对称铺设碳纤维复合板振动特性等效建模
王嘉伟 黄震宇 纪琳 张勤河
摘要：以多层对称铺设的碳纤维复合板为研究对象，首先依据经典层合板建模理论建立铺层材料参数与复合板刚度系数间的理论关系，推导出复合板等效刚度的简化计算表达式，从而构建了单层和多层复合板的动态特性简化模型。进而以固支边界的16层矩形碳纤维复合薄板的动态特性模拟为例，通过对比简化等效建模方法与传统有限元多层建模方法的计算一致性，初步验证了所提简化计算方法的准确性和有效性，并在此基础上分析比较了铺层数量和面积对等效前后计算耗时的影响。最后通过数例仿真，就铺层对称性对等效模型计算有效性范围的影响进行分析说明。该研究为进一步开展多层碳纤维板结构的声振特性研究提供了有力的理论建模及分析预测工具。
关键词：结构振动;碳纤维复合板;振动特性;等效建模;层合结构
中图分类号：O327;TB334文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）03-0533-07
DOI：10.16385/i.cnki.issn.1004-4523.2020.03.012
引言
碳纤维复合材料相比于传统的金属材料，具有重量轻、强度高等优异的力学性能，因此广泛应用于航空、汽车等领域。碳纤维复合板的振动特性对于结构设计、性能评估以及后续的声学特性研究具有重要的意义，因此，对于碳纤维复合板的建模计算成为一直以来的研究热点和关注点之一。
碳纤维材料属于正交各向异性材料，单层正交各向异性板振动研究采用Galcrkin法，研究纤维方向对固有模态的影响以及边界条件对振动响应的影响。Park等用Ritz法对单层碳纤维复合板振动特性进行了理论和实验研究，在低频时两者结果一致性较好。Sang等则在其基础上研究了纤维方向对振动特性的影响。在单层基础上，用Ritz法开展对多层碳纤维复合板振动特性的研究。工程应用中多使用相对于层合板中面铺设角度对称的对称铺层，可以保证因同方向上热膨胀系数相同保持板的平直而不会出现翘曲。有学者基于Ritz法和经典层合板理论研究在简支边界和其他边界条件下对称复合材料层合板关键参数对固有模态的影响。Pei等采用锤击实验法研究纤维方向对多层单向碳纤维复合板固有模态和阻尼比的影响规律。同时研究人员对于如斜板、有孔板等特殊形式的碳纤维复合板振动特性也进行了研究。但是多层建模计算耗时长，因此需要进行等效和简化。目前针对多层结构的等效和简化主要存在两种方式：第一种是计算多层复合材料的等效刚度，等效为单层匀质材料进行研究;第二种是将多层匀质材料复合结构（例如桁架芯三明治板）等效為单层各向异性材料进行研究。
在多层碳纤维复合板的建模过程中需要各层的材料参数，事实上用不同加工工艺压制后的碳纤维板整体特性因加工工艺有差别难以用各层参数直接建模。依据标准D3039M-17通过拉伸测试等可获得碳纤维复合板整体结构的材料参数，但以目前的建模方式无法对碳纤维复合板的振动特性进行具体计算，且根据各层材料参数建模计算耗时也较长。因此需要一个能通过整体结构材料参数研究多层纤维板的振动特性并缩短计算时长的等效模型。
本文以碳纤维对称复合板为研究对象进行纤维复合材料振动特性的等效建模：首先基于经典层合板理论对碳纤维对称复合板结构分别进行多层结构和等效单层结构建模;进而以固支边界的16层矩形碳纤维复合薄板数例模型为例，分析比较了两种模型计算结果的一致性，并在此基础上对于铺层数量和面积对等效前后计算耗时的影响进行对比分析;最后通过数例就铺层对称性对等效模型计算有效性范围的影响进行了分析和说明。
1 等效单层模型的建立
1.1 基本假设
假定矩形板由N层纤维材料（正交各向异性）组成，在其中面建立笛卡尔直角坐标系δxyz，坐标原点位于层合板中面的边角上，其整体坐标系厚度方向上的几何表示如图1所示。总厚度为H，每层厚度为h，第k层下表面在Z方向上的坐标为zk，上表面的坐标为Zk+1，每层的厚度相同。板在x方向的长度为a，在y方向的长度为b。对于图2所示的单一正交各向异性层，定义纤维轴向为a，平面内垂直纤维轴向为β，平面外垂直纤维轴向为r（r方向与整体坐标系中的z方向重合），θ为层内纤维方向与x轴之间的夹角。
在建立层合板理论模型之初，首先对层合板引入以下理想假定条件：
1）铺层之间黏结无缝隙，黏结层厚度忽略不计，各层之间变形连续;
2）各铺层厚度均匀，且变形量远小于结构尺寸;
3）铺层厚度方向的正应力δz相较于δx，δy较小，可忽略不计。
经典层合板理论对应的位移场函数为
假定变形前垂直于中面的线段在板变形后仍垂直于变形后的中面且长度不变。
1.2 本构方程
由假定3），可忽略剪切变形的影响而仅考虑面内弯曲变形，那么，每层正交各向异性材料结构的应力应变关系为
由于层压结构是由多个正交各向异性铺层构成的，每层的纤维坐标系与整体坐标系并不一定重合，其Cij应转化为全局坐标上的Cij，第k层在整体坐标系中的应力-应变关系为
依据假定条件1）和2），在微小应变条件下，每层结构可视为具有相同的应变量，因此整体结构所受的应力可视为每层结构所受应力的叠加，从而对于整体结构而言，应力-应变关系即公式（3）可表示为
1.3 运动方程
对于对称铺层结构，依据假定条件1），当不考虑层间耦合作用，且忽略剪切作用的影响，仅考虑面内弯曲变形时，板的运动方程可表达为
由公式（11），（12）可知，在边界条件、结构参数不变的情况下，多层纤维板的固有模态和振动响应与刚度系数Dij有关。若要多层正交各向异性结构建模与等效单层正交各向异性结构建模得到相同的固有模态和振动响应结果，则需两种模型结构的刚度系数相同，即
假定多层结构总层数为N，对于对称铺层结构，关于中面相对称的铺层的刚度系数Dij相同，因此仅需将一半结构的应力-应变关系矩阵叠加，取叠加结果的2倍为最终结果即可。因此假定多层结构中面在x轴正方向上的铺层为第1层，公式（5）中应力-应变关系矩阵中各元素的表达式为
由上述理论分析过程可见：在复合板振动响应的一般计算中，刚度系数是通过在每个频率点处进行逐层积分计算并叠加获得的，而利用公式（8）和（14）是先进行简单的叠加计算而后进行单层积分完成，因此，本等效计算方法能够有效降低计算难度并提高计算效率。尤其是在建立有限元模型时，多层建模由于每层材料厚度极小，导致整体单元数巨大，采用等效建模方法可大大减少整体单元数量，且层数越多缩减幅度越大。关于计算时长的对比将在下节中的数例分析中体现。
2 等效简化模型的有效性验证及应用分析
2.1 数例计算及说明
本节以16层矩形碳纤维复合薄板模型为例，对于等效简化模型的计算准确性和有效性进行初步的仿真验证。板的边界条件假定为四端固支，尺寸（以下默认长度单位都为mm）长×宽×高为400mm×300mm×3.2inm，每层材料参数及厚度均相同，即：Eα=116.35GPa，Eβ=6.49GPa，vαβ=0.29，Gαβ=3.85GPa，P=1450kg/m3，hk=0.2.纤维铺设排布为（45°/-45°/0°/90°/90°/0°/-45°/45°）symmetry而由公式（14）计算得到的等效单层正交各向异性板模型的材料参数分别为Ex=38.6GPa，Ey=40.82GPa，vxy=0.365，Gxy=19.32GPa，p=1450kg/m3。
在固支邊界条件下，公式（10）中x，y方向上的振型函数表达式分别为：
板上选取激励点（xe，ye）和响应点（xr，yr）的位置分别为（100，160）和（316，74）。由板的各层材料参数和由公式（14）获得的等效单层材料参数，分别计算多层纤维板和等效单层正交各向异性板的固有频率以及板在激励点与响应点位置处的输入导纳。同时使用商业软件COMSOL 5.3aSolid模块建立两种板的有限元仿真模型，分别进行固有模态以及频率响应函数的计算，计算结果对比如下。
表1和图3，4中分别为多层纤维板有限元模型、等效单层纤维板的有限元模型以及多层和等效单层理论模型的计算结果，可见：四种模型的振动响应计算结果基本一致，从而较好地体现了该等效建模方式的有效性，尤其对于有着10层以上铺层数的碳纤维复合板结构，该建模方式具有直接的理论借鉴意义。
2.2 计算耗时对比
为了进一步探讨该等效建模方式所具有的计算优越性，本节采用商业软件COMSOL 5.3a Solid模块，先后建立了多层和等效单层纤维板有限元模型，针对纤维板铺层层数和纤维板面积对两种模型计算耗时的影响进行对比分析。所用计算机工作站内存为128GB，处理器是Inter i7-6800K CPU@3.40GHz。
首先保持纤维板面积为400×300mm2不变，每层厚度hk=0.2mm，从4层开始逐渐增加铺层层数至16层，得到两种模型计算耗时比与铺层层数的关系曲线，如图5（a）所示。由图可见，等效单层建模相较于多层建模计算时长缩短倍数在4层时为11倍，到了增加16层时为90倍。这是由于传统多层建模方法的单元数随铺层层数的增加而增加，因此，计算时长也随之增加;相比之下等效单层建模单元数不变，计算时长与层数无关，因而耗时能够基本保持不变。
图5（b）表示在纤维板层数为4层、每层厚度hk=0.2mm的条件下，铺层面积由400×300mm2逐渐增大所对应的两种模型计算耗时比的关系曲线。结果表明，等效单层建模相较于多层建模计算时长缩短倍数维持在12倍左右。这是由于两种模型单元数量均呈指数增长，所以等效多层和等效单层建模计算时长均随面积增大而增加，尽管如此，等效简化模型依然表现出了良好的计算优势。
3 应用局限性分析
铺层角度排布对多层纤维板的整体固有模态以及振动响应有着重要的影响，合理的排布才能满足强度和稳定性要求。为了进一步了解本等效建模方法的计算精度受铺层排布角度的影响关系，本文以下内容针对三种特殊铺层的数例进行了仿真计算对比，以说明新建模方法的适用铺层范围。
数例采用长×宽尺寸为400×300mm2的矩形薄板，每层厚度和材料参数均相同，具体为：Eα=116.35GPa，Eβ=6.49GPa，vαβ=0.29，Gαβ=3.85GPa，p=1450kg/m3，hk=0.2mm;三种纤维排布方式分别为θ=（0°/90°/0°/0°/90°/0°），（0°/45°/-45°/-45°/45°/0°）和（0°/45°/90°/90°/45°/0°）。采用两种建模方式的有限元计算的固有频率和振型对比情况如表2-4所示。
仿真计算结果表明：当多层纤维板的±45°铺层数量不一致或±土45°总铺层数量与0°和90°的总铺层数量不一致时，两种建模方式间有着较大计算差异。这是由于等效单层模型将多层纤维板等效为单层正交各向异性板，当多层纤维板的±45°铺层数量不一致或±45°总铺层数量与0°和90°的总铺层数量不一致时，板总体表现为各向异性而非正交各向异性，因此在这两种情况下本文的等效方法的计算精度降低。但由于上述两种特殊情况并不符合实际工程中对于复合板的强度和稳定性要求，在实际工程中极少遇到，因此，实际碳纤维板的铺层角度排布一般均能够满足本等效方法的计算有效性要求。
另外需要指出的是：本文所提出的简化建模理论是以理想假定条件下的复合薄板动态特性为主要研究对象，即：不考虑复合板局部动态特性间的差异、不考虑复合材料非线性、不考虑材料特性及边界条件的不确定性等。因此，该等效建模方法对于实际工程结构的有效性和适用性程度尚有待于进一步的理论发展及实验验证。
4 结论
本文以经典层合板理论为出发点，研究探讨了对称铺设纤维复合板振动特性简化等效模拟的新理论方法，依据经典层合板建模理论中铺层材料参数与复合板刚度系数间的理论关系，推导出了复合板等效刚度的简化计算表达式，从而能够在保持刚度系数不变的情况下，将对称铺设碳纤维复合板建模简化为单层纤维板建模。解析和有限元数例计算均表明：模型等效前后计算得出的固有模态和振动响应均有着较好的一致性，且新模型亦能够有效适用于工程中常用的10层以上的对称铺设纤维复合板的振动特性模拟。同时，通过铺设层数和铺设面积对于新模型计算时长的影响的数例研究，初步展示了新模型优良的计算性能。最后，对于新模型的应用条件及适用范围以数例计算的形式进行了简要阐述和说明。本研究为进一步开展多层碳纤维板结构的声振特性研究提供了有力的理论建模及分析预测工具。
