这个过程中，PQ在变，梯形ABQP和梯形PQCD的面积在变，但和不变，可以选择其中一个面积去研究.这样，确定两个变量，PQ和梯形面积，去研究有关动点的数量和图形问题，从而思考从哪些角度提出新问题.
活动2 关注PQ的变化
问题1：在这个过程中，PQ长度变化的趋势是怎样？∠QPD变化的趋势是怎样？你能发现哪些特殊情况？
问题2：根据问题1，你想解决哪些数学问题？提出问题并选择其中一个进行解决.
学生提出了如下新问题：PQ的取值范围是什么？什么时候PQ取到最小值？什么时候PQ⊥CD？什么时候PQ∥CD（平行四边形PDCQ）？什么时候PQ=CD？什么时候得到矩形ABPQ？……
说明 抓住变量PQ研究动点问题，首先要引导学生关注PQ的变化是一个什么样的变化，PQ的位置在变，PQ的数量在变.如果研究PQ的数量变化，那么首先要弄清PQ在运动范围内变化的趋势.通过画图感受PQ在运动中变短又变长，自然地，学生想解决PQ的取值范围和PQ的最小值.如果研究PQ的位置变化，即研究PQ与AD相交的角度变化，考虑直线PQ的角度的转动.初始位置时∠QPD是一个锐角，转动过程中，∠QPD从锐角到直角到钝角，学生自然想解决有关PQ的特殊位置问题，其中，提出研究PQ∥CD，PQ⊥CD比研究PQ⊥CB，PQ∥AB有意义.
活动3 关注梯形PQCD面积的变化
问题1：在这个过程中，梯形PQCD的面积怎么变化？请说明理由.
问题2：根据问题1，你能发现哪些特殊情况，从而提出想解决的数学问题？并选择其中一个进行解决.
在问题1的解决中，学生分别从数和形两个角度分析梯形PQCD的面积的变化情况.从数的角度，列出梯形PQCD的面积S与运动时间t的函数关系式：S=（2t+25-3t）×122=150-6t，从函数关系中看出面积变小，面积变化的范围是102≤S≤150;从形的角度，根据梯形PQCD的面积公式，高是确定的，面积的变化由上底和下底的和的变化决定，由于Q点的运动速度比P点的运动速度慢，所以上底和下底的和逐步减少，由此推断面积变小.然后，学生分别提出了下列问题进行求解：梯形PQCD的面积的最小值是多少？何时PQ平分梯形ABCD面积？何时得到等腰梯形PQCD？……
说明 抓住面積研究动点问题，选取梯形PQCD的面积，首先考虑在这个运动范围内，面积怎么变化？其次，在面积从大到小的过程中，梯形PQCD的面积有没有可能是梯形ABCD面积的一半？观察运动过程，梯形PQCD的面积与梯形ABCD面积的关系，从原来大于梯形ABCD面积的一半到后来小于梯形ABCD面积的一半，那么中间必然有等于梯形ABCD面积的一半的时刻，即存在梯形PQCD的面积是梯形ABCD面积一半的可能性，然后再去解决问题.在这个运动过程中，有没有出现等腰梯形，即PQ=CD的情况？根据PQ的取值范围，除去平行四边形这种可能性后，判断15在不在这个范围内，即有没有可能相等.
活动4 探索新问题
问题：如果改变上述Q点的运动路径，将“从点C→B运动”改为“从点D→C→B运动”（图2），你还能提出哪些不同的新问题？
学生提出了一些新的问题并进行求解验证：何时PQ⊥CD？何时得到Rt△PQD？是否存在等腰（等边）三角形PDQ？何时PQ∥AC？何时PQ⊥BD？何时PQ存在最小值，此时最小值是多少？△PQD的面积与t的函数关系式？△PQD的面积是否有最大值，是多少？何时，以PQ为直径的圆与梯形ABCD的边相切？……
说明 改变Q点运动路径，引导学生继续观察动点运动的路径和产生的图形、数量关系的过程分析，进一步提出有关图形、数量上的问题，并解决问题，突出动点问题解决策略的教学.比较活动2、3，活动4引导学生进一步体验动点运动中产生分类的原因，为什么分类，何时分类，如何分类，保证思维的严密性，从而化解动点问题中的分类情况这一教学难点.观察图2，首先描述P、Q两点运动的路径，确定运动范围：P点先到达D点，到达时，Q点到达离C点53cm处.在这个运动范围内，出现了转折点C点，关注Q点什么时候转折，此时P点的位置在哪里？由点的位置不同分成两种情况：Q在CD上和Q在CB上.再去关注特殊情况提出问题.在求解“何时得到Rt△PQD”，“等腰三角形PDQ”，“以PQ为直径的圆与梯形ABCD的边相切”也需要进行分类讨论.
活动5 课堂小结
问题：通过上述活动，你获得了哪些经验？
说明：引导学生归纳动点问题解决的一般路径，构建认知结构（图3）.
3 指向思维培养的问题设计思考
《课程标准（2011年版）》中将数学表述为“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，提出数学研究在本质上是研究与数量或者图形有关的东西.随着落实数学核心素养目标的提出，动点运动越来越突出对学生探究能力的考查，往往抓住等量关系、变量关系、图形形状的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察.在变化过程中存在的等量关系、变量关系是分析的难点.从发展学生数学核心素养的视角出发，设计核心问题研究动点教学，让学生经历由点的运动产生数学问题的过程，提出问题并验证问题的合理性，培养学生发现问题、提出问题的能力，发展学生的探究能力，为动点教学另辟蹊径.
郑毓信指出，重视“核心问题”的提炼，即如“核心问题指向所学知识的本质，通过它，学生能理解所学知识的要点;核心问题是整合数学内容的关键和重点，其它问题由它派生出来，并与它有着内在的逻辑联系，通过它，学生能实现知识的整体建构;核心问题是思考的动力，是知识学习的大纲，提炼核心问题，要在知识理解的关键”[1].从发展学生数学核心素养的视角出发，那么动点教学的核心问题应该是，通过某个动点问题的解决，提炼归纳出动点问题的一般思考方法，使学生掌握举一反三解决问题的能力，并获得思考数学问题的一般结构和方法.
我们先来分析动点问题的解答过程.清晰运动状态和路径是分析问题的第一步，然后，清晰哪些量引起了图形或数量关系的变化，找到变化中的规律性，即不变的本质，然后构建合适的数学模型，运用数学知识进行解决.在这个解答过程中，首先是探究一个具体问题的存在性，其次才是求解这个问题.如何设计核心问题从而达到教学目的？怎么让学生去发现和提出新问题，这些问题是怎么产生，提出的问题是否合理，怎么去验证猜想的合理性，教师通过问题设计要引导学生对此进行探索和体验.案例中的活动1问题的设计引导学生关注点的运动过程，确定变量，活动2、3的问题设计引导学生经历求变化中的范围和研究特殊数量关系和特殊位置，从而体会研究特殊情况是发现新问题的重要途径，活动4问题的设计引导学生运用前面的发现、提出、解决问题策略在新情境中的运用.这样的教学设计，与简单的讲解法比较，可以让学生体会到动点问题中渗透的“一般性”（函数思想）和“特殊性”（方程思想）的关系，使得发现和提出问题的认知过程有序、合理，培养学生良好的动点思维习惯，发展几何直观.
数学问题是数学思维的动力，并为思维指出了方向，数学思维的过程就是不断地提出问题、解决问题的过程，提出问题是探索活动的关键环节，同时也为更深入的数学思维活动提供动力和规划方向.章建跃教授指出，数学教学要使学生学会思考，特别是学会“有逻辑地思考”、创造性思考.所以，数学问题的设计要发挥“一般观念”的引领作用，以数学知识为载体，整体构建研究新的一个数学对象的研究思路，在解决问题过程中提升学生的数学素养[2].基于此，动点教学的目的不仅仅是教会学生去解这个题目，而是通过某个动点问题的解决，提炼归纳出动点问题的一般思考方法，使学生掌握举一反三解决问题的能力，并获得思考数学问题的一般结构和方法.解题尽管有促进理解的功效，但却代替不了知识的整体理解和整体加工处理，代替不了知识的综合和提炼。
数学核心素养是隐性的，数学核心素养的发展必须内化在思维活动中.在观察基础上，从最简单问题入手，逐步猜想和发现，不断检验和修正，感悟问题的核心和问题之间的联系，并学会演绎地证明，经过长时间积累后形成思维模式.进而使其建立一定的数学直觉，能够直觉到数学关系，一眼“看”出数学的结果，即由条件“看”出结果、由结果“看”出条件。这种“看”是一种直观判断能力，是学生未来创造的基础.
参考文献
[1]郑毓信.“问题意识”与数学教师的专业成长[J].数学教育学报，2017，26（5）：1-6.
[2]章建跃.树立课标意识 落实核心素养[J].数学通报，2016，55（5）：1-4.
