上海集装箱运价衍生品市场多重分形特征研究
刘俊超+陈秀乾
摘要：论文在介绍分形理论和分形市场理论的基本原理的基础上，阐述有效市场理论的研究局限。以集装箱运价衍生品为研究对象，采用多重分形消除趋势波动分析方法（MF-DFA）研究了欧洲航线和美西航线集装箱衍生品价格日收益率序列的非线性动力学特征，研究认为集装箱运价衍生品市场普遍存在多重分形特征，价格系统具有对信息的长期记忆性；通过研究不同阶数下广义 Hurst 指数的变化轨迹，发现不同q值下集装箱运价衍生品市场分别表现出反持久性和持久性特征。还发现，对于给定的阶数q，欧洲航线衍生品价格收益率序列具有更强的状态持续性，更弱的反状态持续性。上述研究结论证明了分形市场理论存在于集装箱运价衍生品市场之中。
关键词：集装箱运价衍生品 分形市场理论 多重分形理论 MF-DFA法
0 引言
航运运价衍生品是航运市场参与者管理风险的重要工具，在国际航运市场上，特别是干散货市场上以FFA（远期运费协议）为代表的运价衍生品发展已经日趋成熟。为了适应上海建设国际航运中心的战略要求，上海正大力发展航运金融产品，目前推出了集装箱运价衍生品是我国航运金融市场的重大创新，在集装箱运输市场上也是首次推出运价衍生品。集装箱运价衍生品是属于航运市场特殊的金融产品，因此有必要运用金融市场的相关理论和方法对集装箱运价衍生品市场的相关特征进行深入分析。
有效市场假说（Efficient Market Hypothesis， EMH）是现代证券市场理论体系的支柱之一，也是现代金融经济学的理论基石之一[1]。许多现代金融投资理论，如资本资产定价模型（CAPM）、套利定价模型（APT）以及许多价格预测方法等都是在EMH的基础上建立的[2]。但随着金融市场的快速发展，金融市场作为一个复杂系统并不像有效市场假说所描述的那样和谐、有序、有层次。比如，有效市场假说（EMH）并未考虑市场的流通性问题，而是假设不论有无足够的流通性，价格总能保持公平。故有效市场假说（EMH）不能解释市场恐慌、股市崩盘等极端现象，因为这些情况下，以任何代价完成交易比追求公平价格重要得多。
20世纪90年代以来，“经济物理学”逐渐兴起。“经济物理学”是将会是物理学的理论、方法和模型（其中特别是统计物理学的相关知识）应用到经济学和金融学领域的一门新兴学科[3]。其核心内容是：用分形（Fractal）方法、消除趋势波动分析（Detrended Fluctuation Analysis）、多重分形方法（Multifractal）等物理学分析方法来挖掘经济和金融系统中海量的实证数据中的相关性、波动性、易变性等统计特征，并利用计算机模拟经济系统中微观行为者的复杂决策及其相互影响关系，以达到模拟和预测经济系统（特别是金融市场）宏观运行特征的目的[4]。
本文正是沿着“经济物理学”这条主线，利用多重分形理论，将集装箱运价衍生品市场看作一个复杂的非线性动态系统，对上海集装箱衍生品价格的历史数据进行实证研究及探讨。
1 上海集装箱运价衍生品市场发展现状
上海集装箱运价衍生品主要指上海出口集装箱中远期运价交易产品，包括上海-欧洲、上海-美西等航线，对应的衍生品交易代码分别为UW、EU，采用场内集中交易的形式。参与者可通过在现货市场与衍生品市场上数量相等、方向相反的操作来规避现货市场因运价浮动所造成的风险。
目前推出的集装箱运价衍生品与SCFI（上海出口集装箱运价指数）现货指数的走势高度相关（如图1所示），价格能提前揭示未来运价走向，日成交量与持仓量之比也已接近 1∶1 的国际标准，且在已发生的现金交割中临近交割合约均实现了向现货价格的平稳回归。这表明，集装箱运价衍生品已初步具备了发现远期价格和套期保值的基本功能。
2 基于MF-DFA方法的多重分形特征研究
MF-DFA 方法是以时间序列每个分割区间上波动的平均值作为统计点，根据波动函数的幂律性确定广义 Hurst 指数，对平稳和非平稳序列结构及波动奇异性进行度量[5]。该方法优
图1 远期运价与即期运价走势图
势在于它能够发现非平稳时间序列中的长程相关性，并且能够避免对相关性的误判。
步骤一，计算序列对于均值的累计离差序列
， （1）
其中，。
步骤二，分割为等长小段。对任意正整数s，记，这里表示的整数部分。将序列自首向尾分割成长为的个互不重叠的小段，由于不一定是整数，为不丢弃序列尾部的剩余部分，保证序列信息不丢失，再将序列自尾向首重复上述过程再划分一次，于是得到个等长小段[6]：
， （2）
， （3）
步骤三，消除每一小段序列的波动趋势。对每一小段序列，用最小二乘法求其拟合趋势直线，记是第小段上的局部趋势函数，。消除每一小段的趋势，得残差序列为：
当时
（4）
当时
（5）
步骤四，定义序列的波动函数。
记为第段残差序列的平方均值，即 （6）
对于非零实数，定义序列的阶波动函数为
（7）
当时，定义序列的波动函数为
（8）
步骤五，确定波动函数的标度指数。对于每一个值，由幂律关系式，推得：
（9）
其中为常数。通过绘出函数关系的散点图，利用最小二乘法对其作线性回归，回归直线的斜率为阶广义指数。当广义指数与阶数无关时，序列是一个单分形过程；当广义指数为阶数的函数时，序列是一个多重分形过程。
当时，对于平稳时间序列，就是指数。对于非平稳时间序列，当时，表示序列是一个独立过程；当时，表明序列存在长程相关性（持久性）；当时，表示序列存在负的长程相关性（反持久性）[7]。
3 数据来源和数据描述
3.1 数据来源
本文所选取的实证数据为上海航运交易所每个交易日集装箱运价衍生品欧洲航线和美西航线的收盘价。样本数据为各运价衍生品上市的起始日期（2011年9月8日）至 2013 年 2 月 22 日的日收盘价格数据（如表1所示）。数据来源于大智慧终端软件和上海航运交易所网站。本文所研究的连续时间序列选取主力合约（即每日成交量最大合约）的每个交易日结算价格。
表1 实证数据来源
衍生品
合约 样本区间 样本
容量 上市日期
欧洲航线 2011/9/8-2013/2/22 350 2011年9月
美西航线 2011/9/8-2013/2/22 350 2011年9月
3.2 数据描述
本文采用Jarque-Bera正态检验法来检验集装箱运价衍生品的收益率是否具有正态性。表2给出了各个检验样本的基本参数统计量以及 JB 检验结果。欧洲航线和美西航线衍生品价格日收益率的峰度都远远大于 3，呈现“尖峰”特征；偏度都小于 0，呈现左偏特征；两条航线衍生品价格收益率序列的 Jarque-Bera 检验统计量估计值远远大于 95%和 99%置信水平所对应的临界值，J-B统计量十分显著，并且相伴概率P为0，因而都拒绝收益序列服从正态分布的零假设，这两个收益率时间序列均为非正态分布。 所以用基于正态分布假设的现代资本市场理论及其分析方法描述其波动规律存在明显缺陷，而分形分布能够较好地描述统计上的尖峰厚尾特征，因此本文用分形分布的 MF-DFA分析方法是更加合理的。
表2 集装箱运价衍生品日收益率统计信息
航线 日期 样本数 均值 标准差 偏度 峰度 JB统计量
欧洲 2011/9/8-
2013/2/22 349 0.001850 0.024812 -0.568511 8.513826 460.8995
美西 2011/9/8-
2013/2/22 349 0.001016 0.022124 -0.394382 8.669014 476.3831
4 实证研究结果及分析
采用 Matlab7.3 编程，首先采用对数差分法处理处理收益率数据的处理上多采用对数差分法计算。图2和图3分别是全样本欧洲航线和美西航线衍生品价格的对数收益率序列随时间变化的关系图。
图2 欧洲航线衍生品价格对数收益率序列关系图
图3 美西航线衍生品价格对数收益率序列关系图
对欧洲和美西航线衍生品价格日收益率原始序列及变化后的收益率序列进行二阶 MF-DFA 分析，S 的取值范围为5至 N/5 天（N 为时间序列总长度）。
图4是欧洲航线衍生品价格收益率序列的离差序列经两次分割后得到的新序列，由于序列分割采用从头至尾再从尾至头的方法，分割时序列长度N不一定能被s整除，尾部剩余部分将单独构造一个子序列，因此图中显示分割的序列会有细微不对称。每次新分割的序列中包含个互不重叠的小段。
图5是采用最小二乘法对新序列的每一分割小段进行局部趋势拟合的结果，红色为原始序列，蓝色为经过拟合消除趋势波动后的序列。图6是对上图单一区间放大后的结果，从图中可以较清楚地看到单一分割小段上趋势拟合的过程。
对每一小段序列，用最小二乘法求其拟合趋势直线，得到残差序列。根据式 和式（9）可得到每一小段序列的q阶波动函数。图7和图8分别为欧洲航线和美西航线衍生品价格收益率序列在q=10时函数关系的散点图，利用最小二乘法对其作线性回归，回归直线的斜率为阶广义指数。从图中可以看出q=10时欧洲航线和美西航线的广义指数分别为0.53425和0.29833。
通过绘制不同q阶下各阶曲线的拟合过程，确定广义指数。图9和图10分别是欧洲航线和美西航线不同q阶下各阶曲线及其趋势直线。从图9和图10可以看出，不同q阶下曲线自上而下q值依次减小，对应的斜率即广义指数依次增大。另外，q值在[0，10]范围内等差由大到小变化时，相邻曲线之间的距离由小变大；q值在[-10，0]范围内等差由大到小变化时相邻曲线之间的距离由大变小。这说明q值取较大正数或较小的负数时，具有收敛性。因此q值在有意义的范围内，广义指数是有限值。
图9 欧洲航线不同q阶下
各阶曲线的拟合过程
图10 美西航线不同q阶下
各阶曲线的拟合过程
分别计算两条航线，不同q的广义指数。下表3为欧洲航线和美西航线衍生品价格收益率序列广义指数的计算结果。
表3 欧洲航线和美西航线衍生品价格收益率序列的广义 Hurst 指数
阶数 EU 95%置信区间 UW 95%置信区间
q=-10 1.3004 1.1973， 1.4035 1.1474 1.0775， 1.2173
q=-9 1.2869 1.1852， 1.3886 1.1335 1.0648， 1.2022
q=-8 1.2698 1.17， 1.3697 1.1163 1.0491， 1.1835
q=-7 1.2477 1.1502，
1.3453 1.0945 1.0292， 1.1598
q=-6 1.2184 1.1239，
1.3128 1.0666 1.0038， 1.1293
q=-5 1.1785 1.0884，
1.2685 1.0303 0.9708， 1.0897
q=-4 1.1232 1.0399，
1.2065 0.9831 0.92779，1.0384
q=-3 1.0477 0.97485，
1.1205 0.9238 0.8733， 0.97425
q=-2 0.9543 0.89645，
1.0121 0.8549 0.80953， 0.90024
q=-1 0.8645 0.82311， 0.90595 0.7810 0.74103， 0.82104
q=0 0.7987 0.76905， 0.82827 0.7039 0.66946， 0.73841
q=1 0.7511 0.72665， 0.77545 0.6234 0.59418， 0.65261
q=2 0.7096 0.68562， 0.73365 0.5423 0.51606， 0.56853
q=3 0.6704 0.64372，
0.6971 0.4709 0.44287， 0.499
q=4 0.6356 0.60491， 0.66632 0.4168 0.38425， 0.4494
q=5 0.6074 0.57272， 0.64202 0.3786 0.34162， 0.41556
q=6 0.5854 0.54746， 0.62327 0.3517 0.31124， 0.39224
q=7 0.5682 0.52777， 0.60865 0.3325 0.28924， 0.37565
q=8 0.5546 0.5122，
0.59695 0.3181 0.27284， 0.36339
q=9 0.5435 0.49961， 0.58734 0.3071 0.26021， 0.35397
q=10 0.5343 0.48923， 0.57926 0.2983 0.2502， 0.34647
对以上实证结果进行深入分析，可以得出以下结论：
（1）显著的不为常数，当q从-10变化为10时，欧洲航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.3004变为0.5343，美西航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.1474变为0.2983，说明两条序列存在较明显的多重分形特征，用单一分形模型对其进行描述是不精确的。
（2）=0.5为分界点，因为当时，序列存在负的长程相关性（反持久性），当时序列存在长程相关性（持久性）。对应欧洲航线衍生品价格收益序列，在的范围内均为，小幅度的波动是用大的广义赫斯特指数来描述，表现出持久性特征，突出了市场内在因素的作用。对应美西航线，时，，此时美西航线衍生品价格收益率的大幅波动呈现了呈现反持续性的一面，表现出反持久性特征，大幅度的波动是用小的广义赫斯特指数来描述，突出市场外部因素的作用。
（3）对于给定的阶数q，欧洲航线的广义赫斯特指数显著大于美西航线的广义赫斯特指数，说明欧洲航线衍生品价格收益率序列具有更强的状态持续性，更弱的反状态持续性。而且，美西航线衍生品价格收益率序列的广义赫斯特指数的波动范围较大，说明其多重分形特征较欧洲航线更为明显。
5 结论与展望
（1）本文证明了集装箱运价衍生品市场存在多重分形特征，佐证了传统的有效市场理论在集装箱运价衍生品市场的不适用。通过应用多重分形消除趋势波动分析方法（MF-DFA），对欧洲航线和美西航线运价衍生品收益率序列进行分析，发现欧洲航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.3004变为0.5343，美西航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.1474变为0.2983，说明两条序列存在较明显的多重分形特征，用单一分形模型对其进行描述是不精确的。
（2）本文对集装箱运价衍生品市场的多重分形特征分析，选取的对象是两条航线的交易日收盘价以及5分钟价格数据，而忽略了金融市场中比较重要的交易量的数据，未来的研究可以结合交易量的数据进行多重分形研究，建立量-价关系也是未来研究的方向之一。
（3）多重分形理论作为金融市场中重要的理论，在理论研究上国内外学者进行了广泛的研究，取得了丰硕的研究成果，未来有关多重分形理论如何应用的研究将成为热点之一。研究多重分形理论在航运运价衍生品的资产定价、风险控制、市场监管和价格预测等一系列的重大问题中的应用将是重要的研究领域。
参考文献
[1]Peters E E. Chaos and order in the capital markets [M].New York：John Wiley&Sons press，1991.
[2]B.B. Mandelbrot. New Methods in Statistical Economics [J]. Political Econ， 1963，71：421-440.
[3]苑萤.多重分形理论及其在中国股票市场中的应用研究[D].沈阳：东北大学，2007.
[4]苑莹，庄新田，金秀.多重分形理论在资本市场中的应用研究综述[J].管理学报，2010，7（9）：1397-1402.
[5]黄诒蓉.中国股市收益分形分布的实证研究[J].南方经济，2006，（2）：99-107.
[6]杨一文，刘贵忠.分形市场假说在沪深股票市场中的实证研究[J].当代经济科学，2002，
24（1）：75-79
[7]赖川波.中国股票市场时变Hurst指数及多重分形分析[D].杭州：浙江工商大学，2009.
1.2065 0.9831 0.92779，1.0384
q=-3 1.0477 0.97485，
1.1205 0.9238 0.8733， 0.97425
q=-2 0.9543 0.89645，
1.0121 0.8549 0.80953， 0.90024
q=-1 0.8645 0.82311， 0.90595 0.7810 0.74103， 0.82104
q=0 0.7987 0.76905， 0.82827 0.7039 0.66946， 0.73841
q=1 0.7511 0.72665， 0.77545 0.6234 0.59418， 0.65261
q=2 0.7096 0.68562， 0.73365 0.5423 0.51606， 0.56853
q=3 0.6704 0.64372，
0.6971 0.4709 0.44287， 0.499
q=4 0.6356 0.60491， 0.66632 0.4168 0.38425， 0.4494
q=5 0.6074 0.57272， 0.64202 0.3786 0.34162， 0.41556
q=6 0.5854 0.54746， 0.62327 0.3517 0.31124， 0.39224
q=7 0.5682 0.52777， 0.60865 0.3325 0.28924， 0.37565
q=8 0.5546 0.5122，
0.59695 0.3181 0.27284， 0.36339
q=9 0.5435 0.49961， 0.58734 0.3071 0.26021， 0.35397
q=10 0.5343 0.48923， 0.57926 0.2983 0.2502， 0.34647
对以上实证结果进行深入分析，可以得出以下结论：
（1）显著的不为常数，当q从-10变化为10时，欧洲航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.3004变为0.5343，美西航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.1474变为0.2983，说明两条序列存在较明显的多重分形特征，用单一分形模型对其进行描述是不精确的。
（2）=0.5为分界点，因为当时，序列存在负的长程相关性（反持久性），当时序列存在长程相关性（持久性）。对应欧洲航线衍生品价格收益序列，在的范围内均为，小幅度的波动是用大的广义赫斯特指数来描述，表现出持久性特征，突出了市场内在因素的作用。对应美西航线，时，，此时美西航线衍生品价格收益率的大幅波动呈现了呈现反持续性的一面，表现出反持久性特征，大幅度的波动是用小的广义赫斯特指数来描述，突出市场外部因素的作用。
（3）对于给定的阶数q，欧洲航线的广义赫斯特指数显著大于美西航线的广义赫斯特指数，说明欧洲航线衍生品价格收益率序列具有更强的状态持续性，更弱的反状态持续性。而且，美西航线衍生品价格收益率序列的广义赫斯特指数的波动范围较大，说明其多重分形特征较欧洲航线更为明显。
5 结论与展望
（1）本文证明了集装箱运价衍生品市场存在多重分形特征，佐证了传统的有效市场理论在集装箱运价衍生品市场的不适用。通过应用多重分形消除趋势波动分析方法（MF-DFA），对欧洲航线和美西航线运价衍生品收益率序列进行分析，发现欧洲航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.3004变为0.5343，美西航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.1474变为0.2983，说明两条序列存在较明显的多重分形特征，用单一分形模型对其进行描述是不精确的。
（2）本文对集装箱运价衍生品市场的多重分形特征分析，选取的对象是两条航线的交易日收盘价以及5分钟价格数据，而忽略了金融市场中比较重要的交易量的数据，未来的研究可以结合交易量的数据进行多重分形研究，建立量-价关系也是未来研究的方向之一。
（3）多重分形理论作为金融市场中重要的理论，在理论研究上国内外学者进行了广泛的研究，取得了丰硕的研究成果，未来有关多重分形理论如何应用的研究将成为热点之一。研究多重分形理论在航运运价衍生品的资产定价、风险控制、市场监管和价格预测等一系列的重大问题中的应用将是重要的研究领域。
参考文献
[1]Peters E E. Chaos and order in the capital markets [M].New York：John Wiley&Sons press，1991.
[2]B.B. Mandelbrot. New Methods in Statistical Economics [J]. Political Econ， 1963，71：421-440.
[3]苑萤.多重分形理论及其在中国股票市场中的应用研究[D].沈阳：东北大学，2007.
[4]苑莹，庄新田，金秀.多重分形理论在资本市场中的应用研究综述[J].管理学报，2010，7（9）：1397-1402.
[5]黄诒蓉.中国股市收益分形分布的实证研究[J].南方经济，2006，（2）：99-107.
[6]杨一文，刘贵忠.分形市场假说在沪深股票市场中的实证研究[J].当代经济科学，2002，
24（1）：75-79
[7]赖川波.中国股票市场时变Hurst指数及多重分形分析[D].杭州：浙江工商大学，2009.
1.2065 0.9831 0.92779，1.0384
q=-3 1.0477 0.97485，
1.1205 0.9238 0.8733， 0.97425
q=-2 0.9543 0.89645，
1.0121 0.8549 0.80953， 0.90024
q=-1 0.8645 0.82311， 0.90595 0.7810 0.74103， 0.82104
q=0 0.7987 0.76905， 0.82827 0.7039 0.66946， 0.73841
q=1 0.7511 0.72665， 0.77545 0.6234 0.59418， 0.65261
q=2 0.7096 0.68562， 0.73365 0.5423 0.51606， 0.56853
q=3 0.6704 0.64372，
0.6971 0.4709 0.44287， 0.499
q=4 0.6356 0.60491， 0.66632 0.4168 0.38425， 0.4494
q=5 0.6074 0.57272， 0.64202 0.3786 0.34162， 0.41556
q=6 0.5854 0.54746， 0.62327 0.3517 0.31124， 0.39224
q=7 0.5682 0.52777， 0.60865 0.3325 0.28924， 0.37565
q=8 0.5546 0.5122，
0.59695 0.3181 0.27284， 0.36339
q=9 0.5435 0.49961， 0.58734 0.3071 0.26021， 0.35397
q=10 0.5343 0.48923， 0.57926 0.2983 0.2502， 0.34647
对以上实证结果进行深入分析，可以得出以下结论：
（1）显著的不为常数，当q从-10变化为10时，欧洲航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.3004变为0.5343，美西航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.1474变为0.2983，说明两条序列存在较明显的多重分形特征，用单一分形模型对其进行描述是不精确的。
（2）=0.5为分界点，因为当时，序列存在负的长程相关性（反持久性），当时序列存在长程相关性（持久性）。对应欧洲航线衍生品价格收益序列，在的范围内均为，小幅度的波动是用大的广义赫斯特指数来描述，表现出持久性特征，突出了市场内在因素的作用。对应美西航线，时，，此时美西航线衍生品价格收益率的大幅波动呈现了呈现反持续性的一面，表现出反持久性特征，大幅度的波动是用小的广义赫斯特指数来描述，突出市场外部因素的作用。
（3）对于给定的阶数q，欧洲航线的广义赫斯特指数显著大于美西航线的广义赫斯特指数，说明欧洲航线衍生品价格收益率序列具有更强的状态持续性，更弱的反状态持续性。而且，美西航线衍生品价格收益率序列的广义赫斯特指数的波动范围较大，说明其多重分形特征较欧洲航线更为明显。
5 结论与展望
（1）本文证明了集装箱运价衍生品市场存在多重分形特征，佐证了传统的有效市场理论在集装箱运价衍生品市场的不适用。通过应用多重分形消除趋势波动分析方法（MF-DFA），对欧洲航线和美西航线运价衍生品收益率序列进行分析，发现欧洲航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.3004变为0.5343，美西航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.1474变为0.2983，说明两条序列存在较明显的多重分形特征，用单一分形模型对其进行描述是不精确的。
（2）本文对集装箱运价衍生品市场的多重分形特征分析，选取的对象是两条航线的交易日收盘价以及5分钟价格数据，而忽略了金融市场中比较重要的交易量的数据，未来的研究可以结合交易量的数据进行多重分形研究，建立量-价关系也是未来研究的方向之一。
（3）多重分形理论作为金融市场中重要的理论，在理论研究上国内外学者进行了广泛的研究，取得了丰硕的研究成果，未来有关多重分形理论如何应用的研究将成为热点之一。研究多重分形理论在航运运价衍生品的资产定价、风险控制、市场监管和价格预测等一系列的重大问题中的应用将是重要的研究领域。
参考文献
[1]Peters E E. Chaos and order in the capital markets [M].New York：John Wiley&Sons press，1991.
[2]B.B. Mandelbrot. New Methods in Statistical Economics [J]. Political Econ， 1963，71：421-440.
[3]苑萤.多重分形理论及其在中国股票市场中的应用研究[D].沈阳：东北大学，2007.
[4]苑莹，庄新田，金秀.多重分形理论在资本市场中的应用研究综述[J].管理学报，2010，7（9）：1397-1402.
[5]黄诒蓉.中国股市收益分形分布的实证研究[J].南方经济，2006，（2）：99-107.
[6]杨一文，刘贵忠.分形市场假说在沪深股票市场中的实证研究[J].当代经济科学，2002，
24（1）：75-79
[7]赖川波.中国股票市场时变Hurst指数及多重分形分析[D].杭州：浙江工商大学，2009.
摘要：论文在介绍分形理论和分形市场理论的基本原理的基础上，阐述有效市场理论的研究局限。以集装箱运价衍生品为研究对象，采用多重分形消除趋势波动分析方法（MF-DFA）研究了欧洲航线和美西航线集装箱衍生品价格日收益率序列的非线性动力学特征，研究认为集装箱运价衍生品市场普遍存在多重分形特征，价格系统具有对信息的长期记忆性；通过研究不同阶数下广义 Hurst 指数的变化轨迹，发现不同q值下集装箱运价衍生品市场分别表现出反持久性和持久性特征。还发现，对于给定的阶数q，欧洲航线衍生品价格收益率序列具有更强的状态持续性，更弱的反状态持续性。上述研究结论证明了分形市场理论存在于集装箱运价衍生品市场之中。
关键词：集装箱运价衍生品 分形市场理论 多重分形理论 MF-DFA法
0 引言
航运运价衍生品是航运市场参与者管理风险的重要工具，在国际航运市场上，特别是干散货市场上以FFA（远期运费协议）为代表的运价衍生品发展已经日趋成熟。为了适应上海建设国际航运中心的战略要求，上海正大力发展航运金融产品，目前推出了集装箱运价衍生品是我国航运金融市场的重大创新，在集装箱运输市场上也是首次推出运价衍生品。集装箱运价衍生品是属于航运市场特殊的金融产品，因此有必要运用金融市场的相关理论和方法对集装箱运价衍生品市场的相关特征进行深入分析。
有效市场假说（Efficient Market Hypothesis， EMH）是现代证券市场理论体系的支柱之一，也是现代金融经济学的理论基石之一[1]。许多现代金融投资理论，如资本资产定价模型（CAPM）、套利定价模型（APT）以及许多价格预测方法等都是在EMH的基础上建立的[2]。但随着金融市场的快速发展，金融市场作为一个复杂系统并不像有效市场假说所描述的那样和谐、有序、有层次。比如，有效市场假说（EMH）并未考虑市场的流通性问题，而是假设不论有无足够的流通性，价格总能保持公平。故有效市场假说（EMH）不能解释市场恐慌、股市崩盘等极端现象，因为这些情况下，以任何代价完成交易比追求公平价格重要得多。
20世纪90年代以来，“经济物理学”逐渐兴起。“经济物理学”是将会是物理学的理论、方法和模型（其中特别是统计物理学的相关知识）应用到经济学和金融学领域的一门新兴学科[3]。其核心内容是：用分形（Fractal）方法、消除趋势波动分析（Detrended Fluctuation Analysis）、多重分形方法（Multifractal）等物理学分析方法来挖掘经济和金融系统中海量的实证数据中的相关性、波动性、易变性等统计特征，并利用计算机模拟经济系统中微观行为者的复杂决策及其相互影响关系，以达到模拟和预测经济系统（特别是金融市场）宏观运行特征的目的[4]。
本文正是沿着“经济物理学”这条主线，利用多重分形理论，将集装箱运价衍生品市场看作一个复杂的非线性动态系统，对上海集装箱衍生品价格的历史数据进行实证研究及探讨。
1 上海集装箱运价衍生品市场发展现状
上海集装箱运价衍生品主要指上海出口集装箱中远期运价交易产品，包括上海-欧洲、上海-美西等航线，对应的衍生品交易代码分别为UW、EU，采用场内集中交易的形式。参与者可通过在现货市场与衍生品市场上数量相等、方向相反的操作来规避现货市场因运价浮动所造成的风险。
目前推出的集装箱运价衍生品与SCFI（上海出口集装箱运价指数）现货指数的走势高度相关（如图1所示），价格能提前揭示未来运价走向，日成交量与持仓量之比也已接近 1∶1 的国际标准，且在已发生的现金交割中临近交割合约均实现了向现货价格的平稳回归。这表明，集装箱运价衍生品已初步具备了发现远期价格和套期保值的基本功能。
2 基于MF-DFA方法的多重分形特征研究
MF-DFA 方法是以时间序列每个分割区间上波动的平均值作为统计点，根据波动函数的幂律性确定广义 Hurst 指数，对平稳和非平稳序列结构及波动奇异性进行度量[5]。该方法优
图1 远期运价与即期运价走势图
势在于它能够发现非平稳时间序列中的长程相关性，并且能够避免对相关性的误判。
步骤一，计算序列对于均值的累计离差序列
， （1）
其中，。
步骤二，分割为等长小段。对任意正整数s，记，这里表示的整数部分。将序列自首向尾分割成长为的个互不重叠的小段，由于不一定是整数，为不丢弃序列尾部的剩余部分，保证序列信息不丢失，再将序列自尾向首重复上述过程再划分一次，于是得到个等长小段[6]：
， （2）
， （3）
步骤三，消除每一小段序列的波动趋势。对每一小段序列，用最小二乘法求其拟合趋势直线，记是第小段上的局部趋势函数，。消除每一小段的趋势，得残差序列为：
当时
（4）
当时
（5）
步骤四，定义序列的波动函数。
记为第段残差序列的平方均值，即 （6）
对于非零实数，定义序列的阶波动函数为
（7）
当时，定义序列的波动函数为
（8）
步骤五，确定波动函数的标度指数。对于每一个值，由幂律关系式，推得：
（9）
其中为常数。通过绘出函数关系的散点图，利用最小二乘法对其作线性回归，回归直线的斜率为阶广义指数。当广义指数与阶数无关时，序列是一个单分形过程；当广义指数为阶数的函数时，序列是一个多重分形过程。
当时，对于平稳时间序列，就是指数。对于非平稳时间序列，当时，表示序列是一个独立过程；当时，表明序列存在长程相关性（持久性）；当时，表示序列存在负的长程相关性（反持久性）[7]。
3 数据来源和数据描述
3.1 数据来源
本文所选取的实证数据为上海航运交易所每个交易日集装箱运价衍生品欧洲航线和美西航线的收盘价。样本数据为各运价衍生品上市的起始日期（2011年9月8日）至 2013 年 2 月 22 日的日收盘价格数据（如表1所示）。数据来源于大智慧终端软件和上海航运交易所网站。本文所研究的连续时间序列选取主力合约（即每日成交量最大合约）的每个交易日结算价格。
表1 实证数据来源
衍生品
合约 样本区间 样本
容量 上市日期
欧洲航线 2011/9/8-2013/2/22 350 2011年9月
美西航线 2011/9/8-2013/2/22 350 2011年9月
3.2 数据描述
本文采用Jarque-Bera正态检验法来检验集装箱运价衍生品的收益率是否具有正态性。表2给出了各个检验样本的基本参数统计量以及 JB 检验结果。欧洲航线和美西航线衍生品价格日收益率的峰度都远远大于 3，呈现“尖峰”特征；偏度都小于 0，呈现左偏特征；两条航线衍生品价格收益率序列的 Jarque-Bera 检验统计量估计值远远大于 95%和 99%置信水平所对应的临界值，J-B统计量十分显著，并且相伴概率P为0，因而都拒绝收益序列服从正态分布的零假设，这两个收益率时间序列均为非正态分布。 所以用基于正态分布假设的现代资本市场理论及其分析方法描述其波动规律存在明显缺陷，而分形分布能够较好地描述统计上的尖峰厚尾特征，因此本文用分形分布的 MF-DFA分析方法是更加合理的。
表2 集装箱运价衍生品日收益率统计信息
航线 日期 样本数 均值 标准差 偏度 峰度 JB统计量
欧洲 2011/9/8-
2013/2/22 349 0.001850 0.024812 -0.568511 8.513826 460.8995
美西 2011/9/8-
2013/2/22 349 0.001016 0.022124 -0.394382 8.669014 476.3831
4 实证研究结果及分析
采用 Matlab7.3 编程，首先采用对数差分法处理处理收益率数据的处理上多采用对数差分法计算。图2和图3分别是全样本欧洲航线和美西航线衍生品价格的对数收益率序列随时间变化的关系图。
图2 欧洲航线衍生品价格对数收益率序列关系图
图3 美西航线衍生品价格对数收益率序列关系图
对欧洲和美西航线衍生品价格日收益率原始序列及变化后的收益率序列进行二阶 MF-DFA 分析，S 的取值范围为5至 N/5 天（N 为时间序列总长度）。
图4是欧洲航线衍生品价格收益率序列的离差序列经两次分割后得到的新序列，由于序列分割采用从头至尾再从尾至头的方法，分割时序列长度N不一定能被s整除，尾部剩余部分将单独构造一个子序列，因此图中显示分割的序列会有细微不对称。每次新分割的序列中包含个互不重叠的小段。
图5是采用最小二乘法对新序列的每一分割小段进行局部趋势拟合的结果，红色为原始序列，蓝色为经过拟合消除趋势波动后的序列。图6是对上图单一区间放大后的结果，从图中可以较清楚地看到单一分割小段上趋势拟合的过程。
对每一小段序列，用最小二乘法求其拟合趋势直线，得到残差序列。根据式 和式（9）可得到每一小段序列的q阶波动函数。图7和图8分别为欧洲航线和美西航线衍生品价格收益率序列在q=10时函数关系的散点图，利用最小二乘法对其作线性回归，回归直线的斜率为阶广义指数。从图中可以看出q=10时欧洲航线和美西航线的广义指数分别为0.53425和0.29833。
通过绘制不同q阶下各阶曲线的拟合过程，确定广义指数。图9和图10分别是欧洲航线和美西航线不同q阶下各阶曲线及其趋势直线。从图9和图10可以看出，不同q阶下曲线自上而下q值依次减小，对应的斜率即广义指数依次增大。另外，q值在[0，10]范围内等差由大到小变化时，相邻曲线之间的距离由小变大；q值在[-10，0]范围内等差由大到小变化时相邻曲线之间的距离由大变小。这说明q值取较大正数或较小的负数时，具有收敛性。因此q值在有意义的范围内，广义指数是有限值。
图9 欧洲航线不同q阶下
各阶曲线的拟合过程
图10 美西航线不同q阶下
各阶曲线的拟合过程
分别计算两条航线，不同q的广义指数。下表3为欧洲航线和美西航线衍生品价格收益率序列广义指数的计算结果。
表3 欧洲航线和美西航线衍生品价格收益率序列的广义 Hurst 指数
阶数 EU 95%置信区间 UW 95%置信区间
q=-10 1.3004 1.1973， 1.4035 1.1474 1.0775， 1.2173
q=-9 1.2869 1.1852， 1.3886 1.1335 1.0648， 1.2022
q=-8 1.2698 1.17， 1.3697 1.1163 1.0491， 1.1835
q=-7 1.2477 1.1502，
1.3453 1.0945 1.0292， 1.1598
q=-6 1.2184 1.1239，
1.3128 1.0666 1.0038， 1.1293
q=-5 1.1785 1.0884，
1.2685 1.0303 0.9708， 1.0897
q=-4 1.1232 1.0399，
1.2065 0.9831 0.92779，1.0384
q=-3 1.0477 0.97485，
1.1205 0.9238 0.8733， 0.97425
q=-2 0.9543 0.89645，
1.0121 0.8549 0.80953， 0.90024
q=-1 0.8645 0.82311， 0.90595 0.7810 0.74103， 0.82104
q=0 0.7987 0.76905， 0.82827 0.7039 0.66946， 0.73841
q=1 0.7511 0.72665， 0.77545 0.6234 0.59418， 0.65261
q=2 0.7096 0.68562， 0.73365 0.5423 0.51606， 0.56853
q=3 0.6704 0.64372，
0.6971 0.4709 0.44287， 0.499
q=4 0.6356 0.60491， 0.66632 0.4168 0.38425， 0.4494
q=5 0.6074 0.57272， 0.64202 0.3786 0.34162， 0.41556
q=6 0.5854 0.54746， 0.62327 0.3517 0.31124， 0.39224
q=7 0.5682 0.52777， 0.60865 0.3325 0.28924， 0.37565
q=8 0.5546 0.5122，
0.59695 0.3181 0.27284， 0.36339
q=9 0.5435 0.49961， 0.58734 0.3071 0.26021， 0.35397
q=10 0.5343 0.48923， 0.57926 0.2983 0.2502， 0.34647
对以上实证结果进行深入分析，可以得出以下结论：
（1）显著的不为常数，当q从-10变化为10时，欧洲航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.3004变为0.5343，美西航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.1474变为0.2983，说明两条序列存在较明显的多重分形特征，用单一分形模型对其进行描述是不精确的。
（2）=0.5为分界点，因为当时，序列存在负的长程相关性（反持久性），当时序列存在长程相关性（持久性）。对应欧洲航线衍生品价格收益序列，在的范围内均为，小幅度的波动是用大的广义赫斯特指数来描述，表现出持久性特征，突出了市场内在因素的作用。对应美西航线，时，，此时美西航线衍生品价格收益率的大幅波动呈现了呈现反持续性的一面，表现出反持久性特征，大幅度的波动是用小的广义赫斯特指数来描述，突出市场外部因素的作用。
（3）对于给定的阶数q，欧洲航线的广义赫斯特指数显著大于美西航线的广义赫斯特指数，说明欧洲航线衍生品价格收益率序列具有更强的状态持续性，更弱的反状态持续性。而且，美西航线衍生品价格收益率序列的广义赫斯特指数的波动范围较大，说明其多重分形特征较欧洲航线更为明显。
5 结论与展望
（1）本文证明了集装箱运价衍生品市场存在多重分形特征，佐证了传统的有效市场理论在集装箱运价衍生品市场的不适用。通过应用多重分形消除趋势波动分析方法（MF-DFA），对欧洲航线和美西航线运价衍生品收益率序列进行分析，发现欧洲航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.3004变为0.5343，美西航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.1474变为0.2983，说明两条序列存在较明显的多重分形特征，用单一分形模型对其进行描述是不精确的。
（2）本文对集装箱运价衍生品市场的多重分形特征分析，选取的对象是两条航线的交易日收盘价以及5分钟价格数据，而忽略了金融市场中比较重要的交易量的数据，未来的研究可以结合交易量的数据进行多重分形研究，建立量-价关系也是未来研究的方向之一。
（3）多重分形理论作为金融市场中重要的理论，在理论研究上国内外学者进行了广泛的研究，取得了丰硕的研究成果，未来有关多重分形理论如何应用的研究将成为热点之一。研究多重分形理论在航运运价衍生品的资产定价、风险控制、市场监管和价格预测等一系列的重大问题中的应用将是重要的研究领域。
参考文献
[1]Peters E E. Chaos and order in the capital markets [M].New York：John Wiley&Sons press，1991.
[2]B.B. Mandelbrot. New Methods in Statistical Economics [J]. Political Econ， 1963，71：421-440.
[3]苑萤.多重分形理论及其在中国股票市场中的应用研究[D].沈阳：东北大学，2007.
[4]苑莹，庄新田，金秀.多重分形理论在资本市场中的应用研究综述[J].管理学报，2010，7（9）：1397-1402.
[5]黄诒蓉.中国股市收益分形分布的实证研究[J].南方经济，2006，（2）：99-107.
[6]杨一文，刘贵忠.分形市场假说在沪深股票市场中的实证研究[J].当代经济科学，2002，
24（1）：75-79
[7]赖川波.中国股票市场时变Hurst指数及多重分形分析[D].杭州：浙江工商大学，2009.
1.2065 0.9831 0.92779，1.0384
q=-3 1.0477 0.97485，
1.1205 0.9238 0.8733， 0.97425
q=-2 0.9543 0.89645，
1.0121 0.8549 0.80953， 0.90024
q=-1 0.8645 0.82311， 0.90595 0.7810 0.74103， 0.82104
q=0 0.7987 0.76905， 0.82827 0.7039 0.66946， 0.73841
q=1 0.7511 0.72665， 0.77545 0.6234 0.59418， 0.65261
q=2 0.7096 0.68562， 0.73365 0.5423 0.51606， 0.56853
q=3 0.6704 0.64372，
0.6971 0.4709 0.44287， 0.499
q=4 0.6356 0.60491， 0.66632 0.4168 0.38425， 0.4494
q=5 0.6074 0.57272， 0.64202 0.3786 0.34162， 0.41556
q=6 0.5854 0.54746， 0.62327 0.3517 0.31124， 0.39224
q=7 0.5682 0.52777， 0.60865 0.3325 0.28924， 0.37565
q=8 0.5546 0.5122，
0.59695 0.3181 0.27284， 0.36339
q=9 0.5435 0.49961， 0.58734 0.3071 0.26021， 0.35397
q=10 0.5343 0.48923， 0.57926 0.2983 0.2502， 0.34647
对以上实证结果进行深入分析，可以得出以下结论：
（1）显著的不为常数，当q从-10变化为10时，欧洲航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.3004变为0.5343，美西航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.1474变为0.2983，说明两条序列存在较明显的多重分形特征，用单一分形模型对其进行描述是不精确的。
（2）=0.5为分界点，因为当时，序列存在负的长程相关性（反持久性），当时序列存在长程相关性（持久性）。对应欧洲航线衍生品价格收益序列，在的范围内均为，小幅度的波动是用大的广义赫斯特指数来描述，表现出持久性特征，突出了市场内在因素的作用。对应美西航线，时，，此时美西航线衍生品价格收益率的大幅波动呈现了呈现反持续性的一面，表现出反持久性特征，大幅度的波动是用小的广义赫斯特指数来描述，突出市场外部因素的作用。
（3）对于给定的阶数q，欧洲航线的广义赫斯特指数显著大于美西航线的广义赫斯特指数，说明欧洲航线衍生品价格收益率序列具有更强的状态持续性，更弱的反状态持续性。而且，美西航线衍生品价格收益率序列的广义赫斯特指数的波动范围较大，说明其多重分形特征较欧洲航线更为明显。
5 结论与展望
（1）本文证明了集装箱运价衍生品市场存在多重分形特征，佐证了传统的有效市场理论在集装箱运价衍生品市场的不适用。通过应用多重分形消除趋势波动分析方法（MF-DFA），对欧洲航线和美西航线运价衍生品收益率序列进行分析，发现欧洲航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.3004变为0.5343，美西航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.1474变为0.2983，说明两条序列存在较明显的多重分形特征，用单一分形模型对其进行描述是不精确的。
（2）本文对集装箱运价衍生品市场的多重分形特征分析，选取的对象是两条航线的交易日收盘价以及5分钟价格数据，而忽略了金融市场中比较重要的交易量的数据，未来的研究可以结合交易量的数据进行多重分形研究，建立量-价关系也是未来研究的方向之一。
（3）多重分形理论作为金融市场中重要的理论，在理论研究上国内外学者进行了广泛的研究，取得了丰硕的研究成果，未来有关多重分形理论如何应用的研究将成为热点之一。研究多重分形理论在航运运价衍生品的资产定价、风险控制、市场监管和价格预测等一系列的重大问题中的应用将是重要的研究领域。
参考文献
[1]Peters E E. Chaos and order in the capital markets [M].New York：John Wiley&Sons press，1991.
[2]B.B. Mandelbrot. New Methods in Statistical Economics [J]. Political Econ， 1963，71：421-440.
[3]苑萤.多重分形理论及其在中国股票市场中的应用研究[D].沈阳：东北大学，2007.
[4]苑莹，庄新田，金秀.多重分形理论在资本市场中的应用研究综述[J].管理学报，2010，7（9）：1397-1402.
[5]黄诒蓉.中国股市收益分形分布的实证研究[J].南方经济，2006，（2）：99-107.
[6]杨一文，刘贵忠.分形市场假说在沪深股票市场中的实证研究[J].当代经济科学，2002，
24（1）：75-79
[7]赖川波.中国股票市场时变Hurst指数及多重分形分析[D].杭州：浙江工商大学，2009.
1.2065 0.9831 0.92779，1.0384
q=-3 1.0477 0.97485，
1.1205 0.9238 0.8733， 0.97425
q=-2 0.9543 0.89645，
1.0121 0.8549 0.80953， 0.90024
q=-1 0.8645 0.82311， 0.90595 0.7810 0.74103， 0.82104
q=0 0.7987 0.76905， 0.82827 0.7039 0.66946， 0.73841
q=1 0.7511 0.72665， 0.77545 0.6234 0.59418， 0.65261
q=2 0.7096 0.68562， 0.73365 0.5423 0.51606， 0.56853
q=3 0.6704 0.64372，
0.6971 0.4709 0.44287， 0.499
q=4 0.6356 0.60491， 0.66632 0.4168 0.38425， 0.4494
q=5 0.6074 0.57272， 0.64202 0.3786 0.34162， 0.41556
q=6 0.5854 0.54746， 0.62327 0.3517 0.31124， 0.39224
q=7 0.5682 0.52777， 0.60865 0.3325 0.28924， 0.37565
q=8 0.5546 0.5122，
0.59695 0.3181 0.27284， 0.36339
q=9 0.5435 0.49961， 0.58734 0.3071 0.26021， 0.35397
q=10 0.5343 0.48923， 0.57926 0.2983 0.2502， 0.34647
对以上实证结果进行深入分析，可以得出以下结论：
（1）显著的不为常数，当q从-10变化为10时，欧洲航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.3004变为0.5343，美西航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.1474变为0.2983，说明两条序列存在较明显的多重分形特征，用单一分形模型对其进行描述是不精确的。
（2）=0.5为分界点，因为当时，序列存在负的长程相关性（反持久性），当时序列存在长程相关性（持久性）。对应欧洲航线衍生品价格收益序列，在的范围内均为，小幅度的波动是用大的广义赫斯特指数来描述，表现出持久性特征，突出了市场内在因素的作用。对应美西航线，时，，此时美西航线衍生品价格收益率的大幅波动呈现了呈现反持续性的一面，表现出反持久性特征，大幅度的波动是用小的广义赫斯特指数来描述，突出市场外部因素的作用。
（3）对于给定的阶数q，欧洲航线的广义赫斯特指数显著大于美西航线的广义赫斯特指数，说明欧洲航线衍生品价格收益率序列具有更强的状态持续性，更弱的反状态持续性。而且，美西航线衍生品价格收益率序列的广义赫斯特指数的波动范围较大，说明其多重分形特征较欧洲航线更为明显。
5 结论与展望
（1）本文证明了集装箱运价衍生品市场存在多重分形特征，佐证了传统的有效市场理论在集装箱运价衍生品市场的不适用。通过应用多重分形消除趋势波动分析方法（MF-DFA），对欧洲航线和美西航线运价衍生品收益率序列进行分析，发现欧洲航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.3004变为0.5343，美西航线衍生品价格收益率序列广义指数由1.1474变为0.2983，说明两条序列存在较明显的多重分形特征，用单一分形模型对其进行描述是不精确的。
（2）本文对集装箱运价衍生品市场的多重分形特征分析，选取的对象是两条航线的交易日收盘价以及5分钟价格数据，而忽略了金融市场中比较重要的交易量的数据，未来的研究可以结合交易量的数据进行多重分形研究，建立量-价关系也是未来研究的方向之一。
（3）多重分形理论作为金融市场中重要的理论，在理论研究上国内外学者进行了广泛的研究，取得了丰硕的研究成果，未来有关多重分形理论如何应用的研究将成为热点之一。研究多重分形理论在航运运价衍生品的资产定价、风险控制、市场监管和价格预测等一系列的重大问题中的应用将是重要的研究领域。
参考文献
[1]Peters E E. Chaos and order in the capital markets [M].New York：John Wiley&Sons press，1991.
[2]B.B. Mandelbrot. New Methods in Statistical Economics [J]. Political Econ， 1963，71：421-440.
[3]苑萤.多重分形理论及其在中国股票市场中的应用研究[D].沈阳：东北大学，2007.
[4]苑莹，庄新田，金秀.多重分形理论在资本市场中的应用研究综述[J].管理学报，2010，7（9）：1397-1402.
[5]黄诒蓉.中国股市收益分形分布的实证研究[J].南方经济，2006，（2）：99-107.
[6]杨一文，刘贵忠.分形市场假说在沪深股票市场中的实证研究[J].当代经济科学，2002，
24（1）：75-79
[7]赖川波.中国股票市场时变Hurst指数及多重分形分析[D].杭州：浙江工商大学，2009.
