含铰柔性结构的非线性模态分析
曹芝腑 费庆国 姜东
摘要： 建立了含铰柔性结构的非线性动力学模型，利用打靶法和伪弧长法计算该结构的非线性模态和频率-能量关系图，研究含铰柔性结构的非线性特性。其次，考虑非线性铰链刚度对结构动态特性的影响，讨论了不同线性/非线性刚度与结构的非线性模态及频率-能量曲线的关系。利用非线性三自由度保守系统的模态分析，阐释频率-能量曲线能够直观反映结构的非线性特性：固有频率变化及分叉、模态转换及内共振。对含铰柔性结构的非线性模态分析及参数影响研究表明：1） 含铰柔性结构的固有频率与输入能量存在明显非线性特性；2） 铰链非线性刚度的增加，使得含铰柔性结构的固有频率和模态在较低的振动能量下即可发生较大变化；其次，随着线性刚度的增加，非线性特性减弱，各阶固有频率的相对变化降低，频率-能量关系图由曲线变为直线；3） 较高的振动能量在结构模态之间发生转换，使得结构出现明显的内共振非线性特性。
关键词： 柔性结构； 非线性铰链； 非线性模态； 频能图； 内共振
中图分类号： O313.7； O322文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）04-0573-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.004
引言
航天工程中的太阳翼、伸展臂等结构一般由铰链将其弹性构件连接为整体。铰接航天器具有尺寸大，刚度低、柔性高的特点，如美国AEC-Able公司研制的FAST（Folding articulated square Mast）伸展臂结构[1]，含有260个铰链，展开锁定后其支撑臂总长为32.92 m。铰链间隙、接触摩擦导致连接处存在明显非线性，影响结构的动力学特性，采用线性方法的分析结果存在较大误差，甚至会导致错误的定性分析。研究含铰柔性结构的非线性动态分析方法，可获得更加准确的结构动响应，为其动力学设计提供参考。
对于线性系统，利用线性模态的叠加性原理可以对系统进行特性分析及响应计算。在线性模态理论基础上，Rosenberg[2-3]提出以“一致振动（Vibrations in unison）”定义非线性模态（NNM： nonlinear normal mode），并将其分为相似模态（Similar mode）和非相似模态（Nonsimilar mode），用以研究离散、无阻尼、保守非线性系统的振动问题。Shaw和Pierre[4-5]提出了更为广义的非线性模态定义，认为非线性模态是系统相空间中二维不变流形上的运动。陈予恕等[6]将Shaw-Pierre非线性模态的概念进行了推广，认为非线性模态为模态空间中偶数维不变流形上的运动，并根据模态空间的动力学方程，将非线性模态分为：非耦合模态、耦合模态和内共振模态。并对Rosenberg，Shaw-Pierre和陈-吴定义下的非线性模态进行了比较。Mikhlin和Avramov[7-8]系统地综述了Kauderer-Rosenber和Shaw-Pierre定義下的非线性模态的概念、构造方法及相关应用。
非线性模态的构造主要基于渐近法[9]，通过不同类型的级数展开对非线性响应进行描述，从而求解各非线性结构的非线性模态，但非线性模态的解析方法难以应用于复杂的实际结构，需利用数值计算的方法求解各类非线性结构的非线性模态。Slater[10]首先提出利用数值积分的方法，直接求解非线性结构动力学控制方程的周期解，但其缺点是模态分叉现象的缺失并且难以证明模态流形的不变性。Peeters等[11]结合打靶法和伪弧长法，提出了更为高效和稳定的非线性模态求解方法，并将该方法应用于飞机结构的非线性模态分析[12]。Kuether等[13]则提出利用几何非线性有限元模型的线性模态解集作为周期解的初始条件，从而避免打靶法中数值积分所引起的计算效率低下的问题。Renson等[14]基于流线迎风Petrov-Galerkin的有限元算法，通过移动网格和计算域的预测-校正技术，实现了不变流形上的非线性模态数值计算。非线性模态理论及数值解的发展，为实际工程结构的非线性模态分析奠定了基础。Blanc等[15]则基于中心流形方法，在流形连续性条件下求解保守系统的非线性模态，并提出了具有精确数值结果的非线性降阶模型构造方法。
针对含铰柔性结构的非线性动力学建模及分析，胡海岩等[16]指出，大型空间结构展开锁定后的非线性动力学分析要用以揭示结构柔性、运动副间隙等非线性因素所引起非线性振动的机理。Guo[17-18]等针对空间可展开结构，开展了铰链的非线性动力学建模方法的研究。Sarkar等[19]则利用傅里叶-伽辽金算法对非线性铰链悬臂梁结构的非线性动力学现象进行了分析。王巍等[20]利用中心不变流形非线性模态，对非线性梁系统动力学方程进行解耦，分析了各阶非线性模态的动力学特性。吴爽等[21]通过动力测试获得真实太阳翼板间铰链结构的动力学参数，利用实验响应验证了所建立的非线性动力学分析模型。
本文以含铰柔性结构作为主要研究对象，通过将铰链简化为具有局部非线性特性的多自由度系统，建立其非线性动力学分析模型，然后利用打靶法和伪弧长数值方法对其进行非线性模态分析，计算结构的频率-能量关系图和非线性模态。在此基础上，进一步考虑铰链线性刚度和非线性刚度的变化，分析铰链刚度对该结构非线性动力特性的影响。
1非线性模态理论
多自由度保守系统自由振动的运动控制方程为M+Kx+fnl=0（1）式中M和K分别表示结构的质量矩阵和刚度矩阵，x和分别表示结构物理坐标系下的位移和加速度向量，fnl表示非线性恢复力向量。根据Rosenberg理论的定义，其非线性模态是这样一种运动：（1）所有质点运动周期一致；（2）所有质点同时通过平衡位置；（3）所有质点同时达到位移最大。则所有质点xi的位置都可以用任一质点的位置确定xi=Xix0（2）则非线性模态可以分为相似模态xi=cix0 （ci为实常数，i=1，2，…，N）和非相似模态xi=Xi（x0） （i=1，2，…，N）。根据Rosenberg理论的定义，相似模态为直线，非相似模态为曲线。但Rosenberg定义下的非线性模态构造十分严苛，导致其难以延伸应用于非保守系统，以及在内共振情况下失效。在Rosenberg模态理论的基础上，推广到更一般的定义，认为非线性模态是非线性保守系统的周期运动。
从图2（a）可以看出，该系统第1阶模态存在显著非线性特性，且非线性结构的频率-能量关系依赖于非线性系统的动态特性，频能图是非线性模态分析的一种有效表达形式。选取非线性特征显著的第1阶模态为例，计算在一般定义下的构型空间中x1与x2和x3之间的非线性模态曲线（x-y： x1-x2， x1-x3）如图2（b）所示。
若图1所示结构中不存在非线性弹簧，则得到的线性三自由度系统频能图如图3所示。图3（a）～（c）分别表示第1阶、第2阶和第3阶模态。从图中可以看出，对于线性系统，其频率-能量关系呈线性关系，即结构模态频率不会随着振動能量的变化而变化，与之相反，非线性系统的频能图则呈明显非线性关系。如图4所示，在区域A和区域B内出现频率拐点，结构的振动频率取值不定，这些不定取值均具有临界性质。在同一振动能量水平下，结构的振动频率会发生突变，这些不定点均为频率分叉点。
为了验证方法的准确性，针对如图1所示的三自由度非线性结构，利用Nastran与该方法进行比较。图4所示为第1阶非线性模态的频能曲线对比图，图中圆点代表Nastran计算结果。选取图4中I～IV点对应的初始条件，计算非线性瞬态响应，比较结果如图5所示，本文所用方法与Nastran计算结果误差较小，具有较高准确性。
3 含铰柔性结构非线性模态分析
含铰柔性结构可以简化为铰链与柔性弹性结构连接在一起的非线性组合结构，具有局部非线性特性。下面介绍非线性铰链的建模方法及其非线性模态分析结果。
3.1 非线性铰建模
从图13（a）可以看出，线性刚度系数保持不变时，随着非线性刚度系数的增加，在较低的能量水平下即可出现明显的非线性特性：频率变化、模态转化和内共振，如图13（a）中箭头所示。由于非线性刚度系数仅影响非线性恢复力的变化，对该结构所对应的潜在线性结构矩阵影响较小，故其初始模态频率不变。
结构的非线性刚度系数保持不变时，随着线性刚度系数的增加，线性结构的刚度矩阵也会随之增加，使得结构的初始模态频率增加。同时，随着线性刚度的增加，结构的非线性特性减弱，频率变化减小，频能图由曲线变为直线（图13（b））。
4 结 论
本文利用非线性模态理论，研究了含铰柔性结构非线性模态分析方法。
根据频率-能量关系图，可以反映含铰柔性结构的固有频率与能量水平的变化关系，以及内共振等非线性特性。由于铰链刚度的非线性特性，结构的固有频率与激励能量呈现明显的非线性关系。其次，含铰柔性结构的高阶非线性模态在振动能量水平较高时，由于能量在模态内的交换，使得当前模态与高阶模态耦合，产生区别于线性结构的内共振现象。
铰链的线性刚度影响潜在线性结构的刚度矩阵，从而使得结构的固有频率随着线性刚度的增加而提高。当线性特性增强时，由于非线性影响的减弱，频能图会由曲线变为直线，固有频率值无明显改变。其次，铰链的非线性刚度影响结构的频率变化和模态转换等非线性特性的显现条件。通过增加结构的非线性刚度，可以在较低激励水平下，较快出现频率变化和模态转换等非线性现象，为后续的非线性模态实验验证奠定基础。
参考文献：
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Wu Shuang， Zhao Shou-gen， Wu Da-fang， et al. Dynamic experiments and nonlinear dynamics modeling of joints in solar array[J]. Journal of Astronautics， 2013， 34（12）： 1550—1556.
Abstract： Based on the nonlinear dynamic model of the flexible assembled structure with a nonlinear hinge， shooting method and pseudo-arc length continuation approach were applied to nonlinear normal mode construction and frequency-energy plot calculation.In order to further understand the effect of the stiffness of nonlinear hinge on the dynamic characteristic， the nonlinear normal modes and frequency-energy plots （FEP） with different linear and nonlinear stiffness were implemented. The modal analysis for the nonlinear conservative three degrees of freedom system illustrated that the frequency-energy plot could represent the dynamic characteristic clearly： bifurcation and change of natural frequencies， internal resonance and transition of modes. Results from nonlinear hinge flexible structure examples were： 1） Obvious nonlinear relationship exists between natural frequencies and input vibrating energies for the flexible structure with hinges. 2） With the increase of nonlinear stiffness， the natural frequencies and modes will change quickly under low vibrating energy level； On the other hand， with the linear stiffness increasing， the nonlinear characteristics and the relative change of resonance frequencies decreased and the FEP will be straight instead of curvilinear. 3） The higher vibrating energy will transform between structural modes， and the structure will show the internal resonance obviously.
Key words： flexible structure； nonlinear hinge； nonlinear normal modes； frequency-energy plot； internal resonance
摘要： 建立了含铰柔性结构的非线性动力学模型，利用打靶法和伪弧长法计算该结构的非线性模态和频率-能量关系图，研究含铰柔性结构的非线性特性。其次，考虑非线性铰链刚度对结构动态特性的影响，讨论了不同线性/非线性刚度与结构的非线性模态及频率-能量曲线的关系。利用非线性三自由度保守系统的模态分析，阐释频率-能量曲线能够直观反映结构的非线性特性：固有频率变化及分叉、模态转换及内共振。对含铰柔性结构的非线性模态分析及参数影响研究表明：1） 含铰柔性结构的固有频率与输入能量存在明显非线性特性；2） 铰链非线性刚度的增加，使得含铰柔性结构的固有频率和模态在较低的振动能量下即可发生较大变化；其次，随着线性刚度的增加，非线性特性减弱，各阶固有频率的相对变化降低，频率-能量关系图由曲线变为直线；3） 较高的振动能量在结构模态之间发生转换，使得结构出现明显的内共振非线性特性。
关键词： 柔性结构； 非线性铰链； 非线性模态； 频能图； 内共振
中图分类号： O313.7； O322文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）04-0573-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.004
引言
航天工程中的太阳翼、伸展臂等结构一般由铰链将其弹性构件连接为整体。铰接航天器具有尺寸大，刚度低、柔性高的特点，如美国AEC-Able公司研制的FAST（Folding articulated square Mast）伸展臂结构[1]，含有260个铰链，展开锁定后其支撑臂总长为32.92 m。铰链间隙、接触摩擦导致连接处存在明显非线性，影响结构的动力学特性，采用线性方法的分析结果存在较大误差，甚至会导致错误的定性分析。研究含铰柔性结构的非线性动态分析方法，可获得更加准确的结构动响应，为其动力学设计提供参考。
对于线性系统，利用线性模态的叠加性原理可以对系统进行特性分析及响应计算。在线性模态理论基础上，Rosenberg[2-3]提出以“一致振动（Vibrations in unison）”定义非线性模态（NNM： nonlinear normal mode），并将其分为相似模态（Similar mode）和非相似模态（Nonsimilar mode），用以研究离散、无阻尼、保守非线性系统的振动问题。Shaw和Pierre[4-5]提出了更为广义的非线性模态定义，认为非线性模态是系统相空间中二维不变流形上的运动。陈予恕等[6]将Shaw-Pierre非线性模态的概念进行了推广，认为非线性模态为模态空间中偶数维不变流形上的运动，并根据模态空间的动力学方程，将非线性模态分为：非耦合模态、耦合模态和内共振模态。并对Rosenberg，Shaw-Pierre和陈-吴定义下的非线性模态进行了比较。Mikhlin和Avramov[7-8]系统地综述了Kauderer-Rosenber和Shaw-Pierre定義下的非线性模态的概念、构造方法及相关应用。
非线性模态的构造主要基于渐近法[9]，通过不同类型的级数展开对非线性响应进行描述，从而求解各非线性结构的非线性模态，但非线性模态的解析方法难以应用于复杂的实际结构，需利用数值计算的方法求解各类非线性结构的非线性模态。Slater[10]首先提出利用数值积分的方法，直接求解非线性结构动力学控制方程的周期解，但其缺点是模态分叉现象的缺失并且难以证明模态流形的不变性。Peeters等[11]结合打靶法和伪弧长法，提出了更为高效和稳定的非线性模态求解方法，并将该方法应用于飞机结构的非线性模态分析[12]。Kuether等[13]则提出利用几何非线性有限元模型的线性模态解集作为周期解的初始条件，从而避免打靶法中数值积分所引起的计算效率低下的问题。Renson等[14]基于流线迎风Petrov-Galerkin的有限元算法，通过移动网格和计算域的预测-校正技术，实现了不变流形上的非线性模态数值计算。非线性模态理论及数值解的发展，为实际工程结构的非线性模态分析奠定了基础。Blanc等[15]则基于中心流形方法，在流形连续性条件下求解保守系统的非线性模态，并提出了具有精确数值结果的非线性降阶模型构造方法。
针对含铰柔性结构的非线性动力学建模及分析，胡海岩等[16]指出，大型空间结构展开锁定后的非线性动力学分析要用以揭示结构柔性、运动副间隙等非线性因素所引起非线性振动的机理。Guo[17-18]等针对空间可展开结构，开展了铰链的非线性动力学建模方法的研究。Sarkar等[19]则利用傅里叶-伽辽金算法对非线性铰链悬臂梁结构的非线性动力学现象进行了分析。王巍等[20]利用中心不变流形非线性模态，对非线性梁系统动力学方程进行解耦，分析了各阶非线性模态的动力学特性。吴爽等[21]通过动力测试获得真实太阳翼板间铰链结构的动力学参数，利用实验响应验证了所建立的非线性动力学分析模型。
本文以含铰柔性结构作为主要研究对象，通过将铰链简化为具有局部非线性特性的多自由度系统，建立其非线性动力学分析模型，然后利用打靶法和伪弧长数值方法对其进行非线性模态分析，计算结构的频率-能量关系图和非线性模态。在此基础上，进一步考虑铰链线性刚度和非线性刚度的变化，分析铰链刚度对该结构非线性动力特性的影响。
1非线性模态理论
多自由度保守系统自由振动的运动控制方程为M+Kx+fnl=0（1）式中M和K分别表示结构的质量矩阵和刚度矩阵，x和分别表示结构物理坐标系下的位移和加速度向量，fnl表示非线性恢复力向量。根据Rosenberg理论的定义，其非线性模态是这样一种运动：（1）所有质点运动周期一致；（2）所有质点同时通过平衡位置；（3）所有质点同时达到位移最大。则所有质点xi的位置都可以用任一质点的位置确定xi=Xix0（2）则非线性模态可以分为相似模态xi=cix0 （ci为实常数，i=1，2，…，N）和非相似模态xi=Xi（x0） （i=1，2，…，N）。根据Rosenberg理论的定义，相似模态为直线，非相似模态为曲线。但Rosenberg定义下的非线性模态构造十分严苛，导致其难以延伸应用于非保守系统，以及在内共振情况下失效。在Rosenberg模态理论的基础上，推广到更一般的定义，认为非线性模态是非线性保守系统的周期运动。
从图2（a）可以看出，该系统第1阶模态存在显著非线性特性，且非线性结构的频率-能量关系依赖于非线性系统的动态特性，频能图是非线性模态分析的一种有效表达形式。选取非线性特征显著的第1阶模态为例，计算在一般定义下的构型空间中x1与x2和x3之间的非线性模态曲线（x-y： x1-x2， x1-x3）如图2（b）所示。
若图1所示结构中不存在非线性弹簧，则得到的线性三自由度系统频能图如图3所示。图3（a）～（c）分别表示第1阶、第2阶和第3阶模态。从图中可以看出，对于线性系统，其频率-能量关系呈线性关系，即结构模态频率不会随着振動能量的变化而变化，与之相反，非线性系统的频能图则呈明显非线性关系。如图4所示，在区域A和区域B内出现频率拐点，结构的振动频率取值不定，这些不定取值均具有临界性质。在同一振动能量水平下，结构的振动频率会发生突变，这些不定点均为频率分叉点。
为了验证方法的准确性，针对如图1所示的三自由度非线性结构，利用Nastran与该方法进行比较。图4所示为第1阶非线性模态的频能曲线对比图，图中圆点代表Nastran计算结果。选取图4中I～IV点对应的初始条件，计算非线性瞬态响应，比较结果如图5所示，本文所用方法与Nastran计算结果误差较小，具有较高准确性。
3 含铰柔性结构非线性模态分析
含铰柔性结构可以简化为铰链与柔性弹性结构连接在一起的非线性组合结构，具有局部非线性特性。下面介绍非线性铰链的建模方法及其非线性模态分析结果。
3.1 非线性铰建模
从图13（a）可以看出，线性刚度系数保持不变时，随着非线性刚度系数的增加，在较低的能量水平下即可出现明显的非线性特性：频率变化、模态转化和内共振，如图13（a）中箭头所示。由于非线性刚度系数仅影响非线性恢复力的变化，对该结构所对应的潜在线性结构矩阵影响较小，故其初始模态频率不变。
结构的非线性刚度系数保持不变时，随着线性刚度系数的增加，线性结构的刚度矩阵也会随之增加，使得结构的初始模态频率增加。同时，随着线性刚度的增加，结构的非线性特性减弱，频率变化减小，频能图由曲线变为直线（图13（b））。
4 结 论
本文利用非线性模态理论，研究了含铰柔性结构非线性模态分析方法。
根据频率-能量关系图，可以反映含铰柔性结构的固有频率与能量水平的变化关系，以及内共振等非线性特性。由于铰链刚度的非线性特性，结构的固有频率与激励能量呈现明显的非线性关系。其次，含铰柔性结构的高阶非线性模态在振动能量水平较高时，由于能量在模态内的交换，使得当前模态与高阶模态耦合，产生区别于线性结构的内共振现象。
铰链的线性刚度影响潜在线性结构的刚度矩阵，从而使得结构的固有频率随着线性刚度的增加而提高。当线性特性增强时，由于非线性影响的减弱，频能图会由曲线变为直线，固有频率值无明显改变。其次，铰链的非线性刚度影响结构的频率变化和模态转换等非线性特性的显现条件。通过增加结构的非线性刚度，可以在较低激励水平下，较快出现频率变化和模态转换等非线性现象，为后续的非线性模态实验验证奠定基础。
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Abstract： Based on the nonlinear dynamic model of the flexible assembled structure with a nonlinear hinge， shooting method and pseudo-arc length continuation approach were applied to nonlinear normal mode construction and frequency-energy plot calculation.In order to further understand the effect of the stiffness of nonlinear hinge on the dynamic characteristic， the nonlinear normal modes and frequency-energy plots （FEP） with different linear and nonlinear stiffness were implemented. The modal analysis for the nonlinear conservative three degrees of freedom system illustrated that the frequency-energy plot could represent the dynamic characteristic clearly： bifurcation and change of natural frequencies， internal resonance and transition of modes. Results from nonlinear hinge flexible structure examples were： 1） Obvious nonlinear relationship exists between natural frequencies and input vibrating energies for the flexible structure with hinges. 2） With the increase of nonlinear stiffness， the natural frequencies and modes will change quickly under low vibrating energy level； On the other hand， with the linear stiffness increasing， the nonlinear characteristics and the relative change of resonance frequencies decreased and the FEP will be straight instead of curvilinear. 3） The higher vibrating energy will transform between structural modes， and the structure will show the internal resonance obviously.
Key words： flexible structure； nonlinear hinge； nonlinear normal modes； frequency-energy plot； internal resonance
