对涡旋电场力做功及涡旋电场中电路的讨论
蒋然
摘? ?要：从电磁感应定律出发，对涡旋电场的分布进行了计算，并以此为基础重点讨论了涡旋电场力做功的问题，说明了涡旋电场的部分区域是保守场。另外，从能量的角度对欧姆定律进行了解释，并以此为基础讨论了涡旋电场中的电流、电压关系。
关键词：涡旋电场;电磁感应;电势;欧姆定律
中图分类号：G633.7 文献标识码：A? ? ?文章编号：1003-6148（2020）11-0061-3
1? ? 引? 言
涡旋电场的相关问题是中学物理教学中的难点。对涡旋电场本身的研究已经十分清晰[1]，许多文章也用独到的方法探讨了涡旋电场的分布、做功、电势等问题[2-6]，这些研究都能很好地为物理教学提供参考。涡旋电场是有旋无源场，本不能定义电势，但中学物理教学往往又要涉及到涡旋电场力做功和涡旋电场中电路的电压等电学量，故本文将用通俗的语言讨论两个问题：①涡旋电场力做功的特点;②涡旋电场中电路的电流、电压关系。
2? ? 涡旋电场的分布与做功特点
2.1? ? 涡旋电场的激发与分布
众所周知，变化的磁场会激发出涡旋电场，但涡旋电场的分布不局限在有磁场的区域。虽然高中阶段不要求会求解涡旋电场的分布，但如果能定性地知道涡旋电场的分布规律，对分析问题会有一定帮助。下面通过法拉第电磁感应定律来求解，考虑图1所示的变化磁场。
（磁场区的涡旋电场未画出）
由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势大小为：
ε= （1）
其中，Φ为磁通量。由电动势的定义可知，绕半径为r的回路一周，感应电动势ε是涡旋电场力对单位电荷做的功。因为磁场均匀分布在一个圆形区域，且区域边界和所选回路是同心圆，根据对称性可知在半径为r的回路上各点的涡旋电场场强大小EV处处相等，且沿回路切线方向。因此，有：
ε=EV·2πr（2）
结合（1）（2）式可知：
EV= （ ）（3）
可见，在磁场区域大小不变且磁场均匀变化时，磁场区域之外场点的涡旋电场强度大小与场点到磁场中心的距离成反比。
需要注意的是，上述结论的理论基础是积分形式的麦克斯韦方程，这种方法只能求解涡旋电场分布已知的问题。对一般情况，需要从微分形式的麦克斯韦方程推导，但可如下直观地说明：将图1中的磁场区域收缩直到无穷小，（3）式仍然成立。容易知道，对图2中一般形状的磁场区域，可以将每个无穷小区域的磁场所激发的涡旋电场求矢量和，得到涡旋电场分布。定性地说，离磁场越远的地方，涡旋电场的场强越小。
2.2? ? 涡旋电场力做功的特点
如图3（a）所示，变化的磁场均匀分布在圆心为O的圆形区域，在磁场区域之外有一个圆心为P的虚线圆形区域，称为区域P，其边界为L。根据上文的分析，可知区域P内的涡旋电场非零，不失一般性，可设涡旋电场为逆时针方向。根据? ?V·d =-? ·d 可知：绕回路L一周，感应电动势为零。通俗地说，这是因为穿过回路L所围区域的磁通量恒为零，故沿L一周感应电动势为零。也可以通过分析涡旋电场力做功正负从而定性解释此结论，在此不再展开。综上可知，在不包含磁场的区域中，任意两点间涡旋电场力做功与路径无关，如图3（b）所示。
在这个例子中，磁场总是为零只是一个特殊条件，更一般的条件是磁场不随时间变化，所以容易把上述结论推广为：若某一区域内的磁场不随时间变化，则绕该区域内任一闭合回路的感应电动势总为0，该区域的涡旋电场是保守场。因此，在上述区域中可以定义势的概念，定义方法同静电场，不再赘述。
3? ? 涡旋电场中的电路
3.1? ? 从能量角度理解欧姆定律
欧姆定律给出了通过电阻的电流I与电阻R及其两端电压U的关系。先来说明U的意义。由欧姆定律可得：
U=IR（4）
考虑图4（a）中一段电阻为R的金属丝。电源在回路中建立静电场，由于趋肤效应，回路中的静电场总是沿着导线方向，正是在这个静电场的作用下形成了电流。（4）式中的U是电阻R两端的电势差，确切地说，是单位电荷从G端移动到H端系统减少的电势能，也是静电场对单位电荷做的功。
再来讨论IR的意义。对焦耳定律变形可得：
Q=I2Rt=IR·It=IRq（5）
其中，q是在t时间内通过电阻R的电量，Q是产生的内能。由此可见，IR的意义是单位电荷通过电阻时产生的内能，即：
IR= （6）
下面从物理上进行解释。众所周知，电阻来源于晶格的阻碍作用，对稳恒电流，电荷在电阻中受到静电场力和阻力，且匀速运动，二力等大反向，如图4（b）所示。由此可知，从G端到H端，静电场力做功与阻力做功大小相等、正负相反，通过这个过程，系统的电势能转化成内能。
通过上述讨论可以看到，（4）式左端是单位电荷通过电阻时系统减少的电势能，数值上也等于静电力对单位电荷做的功;（4）式右端是单位电荷通过电阻时产生的内能，在数值上也等于阻力对单位电荷做功大小。根据能量守恒可知，（4）式兩端必然相等。
下面将（4）式推广至一般情况。因为电荷受到的阻力与电阻结构和电流大小有关，所以对同一个电阻，在电流大小不变时，电荷受到的阻力不变。由于G到H的路径长度也不变，所以阻力对单位电荷做功大小不变，因此电阻生热不变。综上可知，只要电流为I，不论产生电流的场有无非静电场，在单位电荷通过电阻R时阻力做功总为IR，但做正功的力除静电力以外还有非静电力。因为非静电力可能没有对应的势，所以（4）式应该写为：
+U=IR（7）
其中，Wnc是非静电力做的功。
3.2? ? 涡旋电场中的电压、电流关系
如图5，闭合回路中有均匀变化的磁场，由于趋肤效应，涡旋电场同样沿着导线。假设闭合回路中只有电阻丝有电阻R，其他部分的电阻为零，因此在形成稳恒电流之前，导线中的电荷不受阻力，在涡旋电场的作用下加速运动;进入电阻时，电荷受到晶格的阻碍作用而减速，故将在电阻边界附近产生电荷堆积，正是这部分堆积的电荷产生了静电场。在电阻丝内，当电路中的电流稳定后，涡旋电场与静电场对单位电荷做功之和等于电阻对单位电荷的阻力做功大小，即：
WV+WC=IR（8）
其中，WV和WC分别表示涡旋电场力和静电场力对单位电荷做的功。由于静电场力对单位电荷做功大小等于电阻两端电压大小，因此有：
WV+U=IR（9）
图5 静电场力与涡旋电场力共同为电阻中的电荷运动提供动力，静电场力来自电阻左端的电荷堆积所激发的静电场。FV和FC分别表示涡旋电场力和静电场力
3.3? ? 涡旋电场中的电压表
电压表的工作原理是众所周知的。然而，有涡旋电场存在时，情况将有所不同。如图6所示，将电压表并联在电阻两端，当电路达到稳定时，电压表的读数是通过电压表的电流IV与电压表内阻RV的乘积IVRV。根据3.1和3.2两小节的分析可知，IVRV在数值上等于电压表支路中涡旋电场和静电场对单位电荷所做的总功。而2.2小节说明了：只要某区域中的磁场总为零，则涡旋电场力做功与路径无关。因为静电场力做功也与路径无关，故二力的合力做功与路径无关。由此可知，在待测电阻R与电压表两个支路中，上述合力对单位电荷做功大小都是IVRV。综上所述，电压表的示数表示的是待测电阻回路中，涡旋电场力与静电场力对单位电荷做功之和，即：
IVRV=WV+U（10）
因此，在涡旋电场中，电压表的读数IVRV并非待测电阻两端的电压。对（10）式变形后可得电阻两端的电压：
U=IVRV-WV（11）
4? ? 结? 论
通过讨论，本文得到3个结论：
①涡旋电场有旋，无法定义电势，但在磁场区域以外涡旋电场中，涡旋电场力做功与路径无关，这部分场是保守场，可以定义电势的概念，定义方法同静电场。
②在电流稳恒的条件下，电阻阻值与通过电阻的电流的乘积在数值上等于单位电荷通过电阻时产生的内能大小，也是阻力做功大小。
③在静电场中电压表读数等于表两端所连之处的电势差;有涡旋电场存在时电压表读数等于使单位电荷通过电压表时静电场力与涡旋电场力做功之和。
参考文献：
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（栏目编辑? ? 罗琬华）
