随机脉动风场的谱表示降维模拟
刘章军 刘增辉
摘要：基于正交随机变量的谱表示，引入随机函数的约束条件，提出了随机脉动风场模拟的谱表示降维方法。从谱表示模拟公式中所需随机变量的数量及约束条件两方面，厘清了经典谱表示与基于正交随机变量谱表示的区别。将正交随机变量集表达为两个基本随机变量的正交函数形式，使基于正交随机变量谱表示的随机度从数万降低为2，极大地减少了随机脉动风场模拟的计算量。通过构造两类不同的正交随机函数形式，分别对高层建筑沿高度变化的水平向脉动风场进行模拟，均能获得较高的模拟精度，检验了此方法的有效性。研究表明：此方法仅需2个基本随机变量即可在密度层次上反映脉动风场的概率特性，且生成的233条代表性时程构成一个完备的概率集，进而可结合概率密度演化理论进行工程结构抗风可靠度精细化分析。
关键词：脉动风场；随机振动；谱表示；随机函数；降维模拟
中图分类号：TU312+1；0324 文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2018）01-0049-08
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.006
引言
在结构风工程中，作用于结构的脉动风荷载具有显著的动力特性和时空分布特性，通常采用时一空随机场来描述。随机脉动风场的模拟是工程结构抗风设计的首要任务，谱表示法因理论完善、算法简单、计算精度高而被广泛用于随机风场的模拟。
谱表示法最早可追溯到1944年Rice对一维单变量随机噪声的数学分析。1971年，Shinozuka正式提出谱表示法的概念，并模拟了多维单变量时一空随机场，在具体实施中，将时一空随机场离散为一维多变量平稳向量过程。谱表示法在模拟一维多变量向量过程时，其核心思想是通过功率谱密度矩阵的cholesky分解，将一维多变量向量过程转化为多个不相干的一维单变量随机过程，并由一系列随机相位角调制的谐波叠加来加以模拟。由于存在大量的cholesky分解和谐波叠加导致谱表示法计算效率低，Yang于1972年引入FFT算法，极大地提高了谐波叠加的效率。shinozuka等（1991，1996）分别对谱表示法模拟一维单变量过程和多维单变量随机场的原理作了深入阐述，并对模拟结果的高斯性、无偏性及各态历经性进行了分析。为保证模拟结果的各态历经性，Deodatis（1996）引入双索引频率的概念，并结合FFT算法提高谐波叠加的效率，这一改进使得谱表示法成为一维多变量向量过程模拟的经典方法。另一方面，为提高cholesky分解的效率，cao等（2000）和Huang等（2013）分别建议了一类功率谱密度矩阵chol-esky分解的显示表达；罗俊杰等（2008）和吴勇信等（2013）利用插值技术也在一定程度上减少了功率谱密度矩阵cholesky分解的计算量。事实上，经典的谱表示法在本质上属于Monte carlo模拟方法，虽然从理论上看，Monte Carlo方法的效率和基本随机变量的维数无关，然而，几乎所有的伪随机数生成方法都难以处理维数很高的基本随机变量间题，因此，为保证模拟的精度，往往需要进行大量的随机抽样。数量巨大的样本不仅增加了随机模拟的计算量，也极大地增加了结构随机动力响应计算的工作量。
近年来，为克服随机过程谱表示法计算量大的问题，陈建兵和李杰提出了随机谐和函数表达方法，并对谱表示法的频率选点进行了优化；李杰等从物理建模的角度出发，建立了脉动风速场的物理随机函数模型，用若干基本随机变量表达脉动风速场。同时，笔者从数学建模的角度，通过引入随机函数的约束条件，初步建立了工程随机动力作用的概率模型，实现了仅用1～2个基本随机变量即可模拟一维单变量随机过程的目的，极大地降低了随机过程模拟的随机度，并结合概率密度演化理论，对工程结构的抗震可靠度作了定量分析。在此基础上，本文进一步将随机函数思想拓展到随机风场的模拟，实现对随机脉动风场模拟的谱表示降维处理，从而为结构风荷载提供一种更为高效的模拟方法。
1基于正交随机变量的谱表示
与经典的谱表示法相比，尽管基于正交随机变量的谱表示在描述时一空随机场时所需随机变量的数量更多（比经典谱表示法多1倍），计算量更大；但从随机变量的约束条件来看，基于正交随机变量的谱表示中随机变量的约束条件（式（12））要弱于经典的谱表示法。事实上，式（12）仅要求随机变量满足正交性条件，而对其概率分布未作要求；在经典谱刘章军，等：随机脉动风场的谱表示降维模拟表示法中，随机相位角必须满足区间（0，2π]上的均匀分布。为此，可对正交随机变量集施加适当的约束条件（随机函数），以实现平稳向量过程模拟的谱表示降维，进而有效减少模拟次数。
2正交随机变量集的降维表达
3脉动风场数值模拟
利用数论方法选取基本随机变量的代表性点集时，基本随机变量的每一个代表性点都具有确定的赋得概率，且所选的代表性点集构成一个完备的概率集，因而本文方法生成的脉动风速代表性时程能够包含脉动风场的完备概率信息。根据概率密度演化理论，对于保守的随机系统，其随机性来源于系统参数的随机性和外部激励的随机性，本文方法不仅可以精细地描述随机系统外部激励的随机性，也可以同时描述系统参数的随机性，因而可结合概率密度演化理论进行结构随机风振响应及抗风可靠度精细化分析。
为分析方便，本文仅对高度为z1=75m，z2=100m以及z3=150m三点处的脉动风速随机过程进行分析。图1为三点处生成的脉动风速代表性时程，从图1可知，上述两类随机函数形式的模拟结果均具有脉动风速过程的典型特征。图2为233条脉动风速代表性时程的均值与目标值比较；图3为233条脉动风速代表性时程的标准差与目标值比较。从图2和3的中可知，两类随机函数形式的模拟结果均与目标值十分接近。进一步地，表2给出了两类随机函数模拟结果的具体误差，从表中可以看出，两类随机函数模拟结果的均值误差和标准差误差均非常小，其中均值误差达到10-10，当采用经典的谱表示法模拟时，往往需生成数量巨大的脉动风速样本时程才能达到同样的精度水平。为此，以建筑高度z1=75m为例，采用经典的谱表示法进行1000次模拟，计算的均值误差和标准差误差分别为2.47%和0.1%，其中均值误差远大于本文方法的误差，标准差误差与本文方法接近。这说明随机函数降维方法仅需较小的样本容量即可获得较高的模拟精度，极大地提高了随机模拟的效率。从表2中也可以看出，第一类随机函数形式的模拟误差略小于第二类随机函数形式的模拟误差，这是由于第二类随机函数形式在等概率反变换选点时的强非线性所致。
图4给出了两类随机函数形式生成的233条代表性时程的平均自相关函数与目标自相关函数比较；图5为两类随机函数形式生成的233条代表性时程的平均互相关函数与目标互相关函数比较。从图4和5中可知，两类随机函数形式的模拟结果均与目标相关函數拟合很好，进一步表明本文方法的有效性。
4结论
从基于正交随机变量的谱表示方法出发，引入随机函数的约束条件，构造了两类正交随机变量集的随机函数表达形式，实现了随机脉动风场的谱表示降维模拟，研究表明：
（1）随机函数可以有效地降低脉动风场的随机度。通过构造随机函数的形式，实现了仅用两个基本随机变量即可在二阶统计意义上较精确地表达随机脉动风场，避免了经典的谱表示法需要大量的随机变量来描述脉动风速随机场的困境。
（2）随机函数的构造形式具有多样性。在满足基本条件的前提下，本文构造了两类不同形式的随机函数，即三角函数与三角函数乘积型以及三角函数与正交多项式乘积型。尽管两类随机函数的构造形式及其基本随机变量的概率分布不同，但都能有效地模拟随机脉动风场，且模拟结果的误差接近。因此，在工程应用中，可选择适当的随机函数形式来模拟随机脉动风场。
（3）谱表示降维法所生成的代表性时程数量少，一般仅需数百条代表性时程即可在概率密度层次上反映随机脉动风场的概率特性。每条代表性时程的赋得概率是由基本随机变量选点来唯一确定，且生成的所有代表性时程构成一个完备的概率集，这与概率密度演化理论具有一致性，从而为结合概率密度演化理论进行复杂工程结构抗风可靠度的精细化分析提供基础。
摘要：基于正交随机变量的谱表示，引入随机函数的约束条件，提出了随机脉动风场模拟的谱表示降维方法。从谱表示模拟公式中所需随机变量的数量及约束条件两方面，厘清了经典谱表示与基于正交随机变量谱表示的区别。将正交随机变量集表达为两个基本随机变量的正交函数形式，使基于正交随机变量谱表示的随机度从数万降低为2，极大地减少了随机脉动风场模拟的计算量。通过构造两类不同的正交随机函数形式，分别对高层建筑沿高度变化的水平向脉动风场进行模拟，均能获得较高的模拟精度，检验了此方法的有效性。研究表明：此方法仅需2个基本随机变量即可在密度层次上反映脉动风场的概率特性，且生成的233条代表性时程构成一个完备的概率集，进而可结合概率密度演化理论进行工程结构抗风可靠度精细化分析。
关键词：脉动风场；随机振动；谱表示；随机函数；降维模拟
中图分类号：TU312+1；0324 文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2018）01-0049-08
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.006
引言
在结构风工程中，作用于结构的脉动风荷载具有显著的动力特性和时空分布特性，通常采用时一空随机场来描述。随机脉动风场的模拟是工程结构抗风设计的首要任务，谱表示法因理论完善、算法简单、计算精度高而被广泛用于随机风场的模拟。
谱表示法最早可追溯到1944年Rice对一维单变量随机噪声的数学分析。1971年，Shinozuka正式提出谱表示法的概念，并模拟了多维单变量时一空随机场，在具体实施中，将时一空随机场离散为一维多变量平稳向量过程。谱表示法在模拟一维多变量向量过程时，其核心思想是通过功率谱密度矩阵的cholesky分解，将一维多变量向量过程转化为多个不相干的一维单变量随机过程，并由一系列随机相位角调制的谐波叠加来加以模拟。由于存在大量的cholesky分解和谐波叠加导致谱表示法计算效率低，Yang于1972年引入FFT算法，极大地提高了谐波叠加的效率。shinozuka等（1991，1996）分别对谱表示法模拟一维单变量过程和多维单变量随机场的原理作了深入阐述，并对模拟结果的高斯性、无偏性及各态历经性进行了分析。为保证模拟结果的各态历经性，Deodatis（1996）引入双索引频率的概念，并结合FFT算法提高谐波叠加的效率，这一改进使得谱表示法成为一维多变量向量过程模拟的经典方法。另一方面，为提高cholesky分解的效率，cao等（2000）和Huang等（2013）分别建议了一类功率谱密度矩阵chol-esky分解的显示表达；罗俊杰等（2008）和吴勇信等（2013）利用插值技术也在一定程度上减少了功率谱密度矩阵cholesky分解的计算量。事实上，经典的谱表示法在本质上属于Monte carlo模拟方法，虽然从理论上看，Monte Carlo方法的效率和基本随机变量的维数无关，然而，几乎所有的伪随机数生成方法都难以处理维数很高的基本随机变量间题，因此，为保证模拟的精度，往往需要进行大量的随机抽样。数量巨大的样本不仅增加了随机模拟的计算量，也极大地增加了结构随机动力响应计算的工作量。
近年来，为克服随机过程谱表示法计算量大的问题，陈建兵和李杰提出了随机谐和函数表达方法，并对谱表示法的频率选点进行了优化；李杰等从物理建模的角度出发，建立了脉动风速场的物理随机函数模型，用若干基本随机变量表达脉动风速场。同时，笔者从数学建模的角度，通过引入随机函数的约束条件，初步建立了工程随机动力作用的概率模型，实现了仅用1～2个基本随机变量即可模拟一维单变量随机过程的目的，极大地降低了随机过程模拟的随机度，并结合概率密度演化理论，对工程结构的抗震可靠度作了定量分析。在此基础上，本文进一步将随机函数思想拓展到随机风场的模拟，实现对随机脉动风场模拟的谱表示降维处理，从而为结构风荷载提供一种更为高效的模拟方法。
1基于正交随机变量的谱表示
与经典的谱表示法相比，尽管基于正交随机变量的谱表示在描述时一空随机场时所需随机变量的数量更多（比经典谱表示法多1倍），计算量更大；但从随机变量的约束条件来看，基于正交随机变量的谱表示中随机变量的约束条件（式（12））要弱于经典的谱表示法。事实上，式（12）仅要求随机变量满足正交性条件，而对其概率分布未作要求；在经典谱刘章军，等：随机脉动风场的谱表示降维模拟表示法中，随机相位角必须满足区间（0，2π]上的均匀分布。为此，可对正交随机变量集施加适当的约束条件（随机函数），以实现平稳向量过程模拟的谱表示降维，进而有效减少模拟次数。
2正交随机变量集的降维表达
3脉动风场数值模拟
利用数论方法选取基本随机变量的代表性点集时，基本随机变量的每一个代表性点都具有确定的赋得概率，且所选的代表性点集构成一个完备的概率集，因而本文方法生成的脉动风速代表性时程能够包含脉动风场的完备概率信息。根据概率密度演化理论，对于保守的随机系统，其随机性来源于系统参数的随机性和外部激励的随机性，本文方法不仅可以精细地描述随机系统外部激励的随机性，也可以同时描述系统参数的随机性，因而可结合概率密度演化理论进行结构随机风振响应及抗风可靠度精细化分析。
为分析方便，本文仅对高度为z1=75m，z2=100m以及z3=150m三点处的脉动风速随机过程进行分析。图1为三点处生成的脉动风速代表性时程，从图1可知，上述两类随机函数形式的模拟结果均具有脉动风速过程的典型特征。图2为233条脉动风速代表性时程的均值与目标值比较；图3为233条脉动风速代表性时程的标准差与目标值比较。从图2和3的中可知，两类随机函数形式的模拟结果均与目标值十分接近。进一步地，表2给出了两类随机函数模拟结果的具体误差，从表中可以看出，两类随机函数模拟结果的均值误差和标准差误差均非常小，其中均值误差达到10-10，当采用经典的谱表示法模拟时，往往需生成数量巨大的脉动风速样本时程才能达到同样的精度水平。为此，以建筑高度z1=75m为例，采用经典的谱表示法进行1000次模拟，计算的均值误差和标准差误差分别为2.47%和0.1%，其中均值误差远大于本文方法的误差，标准差误差与本文方法接近。这说明随机函数降维方法仅需较小的样本容量即可获得较高的模拟精度，极大地提高了随机模拟的效率。从表2中也可以看出，第一类随机函数形式的模拟误差略小于第二类随机函数形式的模拟误差，这是由于第二类随机函数形式在等概率反变换选点时的强非线性所致。
图4给出了两类随机函数形式生成的233条代表性时程的平均自相关函数与目标自相关函数比较；图5为两类随机函数形式生成的233条代表性时程的平均互相关函数与目标互相关函数比较。从图4和5中可知，两类随机函数形式的模拟结果均与目标相关函數拟合很好，进一步表明本文方法的有效性。
4结论
从基于正交随机变量的谱表示方法出发，引入随机函数的约束条件，构造了两类正交随机变量集的随机函数表达形式，实现了随机脉动风场的谱表示降维模拟，研究表明：
（1）随机函数可以有效地降低脉动风场的随机度。通过构造随机函数的形式，实现了仅用两个基本随机变量即可在二阶统计意义上较精确地表达随机脉动风场，避免了经典的谱表示法需要大量的随机变量来描述脉动风速随机场的困境。
（2）随机函数的构造形式具有多样性。在满足基本条件的前提下，本文构造了两类不同形式的随机函数，即三角函数与三角函数乘积型以及三角函数与正交多项式乘积型。尽管两类随机函数的构造形式及其基本随机变量的概率分布不同，但都能有效地模拟随机脉动风场，且模拟结果的误差接近。因此，在工程应用中，可选择适当的随机函数形式来模拟随机脉动风场。
（3）谱表示降维法所生成的代表性时程数量少，一般仅需数百条代表性时程即可在概率密度层次上反映随机脉动风场的概率特性。每条代表性时程的赋得概率是由基本随机变量选点来唯一确定，且生成的所有代表性时程构成一个完备的概率集，这与概率密度演化理论具有一致性，从而为结合概率密度演化理论进行复杂工程结构抗风可靠度的精细化分析提供基础。
