例谈“数学文化”在2017年高考试题中的体现
吕天玺
【摘 要】 随着新一轮课程改革的不断推进，高考改革也在不断进行，特别是对中华传统文化的考查成为改革后的热点问题.数学学科关于“数学文化”的知识备受关注，发挥了高考命题的育人功能和积极导向作用.通过对2017年关于数学文化的高考题赏析，为广大教师今后的教育教学提供借鉴意义.
【关键词】 数学文化；高考；数学
【摘 要】 随着新一轮课程改革的不断推进，高考改革也在不断进行，特别是对中华传统文化的考查成为改革后的热点问题.数学学科关于“数学文化”的知识备受关注，发挥了高考命题的育人功能和积极导向作用.通过对2017年关于数学文化的高考题赏析，为广大教师今后的教育教学提供借鉴意义.
【关键词】 数学文化；高考；数学
数学是人类文化的重要组成部分，因此，数学课程对其文化价值的体现尤为重要.中华人民共和国教育部于2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》中提出十大课程理念之一“体现数学的文化价值”，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等专题[1].教育部考试中心发布的《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》中增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用，在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用型、创新型的要求，增加了对数学文化的要求，同时对能力要求进行了加细说明，使能力要求更加明确具体[2].但目前对于2017年全国高考试题中关于“数学文化”题目的研究并不多见.
1 “数学文化”的概念
数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”.简单地说，数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点，以及它们的形成与发展；广泛地说，除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文部分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等[3].
数学文化对提高学生的数学素养具有重要作用.通俗地说，把所学的数学知识都忘记后，剩下的东西就是数学素养[4].一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活了，可见数学素养对于一个人非常重要.同样，一个国家科学的进步，可以用它消耗的数学来度量[3].而数学文化通过不同的方式，以数学问题、数学典故、数学观点等角度切入，并以它们为线索组织材料，深入浅出地融入教学，将其贯穿于数学教育的整个过程中，潜移默化地培养学生的数学素养[5].
2 高考真题赏析
新课改对“数学文化”内容的增加与重视，是对数学核心素养的有力彰显[6]，也是立德树人总目标的重要体现.近几年，高考中对“数学文化”的考查也越来越明显，呈现出“古今数学融合”的新亮点，增强了学生对数学本质的理解与感悟.
2017年全国高考试卷中，有4道关于数学文化的题目，分别出自浙江卷、全国（Ⅰ、Ⅱ）卷和山东卷；从文理分科看，均来自理科数学（浙江卷除外）；题型主要为选择题和填空题，以显性和隐性两种呈现方式考查了数学文化的人文价值、美学价值、应用价值和科学价值[7]，分别涉及几何、概率、数列和算法等数学知识.
2.1 几何中的数学文化
（2017年浙江卷·11）我国古代数学家刘徽创立的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了割圆术，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，割圆术的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6= .
赏析 所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，记录在魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写的《九章算术注》中.刘徽集各家优秀思想方法，在《九章算术注》中体现极其深邃的科学思想，使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生了根本性的变化，并上升到了新的阶段[8].凭借这种方法，最终祖冲之计算出了精确到小数点后七位的圆周率，比西方数学家早了1100多年.此题以数学史料引入，让学生了解数学知识的历史发展，激发学生的学习兴趣，感受我国古代数学的先进性，同时考查学生对于数形结合思想方法的理解与运用，具有一定的人文价值，有助于实现育人目标[9-10].
2.2 概率中的数学文化
（2017年全国Ⅰ卷·理2）如图1，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）.
A.1/4 B.π/8 C.1/4 D.π/4
赏析 此题以中国古代太极图为背景考查几何概型的概率知识.“太极图”的形状如阴阳两鱼互纠在一起，因此又名“阴阳鱼图”，是儒家与道家的文化硕果，被誉为“中华第一图”，最早出于《庄子》：“大道，在太极之上而不为高；在六极之下而不为深；先天地而不为久；长于上古而不为老”.此题体现了数学中的对称美[11]，对于发掘学生的审美能力，引发学生学习数学的兴趣具有很大作用[12]，同时这种对称美在数学中还具有其他重要作用，可以将图形以简驭繁，化难为易，通过割补法解决问题.此题是从概率的角度认识太极图，实际上太极图中还隐含着许多数学表达，激发学生充分发挥其主观能动性，大胆尝试，从新的角度去认识太极图.
2.3 数列中的数学文化
（2017年全国Ⅱ卷·理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）.
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
赏析 此题以我国古代数学名著《算法统宗》中的题目为背景，附以现代汉语的翻译和解释，考查等比数列的前n项和的知识.明代数学家程大位所著的《算法统宗》，全称《新编直指算法统宗》，共有17卷.《算法统宗》中列有595个应用题的数字计算，是一部应用数学书，可见数学在实际生产生活中的应用价值之重要[13].它以珠算方法替代筹算方法，完善了珠算口诀，确立了算盘用法.从初版至民國时期，出现了很多不同的翻刻本、改编本，民间还有各种抄本流传，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.明末，日本人毛利重能将《算法统宗》译成日文，开日本“和算”先河.清初，该书又传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著.
2.4 算法中的数学文化
（2017年山东卷·理6）执行两次如图2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的x值分别为（）.
A.0，0 B.1，1 C.0，1 D.1，0
赏析 此题看似平常，但却别具创新，考查了框图的基本知识，但实际背景是判断素数的算法，将数学知识与数学文化有机地结合[14]，不但具有数学文化背景，同时体现了其科学价值.如果一个数不是素数就是合数，那么一定可以由两个自然数相乘得到，其中一个大于或等于它的平方根，另一个小于或等于它的平方根.此题中a=1代表是素数，a=0代表是合数，这个框图不仅可以判断一个数是否为素数，而且可以找到合数除1和它本身外的含有最小公约数的那一组自然数，不足之处是不能找到其他组自然数.
3 启示
数学文化不是教出来的，而是需要学生在课堂上在知识生成的过程中感受到的，以此来帮助学生更好地理解、运用数学知识.随着新课改的不断推进，如何让学生在课堂内外深刻感受到数学文化的魅力呢？
3.1 激发学习兴趣，彰显数学文化价值
数学作为一种文化现象本身是非常有趣的.任何事物发展的过程都是波澜起伏的，数学亦是如此，其过程充满着许许多多的有趣的故事等待学生们去挖掘，去体悟.教师用简单的数学史导入课程，让学生弄懂其发展来源，不但有助于激发学生的学习兴趣，还能帮助学生更好地理解数学知识，培养数学精神和科学态度，体现数学的人文价值，实现育人目標.
3.2 贯穿课堂内外，感悟生活蕴藏数学
将数学知识置于数学文化的视角，课堂就会变得更加生动自然.在日常教学中，教师要善于发掘教材中与生活中的数学文化，将其作为课堂线索，体现在数学教学中，引导学生跟随数学文化的脉络，循序渐进地走入数学知识殿堂，一位数学家、一段数学史、一本数学名著、一个数学名题都可以成为贯穿始终的课堂线索，同时将这种课堂线索延伸到课堂之外，不但让学生学到了知识，更重要的是让学生领悟到数学源于生活，数学应用于生活，数学是一门有用的科学.
3.3 感受数学体验，培养数学核心素养
数学文化是数学的重要组成部分，两者之间有着不可分割的联系，高中数学的内容非常丰富，数学学习过程其实就是感受数学、探求数学本质的过程，这个过程就是数学文化不断演绎、呈现的过程，因此教师在教学中不断地渗透数学文化就会让抽象的数学变得更容易理解，也让学生更加喜欢数学.教师将数学文化潜移默化地渗透到课堂之中，让学生有一种历史回顾、文化体验的感觉，进而演变成数学体验，培养学生的数学核心素养，建构知识间的紧密联系，体悟数学的本质所在.
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.《普通高中数学课程标准（实验）》[S].北京：人民教育出版社，2003.
[2] 中华人民共和国教育部考试中心.《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》.
[3] 顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社，2008.
[4] 朱长江，李书刚，胡中波.在数学文化课程中引进优质教学资源开展混合式教学的探索与实践[J].数学教育学报，2016，25（04）：30-32.
[5] 喻平.数学学科核心素养要素析取的实证研究[J].数学教育学报，2016，25（06）：1-6.
[6] 裴昌根，宋乃庆.我国数学文化研究的文献计量分析[J].全球教育展望，2017，46（02）：89-98.
[7] 孙庆括.近十年高考数学文化命题的特征分析及启示[J].数学通报，2017，56（01）：49-54.
[8] 马莉，周畅，段耀勇. CNKI期刊论文中刘徽研究论文计量分析[J]. 广西民族大学学报（自然科学版），2016，22（04）：53-56.
[9] 杨叔子.数学很重要文化很重要数学文化也很重要——打造文理交融的数学文化课程[J].数学教育学报，2014，23（06）：4-6.
[10] 徐文彬，彭亮.中国数学教育哲学研究的回顾与反思（2000—2015）——兼论数学文化的教育哲学探索[J].数学教育学报，2017，26（02）：60-65.
[11] 王蓉.浅谈新课程标准下的数学文化教学[J].数学教学通讯，2013（27）：7-9+20.
[12] 聂晓颖，黄秦安.论数学课堂文化的内涵与模式及对培养数学核心素养的价值[J].数学教育学报，2017，26（02）：71-74.
[13] 袁志国.浅谈数学文化在高中教学课堂的渗透[J].数学教学通讯，2014（30）：27-28.
[14] 倪红华.高中数学教学中数学文化体验漫谈——在数学史的基础上汲取数学文化的教学尝试[J].数学教学通讯，2015（12）：28-29.
【摘 要】 随着新一轮课程改革的不断推进，高考改革也在不断进行，特别是对中华传统文化的考查成为改革后的热点问题.数学学科关于“数学文化”的知识备受关注，发挥了高考命题的育人功能和积极导向作用.通过对2017年关于数学文化的高考题赏析，为广大教师今后的教育教学提供借鉴意义.
【关键词】 数学文化；高考；数学
【摘 要】 随着新一轮课程改革的不断推进，高考改革也在不断进行，特别是对中华传统文化的考查成为改革后的热点问题.数学学科关于“数学文化”的知识备受关注，发挥了高考命题的育人功能和积极导向作用.通过对2017年关于数学文化的高考题赏析，为广大教师今后的教育教学提供借鉴意义.
【关键词】 数学文化；高考；数学
数学是人类文化的重要组成部分，因此，数学课程对其文化价值的体现尤为重要.中华人民共和国教育部于2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》中提出十大课程理念之一“体现数学的文化价值”，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等专题[1].教育部考试中心发布的《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》中增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用，在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用型、创新型的要求，增加了对数学文化的要求，同时对能力要求进行了加细说明，使能力要求更加明确具体[2].但目前对于2017年全国高考试题中关于“数学文化”题目的研究并不多见.
1 “数学文化”的概念
数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”.简单地说，数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点，以及它们的形成与发展；广泛地说，除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文部分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等[3].
数学文化对提高学生的数学素养具有重要作用.通俗地说，把所学的数学知识都忘记后，剩下的东西就是数学素养[4].一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活了，可见数学素养对于一个人非常重要.同样，一个国家科学的进步，可以用它消耗的数学来度量[3].而数学文化通过不同的方式，以数学问题、数学典故、数学观点等角度切入，并以它们为线索组织材料，深入浅出地融入教学，将其贯穿于数学教育的整个过程中，潜移默化地培养学生的数学素养[5].
2 高考真题赏析
新课改对“数学文化”内容的增加与重视，是对数学核心素养的有力彰显[6]，也是立德树人总目标的重要体现.近几年，高考中对“数学文化”的考查也越来越明显，呈现出“古今数学融合”的新亮点，增强了学生对数学本质的理解与感悟.
2017年全国高考试卷中，有4道关于数学文化的题目，分别出自浙江卷、全国（Ⅰ、Ⅱ）卷和山东卷；从文理分科看，均来自理科数学（浙江卷除外）；题型主要为选择题和填空题，以显性和隐性两种呈现方式考查了数学文化的人文价值、美学价值、应用价值和科学价值[7]，分别涉及几何、概率、数列和算法等数学知识.
2.1 几何中的数学文化
（2017年浙江卷·11）我国古代数学家刘徽创立的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了割圆术，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，割圆术的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6= .
赏析 所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，记录在魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写的《九章算术注》中.刘徽集各家优秀思想方法，在《九章算术注》中体现极其深邃的科学思想，使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生了根本性的变化，并上升到了新的阶段[8].凭借这种方法，最终祖冲之计算出了精确到小数点后七位的圆周率，比西方数学家早了1100多年.此题以数学史料引入，让学生了解数学知识的历史发展，激发学生的学习兴趣，感受我国古代数学的先进性，同时考查学生对于数形结合思想方法的理解与运用，具有一定的人文价值，有助于实现育人目标[9-10].
2.2 概率中的数学文化
（2017年全国Ⅰ卷·理2）如图1，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）.
A.1/4 B.π/8 C.1/4 D.π/4
赏析 此题以中国古代太极图为背景考查几何概型的概率知识.“太极图”的形状如阴阳两鱼互纠在一起，因此又名“阴阳鱼图”，是儒家与道家的文化硕果，被誉为“中华第一图”，最早出于《庄子》：“大道，在太极之上而不为高；在六极之下而不为深；先天地而不为久；长于上古而不为老”.此题体现了数学中的对称美[11]，对于发掘学生的审美能力，引发学生学习数学的兴趣具有很大作用[12]，同时这种对称美在数学中还具有其他重要作用，可以将图形以简驭繁，化难为易，通过割补法解决问题.此题是从概率的角度认识太极图，实际上太极图中还隐含着许多数学表达，激发学生充分发挥其主观能动性，大胆尝试，从新的角度去认识太极图.
2.3 数列中的数学文化
（2017年全国Ⅱ卷·理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）.
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
赏析 此题以我国古代数学名著《算法统宗》中的题目为背景，附以现代汉语的翻译和解释，考查等比数列的前n项和的知识.明代数学家程大位所著的《算法统宗》，全称《新编直指算法统宗》，共有17卷.《算法统宗》中列有595个应用题的数字计算，是一部应用数学书，可见数学在实际生产生活中的应用价值之重要[13].它以珠算方法替代筹算方法，完善了珠算口诀，确立了算盘用法.从初版至民國时期，出现了很多不同的翻刻本、改编本，民间还有各种抄本流传，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.明末，日本人毛利重能将《算法统宗》译成日文，开日本“和算”先河.清初，该书又传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著.
2.4 算法中的数学文化
（2017年山东卷·理6）执行两次如图2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的x值分别为（）.
A.0，0 B.1，1 C.0，1 D.1，0
赏析 此题看似平常，但却别具创新，考查了框图的基本知识，但实际背景是判断素数的算法，将数学知识与数学文化有机地结合[14]，不但具有数学文化背景，同时体现了其科学价值.如果一个数不是素数就是合数，那么一定可以由两个自然数相乘得到，其中一个大于或等于它的平方根，另一个小于或等于它的平方根.此题中a=1代表是素数，a=0代表是合数，这个框图不仅可以判断一个数是否为素数，而且可以找到合数除1和它本身外的含有最小公约数的那一组自然数，不足之处是不能找到其他组自然数.
3 启示
数学文化不是教出来的，而是需要学生在课堂上在知识生成的过程中感受到的，以此来帮助学生更好地理解、运用数学知识.随着新课改的不断推进，如何让学生在课堂内外深刻感受到数学文化的魅力呢？
3.1 激发学习兴趣，彰显数学文化价值
数学作为一种文化现象本身是非常有趣的.任何事物发展的过程都是波澜起伏的，数学亦是如此，其过程充满着许许多多的有趣的故事等待学生们去挖掘，去体悟.教师用简单的数学史导入课程，让学生弄懂其发展来源，不但有助于激发学生的学习兴趣，还能帮助学生更好地理解数学知识，培养数学精神和科学态度，体现数学的人文价值，实现育人目標.
3.2 贯穿课堂内外，感悟生活蕴藏数学
将数学知识置于数学文化的视角，课堂就会变得更加生动自然.在日常教学中，教师要善于发掘教材中与生活中的数学文化，将其作为课堂线索，体现在数学教学中，引导学生跟随数学文化的脉络，循序渐进地走入数学知识殿堂，一位数学家、一段数学史、一本数学名著、一个数学名题都可以成为贯穿始终的课堂线索，同时将这种课堂线索延伸到课堂之外，不但让学生学到了知识，更重要的是让学生领悟到数学源于生活，数学应用于生活，数学是一门有用的科学.
3.3 感受数学体验，培养数学核心素养
数学文化是数学的重要组成部分，两者之间有着不可分割的联系，高中数学的内容非常丰富，数学学习过程其实就是感受数学、探求数学本质的过程，这个过程就是数学文化不断演绎、呈现的过程，因此教师在教学中不断地渗透数学文化就会让抽象的数学变得更容易理解，也让学生更加喜欢数学.教师将数学文化潜移默化地渗透到课堂之中，让学生有一种历史回顾、文化体验的感觉，进而演变成数学体验，培养学生的数学核心素养，建构知识间的紧密联系，体悟数学的本质所在.
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.《普通高中数学课程标准（实验）》[S].北京：人民教育出版社，2003.
[2] 中华人民共和国教育部考试中心.《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》.
[3] 顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社，2008.
[4] 朱长江，李书刚，胡中波.在数学文化课程中引进优质教学资源开展混合式教学的探索与实践[J].数学教育学报，2016，25（04）：30-32.
[5] 喻平.数学学科核心素养要素析取的实证研究[J].数学教育学报，2016，25（06）：1-6.
[6] 裴昌根，宋乃庆.我国数学文化研究的文献计量分析[J].全球教育展望，2017，46（02）：89-98.
[7] 孙庆括.近十年高考数学文化命题的特征分析及启示[J].数学通报，2017，56（01）：49-54.
[8] 马莉，周畅，段耀勇. CNKI期刊论文中刘徽研究论文计量分析[J]. 广西民族大学学报（自然科学版），2016，22（04）：53-56.
[9] 杨叔子.数学很重要文化很重要数学文化也很重要——打造文理交融的数学文化课程[J].数学教育学报，2014，23（06）：4-6.
[10] 徐文彬，彭亮.中国数学教育哲学研究的回顾与反思（2000—2015）——兼论数学文化的教育哲学探索[J].数学教育学报，2017，26（02）：60-65.
[11] 王蓉.浅谈新课程标准下的数学文化教学[J].数学教学通讯，2013（27）：7-9+20.
[12] 聂晓颖，黄秦安.论数学课堂文化的内涵与模式及对培养数学核心素养的价值[J].数学教育学报，2017，26（02）：71-74.
[13] 袁志国.浅谈数学文化在高中教学课堂的渗透[J].数学教学通讯，2014（30）：27-28.
[14] 倪红华.高中数学教学中数学文化体验漫谈——在数学史的基础上汲取数学文化的教学尝试[J].数学教学通讯，2015（12）：28-29.
