非确知目标先验知识条件下MIMO雷达稳健波形设计
周子昂+徐坤+刘玉春+王洪雁
摘 要： 考虑稳健波形优化问题以提高多输入多输出雷达最差条件下参数估计精度。基于最小?最大方法，将初始参数误差模型显式包含进波形优化问题，并基于克拉美?罗界得到稳健波形设计。为求解得到的复杂非线性优化问题，基于哈达玛不等式将其转化为半定规划问题，从而可高效求解。仿真结果表明，与不相关发射波形以及非稳健方法相比，所提方法可显著改善最差条件下参数的估计性能。
关键词： 多输入多输出雷达； 稳健波形设计； 凸松弛； 参数估计； 半定规划
中图分类号： TN951?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）17?0011?04
Optimization design for robust waveform of MIMO radar under condition
of uncertain target prior knowledge
ZHOU Ziang1， XU Kun2， LIU Yuchun1， WANG Hongyan3
（1. School of Mechanical and Electrical Engineering， Zhoukou Normal University， Zhoukou 466000， China；
2. School of Network Engineering， Zhoukou Normal University， Zhoukou 466000， China；
3. College of Information and Engineering， Dalian University， Dalian 116622， China）
Abstract： The robust waveform optimization is considered to improve the parameter estimation accuracy of multiple?input and multiple?output （MIMO） radar under worst condition. On the basis of the min?max approach， the initial parameter error model is contained in the waveform optimization explicitly， and the robust waveform design is obtained on the basis of Cramér?Rao bound （CRB）. To solve the obtained complicated and nonlinear optimization problem， it is converted into the semi?definite programming （SDP） problem by means of Hadamard′s inequality to get the efficient solution. The simulation results show that， in comparison with the uncorrelated transmitted waveform and non?robust method， the method can improve the parameter estimation performance under worst condition.
Keywords： multiple?input and multiple?output radar； robust waveform design； convex relaxation； parameter estimation； semi?definite programming
0 引 言
近些年来，收发器均采用多个天线单元的多输入多输出（MIMO）雷达，其已成为国内外雷达信号处理领域的研究热点[1?8]。MIMO雷达可以利用发射单元发射任意波形，即波形分集 [1]。根据收发阵元间距，MIMO雷达可分为分置MIMO雷达[2]及共置MIMO雷达[1]两类。MIMO雷达相对于相控阵雷达具有明显优势，比如更好的参数辨识性能[3]及更加灵活的波束方向图设计[4?8]。本文考虑共置MIMO雷达。
由上述可知，发射波形在较大程度上决定了MIMO雷达的性能。因而，近年来波形设计已然成为MIMO雷达领域中的关键问题之一[4?8]。根据优化目标，现有方法可分为仅设计波形[4?5]及波形和接收器联合设计[6?8]两类。文献[4]设计波形相关阵（WCM），文献[5]则考虑了恒模信号设计。基于不同设计准则，如最小化克拉美?罗界（CRB）迹，文献[6]在无杂波场景下优化波形，文献[7]则基于约束CRB（Constrained CRB）在杂波场景下优化波形。文献[8]采用发射波形和接收器的联合优化以改善系统的参数估计性能。
文献[6]优化发射波形以改善系统参数估计性能，文献[7]则在杂波场景下考虑了此问题。很明显，求解此类问题需要某些参数的确切值，比如目标位置等，然而，这些参数在工程中只能通过估计获得，从而存在不确定性。正如文献[6?7]仿真所述，基于优化波形得到的参数估计精度对此参数不确定性比较敏感，这说明基于某一参数估计值得到的优化波形会在更合理的估计值条件下表现出较差的参数估计性能。
综上所述提出了如下问题：目标先验知识不确知场景下如何通过波形設计改善系统在最差条件下参数的估计性能。针对此问题，基于最小?最大方法，本文通过将参数估计误差模型显式地包含进波形设计中，基于最小化最差条件下Constrained CRB迹[9]准则，考虑了稳健波形优化问题，以减缓系统参数估计性能对初始参数估计误差的敏感性。在发射功率及参数不确定的凸集约束下，可得到稳健波形优化的数学表达，然而，此数学表达较为复杂[10]。为求解此复杂非线性优化问题，首先利用哈达玛不等式（Hadamard′s Inequality）[11]将目标函数分解为相互独立的子问题，而后，内层优化问题可转化为最小化问题。接着，内外层优化可联合转化为半定规划（SDP）问题[10]，从而此优化问题可利用诸如CVX等成熟优化工具箱得到高效求解[12]。
1 问题描述
本文采用的MIMO雷达信号模型与文献[7]相似，惟一不同的是此处模型不考虑杂波。在此条件下，MIMO雷达接收的信号可表述如下：
（1）
式中：为发射波形矩阵，为第个发射单元发射信号的离散基带表示，且采样数为和分别为个感兴趣目标的复幅度以及目标位置参数；为噪声加干扰，其每列可建模为独立同分布的圆对称复高斯随机向量，其均值为协方差矩阵为未知矩阵[6]表示第个目标信道矩阵，分别表示位于的目标接收和发射导向矢量。
现在考虑已知的条件下，未知参数的CRB，即所谓的Constrained CRB[9]，其可表示为（关于Constrained CRB的推导可见文献[7]）：
（2）
（3）
从式（3）可以看出，Constrained CRB是关于及噪声加干扰的函数。实际应用中，这些参数只能通过估计得到，因而存在误差。因此，基于某估计值的CRB得到的波形会在更合理的估计值条件下表现出较差的估计性能，此已在仿真中得到论证[6?7]。本文假设目标信道矩阵导数不确定但属于某一凸紧支集，可建模为：
（4）
式中：以及分别表示第个目标矩阵的真实和假设导数；为的误差，属于如下凸紧支集合：。为了不产生平凡解，本文假设。
基于以上讨论，改善最差条件下参数估计性能的稳健波形设计问题可简述如下：在关于WCM功率约束下，优化WCM以最小化凸集上最差条件下的CRB。基于迹准则[6]，此优化问题可描述为：
（5）
式中为总发射功率；第三个约束是由于实际中任意阵元发射功率大于等于0。明显地，式中的目标函数是关于以及的复杂非线性函数。因此，利用诸如凸优化[10]等传统方法比较难以求解。
2 基于Hadamard不等式的波形优化方法
本部分考虑如何得到非线性优化问题的一个最优解。为此，基于如下引理考虑目标函数：
引理1：（Hadamard不等式）[11]： 设为半正定厄米特矩阵，那么，成立，当且仅当为对角矩阵时，上述不等式成立。
根据引理1，式（5）中的最大化问题可松弛为：
（6）
从式（6）可知，第项加项仅依赖于。因此，此问题可表示为如下个相互独立的问题：
（7）
式中待优化参数为复数。为了方便求解，可将其转化为如下关于实数的问题：
（8）
式中：。由于为正定矩阵，因而亦为正定矩阵[11]。
明显地，为关于的凸函数[10]，则式（8）可等价为关于的最小化问题，即：
（9）
式中：为辅助变量；第一个约束可基于Schur补定理[11]，改写为如下线性矩阵不等式（LMI）：
（10）
式（10）可重写为：
（11）
式中：。
根据文献[13]中的引理2，式（11）可改写为如下LMI （）：
（12）
综上所述，优化问题式（5）可等价为如下的SDP问题：
（13）
为了得到最差条件下的信道矩阵导数，给定最优条件下，可得：
（14）
类似地，此问题等价于如下SDP问题：
（15）
将式（15）得到的以及式（13）得到的代入式（5），可得最差条件CRB。利用诸如文献[12]的CVX优化工具箱，式（13）以及式（15）可获得高效求解。
3 仿真结果及分析
基于文献[7]中的非稳健方法（忽略杂波）以及不相关波形，本节通过数值仿真从最差条件下参数估计改善性能及算法稳健性两个方面验证所提算法的有效性。
本实验基于3发3收MIMO雷达，其具有如下两种配置：MIMO雷达A（0.5，0.5）以及MIMO雷达B（1.5，0.5），括号中的参数分别为发射、接收阵列相邻阵元的间距（以波长为单位）。阵列信噪比（ASNR）为取值为其中为白噪声方差。干扰位于目标位于。从第2节可知，构建CRB须基于初始目标位置参数估计，有许多方法可对目标位置进行估计（参见文献[14]）。
以下仿真中，考虑仅存在初始角度估计误差场景下的算法有效性（其他未知参数情况类似）。在此场景中，假设初始角度估计值具有如下误差：，即，其中为的估计值。经过计算可得，对于MIMO雷达（0.5，0.5），而对于MIMO雷达（1.5，0.5），。
图1为ASNR=10 dB时所提方法得到的发射波束方向图。
最优发射波束方向图
从图1可知，该方法在目标附近放置一个峰值，此即意味着凸不确定集上MIMO雷达的最差参数估计性能可得到改善。此外，由图1（b）可得， MIMO雷达B可产生栅瓣，这是由于稀疏发射阵列所致。
为验证最差条件下的参数估计性能，所提方法，非相关波形以及基于完备目标信道知识的非稳健方法得到的CRB随ASNR变化如图2所示。
非稳健方法得到的最壞情况下的CRB随ASNR变化
无论ASNR为何值，所提方法明显优于非相关波形，这是由于优化波形将发射能量集中于目标信道不确定集，而非相关波形则全向发射。此外，所提方法与非稳健方法得到最坏条件下CRB差距较小，说明所提方法可有效改善最坏条件下参数的估计性能。另外，比较图2（a）与图2（b）可知，MIMO雷达B的CRB比雷达A的小，这是由于前者虚拟接收阵列孔径比后者大[1]。
图3为所提方法得到的最差CRB均值随ASNR的变化（100次蒙特卡洛试验）。由图3可知，所提方法相比于非稳健、非相关波形有更好的最坏条件下CRB，换言之，所提方法关于有较好的稳健性能。
4 结 论
本文研究了稳健MIMO雷达波形优化问题，通过将参数不确定集显式地包含进波形优化问题，并基于constrained CRB以改善最差条件下参数估计性能。针对所得复杂非线性问题，本文提出一种基于Hadamard不等式方法求解此问题，所提方法可将此问题转化为SDP问题，从而高效求解。仿真结果表明，与非稳健方法以及非相关波形相比，所提方法可显著降低最差条件下CRB，从而改善参数估计的稳健性能。
参考文献
[1] TANG B， NAGHSH M M， TANG J. Relative entropy?based waveform design for MIMO radar detection in the presence of clutter and interference [J]. IEEE transactions on signal processing， 2015， 63（14）： 3783?3796.
[2] RADMARD M， CHITGARHA M M， NAZARI MAJD M， et al. Ambiguity function of MIMO radar with widely separated antennas [C]// Proceedings of the 15th International Radar Symposium. [S.l.： s.n.]， 2015： 1?5.
[3] CHAN F K W， SO H C， HUANG L， et al. Parameter estimation and identifiability in bistatic multiple?input multiple?output radar [J]. IEEE transactions on aerospace and electronic system， 2015， 51（3）： 2047?2056.
[4] FUHRMANN D R， ANTONIO G S. Transmit beamforming for MIMO radar systems using signal cross?correlation [J]. IEEE transactions on aerospace and electronic system， 2008， 44（1）： 171?186.
[5] CUI G， LI H， RANGASWAMY M. MIMO radar waveform design with constant modulus and similarity constraints [J]. IEEE transactions on signal processing， 2014， 62（2）： 343?353.
[6] LI J， XU L， STOICA P， et al. Range compression and waveform optimization for MIMO radar： a Cramer?Rao bound based study [J]. IEEE transactions on signal processing， 2008， 56（1）： 218?232.
[7] WANG H， LIAO G， LI J， et al. Waveform optimization for MIMO radar based on Cramér?Rao bound in the presence of clutter [J]. IEICE transactions on communications， 2012， 95（6）： 2087?2094.
[8] LIU J， LI H B， HIMED B. Joint optimization of transmit and receive beamforming in active arrays [J]. IEEE transactions on signal processing letters， 2014， 21（1）： 39?42.
[9] STOICA P， BOON C N. On the Cramér?Rao bound under parametric constraints [J]. IEEE transactions on signal processing letters， 1998， 5（2）： 177?179.
[10] YU Z， GU Z， SER W， et al. Convex optimization and its applications in robust adaptive beamforming [C]// Proceedings of the 9th International Conference on Information， Communications and Signal Processing. Taiwan， China： IEEE， 2013： 1?5.
[11] HORN R A， JOHNSON C R. Matrix analysis [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 1985.
[12] GRANT M， BOYD S. CVX： Matlab software for disciplined convex programming [EB/OL]. [2013?02?10]. http：//www.cvxr.com/cvx.
[13] ELDAR Y C， MERHAV N. A competitive mini?max approach to robust estimation of random parameters [J]. IEEE transactions on signal processing， 2004， 52（7）： 1931?1946.
[14] XU L， LI J， STOICA P. Adaptive techniques for MIMO radar [C]// Proceedings of the 4th IEEE Workshop on Sensor Array and Multi?Channel Processing. Waltham： IEEE， 2006： 1?4.
摘 要： 考虑稳健波形优化问题以提高多输入多输出雷达最差条件下参数估计精度。基于最小?最大方法，将初始参数误差模型显式包含进波形优化问题，并基于克拉美?罗界得到稳健波形设计。为求解得到的复杂非线性优化问题，基于哈达玛不等式将其转化为半定规划问题，从而可高效求解。仿真结果表明，与不相关发射波形以及非稳健方法相比，所提方法可显著改善最差条件下参数的估计性能。
关键词： 多输入多输出雷达； 稳健波形设计； 凸松弛； 参数估计； 半定规划
中图分类号： TN951?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）17?0011?04
Optimization design for robust waveform of MIMO radar under condition
of uncertain target prior knowledge
ZHOU Ziang1， XU Kun2， LIU Yuchun1， WANG Hongyan3
（1. School of Mechanical and Electrical Engineering， Zhoukou Normal University， Zhoukou 466000， China；
2. School of Network Engineering， Zhoukou Normal University， Zhoukou 466000， China；
3. College of Information and Engineering， Dalian University， Dalian 116622， China）
Abstract： The robust waveform optimization is considered to improve the parameter estimation accuracy of multiple?input and multiple?output （MIMO） radar under worst condition. On the basis of the min?max approach， the initial parameter error model is contained in the waveform optimization explicitly， and the robust waveform design is obtained on the basis of Cramér?Rao bound （CRB）. To solve the obtained complicated and nonlinear optimization problem， it is converted into the semi?definite programming （SDP） problem by means of Hadamard′s inequality to get the efficient solution. The simulation results show that， in comparison with the uncorrelated transmitted waveform and non?robust method， the method can improve the parameter estimation performance under worst condition.
Keywords： multiple?input and multiple?output radar； robust waveform design； convex relaxation； parameter estimation； semi?definite programming
0 引 言
近些年来，收发器均采用多个天线单元的多输入多输出（MIMO）雷达，其已成为国内外雷达信号处理领域的研究热点[1?8]。MIMO雷达可以利用发射单元发射任意波形，即波形分集 [1]。根据收发阵元间距，MIMO雷达可分为分置MIMO雷达[2]及共置MIMO雷达[1]两类。MIMO雷达相对于相控阵雷达具有明显优势，比如更好的参数辨识性能[3]及更加灵活的波束方向图设计[4?8]。本文考虑共置MIMO雷达。
由上述可知，发射波形在较大程度上决定了MIMO雷达的性能。因而，近年来波形设计已然成为MIMO雷达领域中的关键问题之一[4?8]。根据优化目标，现有方法可分为仅设计波形[4?5]及波形和接收器联合设计[6?8]两类。文献[4]设计波形相关阵（WCM），文献[5]则考虑了恒模信号设计。基于不同设计准则，如最小化克拉美?罗界（CRB）迹，文献[6]在无杂波场景下优化波形，文献[7]则基于约束CRB（Constrained CRB）在杂波场景下优化波形。文献[8]采用发射波形和接收器的联合优化以改善系统的参数估计性能。
文献[6]优化发射波形以改善系统参数估计性能，文献[7]则在杂波场景下考虑了此问题。很明显，求解此类问题需要某些参数的确切值，比如目标位置等，然而，这些参数在工程中只能通过估计获得，从而存在不确定性。正如文献[6?7]仿真所述，基于优化波形得到的参数估计精度对此参数不确定性比较敏感，这说明基于某一参数估计值得到的优化波形会在更合理的估计值条件下表现出较差的参数估计性能。
综上所述提出了如下问题：目标先验知识不确知场景下如何通过波形設计改善系统在最差条件下参数的估计性能。针对此问题，基于最小?最大方法，本文通过将参数估计误差模型显式地包含进波形设计中，基于最小化最差条件下Constrained CRB迹[9]准则，考虑了稳健波形优化问题，以减缓系统参数估计性能对初始参数估计误差的敏感性。在发射功率及参数不确定的凸集约束下，可得到稳健波形优化的数学表达，然而，此数学表达较为复杂[10]。为求解此复杂非线性优化问题，首先利用哈达玛不等式（Hadamard′s Inequality）[11]将目标函数分解为相互独立的子问题，而后，内层优化问题可转化为最小化问题。接着，内外层优化可联合转化为半定规划（SDP）问题[10]，从而此优化问题可利用诸如CVX等成熟优化工具箱得到高效求解[12]。
1 问题描述
本文采用的MIMO雷达信号模型与文献[7]相似，惟一不同的是此处模型不考虑杂波。在此条件下，MIMO雷达接收的信号可表述如下：
（1）
式中：为发射波形矩阵，为第个发射单元发射信号的离散基带表示，且采样数为和分别为个感兴趣目标的复幅度以及目标位置参数；为噪声加干扰，其每列可建模为独立同分布的圆对称复高斯随机向量，其均值为协方差矩阵为未知矩阵[6]表示第个目标信道矩阵，分别表示位于的目标接收和发射导向矢量。
现在考虑已知的条件下，未知参数的CRB，即所谓的Constrained CRB[9]，其可表示为（关于Constrained CRB的推导可见文献[7]）：
（2）
（3）
从式（3）可以看出，Constrained CRB是关于及噪声加干扰的函数。实际应用中，这些参数只能通过估计得到，因而存在误差。因此，基于某估计值的CRB得到的波形会在更合理的估计值条件下表现出较差的估计性能，此已在仿真中得到论证[6?7]。本文假设目标信道矩阵导数不确定但属于某一凸紧支集，可建模为：
（4）
式中：以及分别表示第个目标矩阵的真实和假设导数；为的误差，属于如下凸紧支集合：。为了不产生平凡解，本文假设。
基于以上讨论，改善最差条件下参数估计性能的稳健波形设计问题可简述如下：在关于WCM功率约束下，优化WCM以最小化凸集上最差条件下的CRB。基于迹准则[6]，此优化问题可描述为：
（5）
式中为总发射功率；第三个约束是由于实际中任意阵元发射功率大于等于0。明显地，式中的目标函数是关于以及的复杂非线性函数。因此，利用诸如凸优化[10]等传统方法比较难以求解。
2 基于Hadamard不等式的波形优化方法
本部分考虑如何得到非线性优化问题的一个最优解。为此，基于如下引理考虑目标函数：
引理1：（Hadamard不等式）[11]： 设为半正定厄米特矩阵，那么，成立，当且仅当为对角矩阵时，上述不等式成立。
根据引理1，式（5）中的最大化问题可松弛为：
（6）
从式（6）可知，第项加项仅依赖于。因此，此问题可表示为如下个相互独立的问题：
（7）
式中待优化参数为复数。为了方便求解，可将其转化为如下关于实数的问题：
（8）
式中：。由于为正定矩阵，因而亦为正定矩阵[11]。
明显地，为关于的凸函数[10]，则式（8）可等价为关于的最小化问题，即：
（9）
式中：为辅助变量；第一个约束可基于Schur补定理[11]，改写为如下线性矩阵不等式（LMI）：
（10）
式（10）可重写为：
（11）
式中：。
根据文献[13]中的引理2，式（11）可改写为如下LMI （）：
（12）
综上所述，优化问题式（5）可等价为如下的SDP问题：
（13）
为了得到最差条件下的信道矩阵导数，给定最优条件下，可得：
（14）
类似地，此问题等价于如下SDP问题：
（15）
将式（15）得到的以及式（13）得到的代入式（5），可得最差条件CRB。利用诸如文献[12]的CVX优化工具箱，式（13）以及式（15）可获得高效求解。
3 仿真结果及分析
基于文献[7]中的非稳健方法（忽略杂波）以及不相关波形，本节通过数值仿真从最差条件下参数估计改善性能及算法稳健性两个方面验证所提算法的有效性。
本实验基于3发3收MIMO雷达，其具有如下两种配置：MIMO雷达A（0.5，0.5）以及MIMO雷达B（1.5，0.5），括号中的参数分别为发射、接收阵列相邻阵元的间距（以波长为单位）。阵列信噪比（ASNR）为取值为其中为白噪声方差。干扰位于目标位于。从第2节可知，构建CRB须基于初始目标位置参数估计，有许多方法可对目标位置进行估计（参见文献[14]）。
以下仿真中，考虑仅存在初始角度估计误差场景下的算法有效性（其他未知参数情况类似）。在此场景中，假设初始角度估计值具有如下误差：，即，其中为的估计值。经过计算可得，对于MIMO雷达（0.5，0.5），而对于MIMO雷达（1.5，0.5），。
图1为ASNR=10 dB时所提方法得到的发射波束方向图。
最优发射波束方向图
从图1可知，该方法在目标附近放置一个峰值，此即意味着凸不确定集上MIMO雷达的最差参数估计性能可得到改善。此外，由图1（b）可得， MIMO雷达B可产生栅瓣，这是由于稀疏发射阵列所致。
为验证最差条件下的参数估计性能，所提方法，非相关波形以及基于完备目标信道知识的非稳健方法得到的CRB随ASNR变化如图2所示。
非稳健方法得到的最壞情况下的CRB随ASNR变化
无论ASNR为何值，所提方法明显优于非相关波形，这是由于优化波形将发射能量集中于目标信道不确定集，而非相关波形则全向发射。此外，所提方法与非稳健方法得到最坏条件下CRB差距较小，说明所提方法可有效改善最坏条件下参数的估计性能。另外，比较图2（a）与图2（b）可知，MIMO雷达B的CRB比雷达A的小，这是由于前者虚拟接收阵列孔径比后者大[1]。
图3为所提方法得到的最差CRB均值随ASNR的变化（100次蒙特卡洛试验）。由图3可知，所提方法相比于非稳健、非相关波形有更好的最坏条件下CRB，换言之，所提方法关于有较好的稳健性能。
4 结 论
本文研究了稳健MIMO雷达波形优化问题，通过将参数不确定集显式地包含进波形优化问题，并基于constrained CRB以改善最差条件下参数估计性能。针对所得复杂非线性问题，本文提出一种基于Hadamard不等式方法求解此问题，所提方法可将此问题转化为SDP问题，从而高效求解。仿真结果表明，与非稳健方法以及非相关波形相比，所提方法可显著降低最差条件下CRB，从而改善参数估计的稳健性能。
参考文献
[1] TANG B， NAGHSH M M， TANG J. Relative entropy?based waveform design for MIMO radar detection in the presence of clutter and interference [J]. IEEE transactions on signal processing， 2015， 63（14）： 3783?3796.
[2] RADMARD M， CHITGARHA M M， NAZARI MAJD M， et al. Ambiguity function of MIMO radar with widely separated antennas [C]// Proceedings of the 15th International Radar Symposium. [S.l.： s.n.]， 2015： 1?5.
[3] CHAN F K W， SO H C， HUANG L， et al. Parameter estimation and identifiability in bistatic multiple?input multiple?output radar [J]. IEEE transactions on aerospace and electronic system， 2015， 51（3）： 2047?2056.
[4] FUHRMANN D R， ANTONIO G S. Transmit beamforming for MIMO radar systems using signal cross?correlation [J]. IEEE transactions on aerospace and electronic system， 2008， 44（1）： 171?186.
[5] CUI G， LI H， RANGASWAMY M. MIMO radar waveform design with constant modulus and similarity constraints [J]. IEEE transactions on signal processing， 2014， 62（2）： 343?353.
[6] LI J， XU L， STOICA P， et al. Range compression and waveform optimization for MIMO radar： a Cramer?Rao bound based study [J]. IEEE transactions on signal processing， 2008， 56（1）： 218?232.
[7] WANG H， LIAO G， LI J， et al. Waveform optimization for MIMO radar based on Cramér?Rao bound in the presence of clutter [J]. IEICE transactions on communications， 2012， 95（6）： 2087?2094.
[8] LIU J， LI H B， HIMED B. Joint optimization of transmit and receive beamforming in active arrays [J]. IEEE transactions on signal processing letters， 2014， 21（1）： 39?42.
[9] STOICA P， BOON C N. On the Cramér?Rao bound under parametric constraints [J]. IEEE transactions on signal processing letters， 1998， 5（2）： 177?179.
[10] YU Z， GU Z， SER W， et al. Convex optimization and its applications in robust adaptive beamforming [C]// Proceedings of the 9th International Conference on Information， Communications and Signal Processing. Taiwan， China： IEEE， 2013： 1?5.
[11] HORN R A， JOHNSON C R. Matrix analysis [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 1985.
[12] GRANT M， BOYD S. CVX： Matlab software for disciplined convex programming [EB/OL]. [2013?02?10]. http：//www.cvxr.com/cvx.
[13] ELDAR Y C， MERHAV N. A competitive mini?max approach to robust estimation of random parameters [J]. IEEE transactions on signal processing， 2004， 52（7）： 1931?1946.
[14] XU L， LI J， STOICA P. Adaptive techniques for MIMO radar [C]// Proceedings of the 4th IEEE Workshop on Sensor Array and Multi?Channel Processing. Waltham： IEEE， 2006： 1?4.
