研究旋转变换，聚焦数学思想

    杨峻峰

    

    

    

    [摘 ?要] 旋转变换问题是新课标的重要内容之一，在中考中占据着较大的板块，同时也是教学的重难点. 文章从典型例题的剖析来研究旋转变换，拓展数学思维，聚焦数学思想，提高解决问题的有效性.

    [关键词] 旋转变换;解题思路;数学思想;数学思维

    中考是对初中生学业水平的终端评价，是对学生数学学习所达水平的一种考查. 旋转问题属于数学探究的范畴，在中考中较为常见，大多以探究题和开放题的形式出现，对学生数学基本功以及观察能力、综合分析等能力都提出了较高的要求. 既然图形旋转问题如此重要，就需要广大数学教师在平时的教学中逐步渗透旋转思想，引导学生走入思维发展区，并引领学生进行类比和归纳，提高分析和解决问题的能力，同时对学生关键能力的发展和拓展数学思维有着不可估量的作用.

    借助常规问题，理解解题思路，理解旋转思想

    在数学解题的道路上，解题思路永远是解决数学问题的突破口，成功找寻到问题的切入口是成功解题的关键一环. 借助对图形的直观分析和思考，并通过数学的眼光进行抽象，指向数学学科的关键能力. 在平时的教学中，通过针对性训练不断渗透旋转思想，让学生理解图形旋转的基本性质，利用旋转前后图形全等的性质，得出解决问题的有效策略.

    例1 ?如图1，已知正方形ABCD内有一点P，若将△ABP绕点B沿着顺时针方向进行旋轉后可以与△CBQ完全重合，且有BP=3，试求出PQ的长.

    分析 ?借助图形旋转的性质，可得△ABP≌△CBQ，BP=BQ=3，∠PBQ=∠ABC=90°，则在Rt△PBQ中，利用勾股定理可得PQ=3 .

    效能分析 ?本题是一道关于图形变换的平面几何试题，难度一般. 该题对旋转性质的运用有较好的启迪和导向作用，可以提高学生应用旋转性质的灵活性，并体会其在解决问题中的重要意义.

    例2 ?如图2，已知等边三角形ABC内有一点O，∠AOB=110°，∠BOC=α，现将△BOC绕点C沿着顺时针方向旋转60°得到△ADC，连结OD.

    （1）试证明△COD为等边三角形;

    （2）若α=150°，试判断△AOD的形状，并阐明原因;

    （3）若△AOD为等腰三角形时，试探究α的度数.

    分析 ?（1）因为△ADC由△BOC旋转而得，所以有△BOC≌△ADC，则有CO=CD，∠BCO=∠ACD. 又因为∠BCA=60°，所以∠OCD=60°，所以△COD为等边三角形.

    （2）因为α=150°，所以∠ADC=∠BOC=150°. 又因为△COD为等边三角形，所以∠CDO=60°，∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，所以△AOD为直角三角形.

    （3）因为在△AOD中，有∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°，当AO=AD时，则有∠AOD=∠ADO，所以190°-α=α-60°，所以α=125°;当AO=OD时，则有∠OAD=∠ADO，所以50°=α-60°，所以α=110°;当DO=AD时，则有∠AOD=∠OAD，所以50°=190°-α，所以α=140°.

    效能分析 ?本题是对旋转性质的进一步运用和升华，旨在培养学生的探究能力和综合运用能力，并渗透了多个数学思想，如分类讨论思想等. 学生通过分析和解决本题，对旋转性质认识达到质的飞跃，在快速解决问题的同时感受图形的魅力和几何结论的美妙，进一步完善对旋转思想的理解.

    借助问题探究，拓展思维，实现解题关键

    在解决图形旋转这一类问题的过程中，利用好旋转变换，可以解决普通方法难以解决的很多问题，是实现正确解题的关键一环，通过灵活运用旋转变换的性质，积累解题经验，从空间变换层面可以拓展学生的思维，不断发展学生的想象能力和应用意识.

    例3 ?如图3，已知等边三角形ABC内有一点P，PB=2，PC=1，∠BPC=150°，试求出PA的长.

    分析 ?若将△PAB绕点B沿着顺时针旋转60°，即可得到△DCB. 因为△PAB≌△DCB，所以PB=BD，PA=CD，∠PBD=∠ABC=60°，所以△BDP为等边三角形，则有PD=PB=2，∠BPD=60°. 又因为∠BPC=150°，所以∠DPC=90°. 在直角三角形DPC中，PD=2，PC=1，再借助勾股定理，可得CD=5？摇，所以PA=5？摇.

    效能分析 ?本题乍一看与图形旋转并无关联，题目看似无从下手，而通过建构其与旋转变换的桥梁，问题即可迎刃而解.

    借助归纳类比，提炼数学思想，体现思维策略

    在解决复杂的几何问题时，通过归纳类比而提炼的旋转思想去构造全等三角形，牢牢把握图形在选择过程中的不变量，同时切实把握几何图形的运动过程，找寻到解决问题的突破口，尽显思维能力，体现思维策略.

    例4 ?已知正方形ABCD中，BD为它的一条对角线，点P从点A出发，并沿着射线AB运动，连结PD，过点D作DE⊥PD并与直线BC交于点E，且直线PE与直线BD，CD分别交于点M，N，PM=3，EN=4，试求出PD的长.

    分析 ?如图4，当点P在AB上时，在AD上取一点G，使得DG=DN，连结PG. 由∠ADC=∠PDE=90°，可得∠GDP=∠NDE，借助全等三角形“SAS”判定定理，可得△GDP≌△NDE，所以PG=NE=4，∠GPD=∠NED. 同理，借助全等三角形“SAS”判定定理，可得△ADP≌△CDE，所以∠APD=∠CED，所以∠APG=∠CEN. 因为∠CEN+∠BPE=90°，∠GPM=90°，所以在Rt△PGM中，借助勾股定理可得GM=5. 因为BD为正方形ABCD的一条对角线，借助全等三角形“SAS”判定定理，可得△GDM≌△NDM，所以GM=MN=5，所以PE=PM+MN+NE=3+5+4=12. 又因为△PDE为等腰直角三角形，借助勾股定理可得PD=6 ？摇.

    如图5，当点P在AB的延长线上时，在DA的延长线上取一点G，使得DG=DN，连结PG，GM. 由∠ADC=∠PDE=90°，可得∠GDP=∠NDE，借助全等三角形“SAS”判定定理，可得△GDP≌△NDE，所以PG=NE=4，∠GPD=∠NED. 同理，借助全等三角形“SAS”判定定理，可得△ADP≌△CDE，所以∠APD=∠CED，所以∠APG=∠CEN. 因为∠CEN+∠BPE=90°，∠GPE=90°，所以在Rt△PGM中，借助勾股定理可得GM=5. 因为BD为正方形ABCD的一条对角线，借助全等三角形“SAS”判定定理，可得△GDM≌△NDM，所以GM=MN=5，所以PN=MN-PM=5-3=2，PE=PN+EN=2+4=6. 又因为△PDE为等腰直角三角形，借助勾股定理可得PD=3 .

    效能分析 ?本题难度较大，具有良好的导向和启迪作用，是探究的良好素材，值得细细品味与思考. 旋转思想缺失的学生拿到本题都会思维受阻，进而选择放弃. 基本功扎实的学生通过简单图形解决策略的积淀，找寻到平常练习的模型，成功迈出正确解题的第一步，找寻到解决复杂图形问题的一般策略，解题思路神秘面纱瞬间揭开，通过散发数学味的探究和发掘创造性地解决问题.

    总之，旋转问题作为中考热点问题，教师需通过上述方法为学生创设一个图形变化的数学环境，引领学生亲历思考、探究、猜测、推导、类比、归纳等一系列实践过程，拓展学生的思维空间，培养学生的探究能力，最终达到培养数学核心素养的目的.