基于LMI的不确定结构鲁棒H∞控制研究
王磊 谭平 崔林钊
摘要： 以含有界随机参数结构模型为控制模型，研究了不确定结构的鲁棒H∞控制问题。在控制系统设计过程中，通过Gegenbauer多项式将不确定结构控制模型中随机参数引入到结构的确定性扩阶系统之中；再基于该扩阶系统，结合有界实引理，采用线性矩阵不等式（linear matrix inequality，LMI）推导得到控制系统的增益矩阵，使得闭环系统传递函数对不确定性扰动满足H∞干扰抑制。最后通过一结构算例，结合自定义的鲁棒性能评价指标，分析比较了基于不同控制模型设计的控制系统鲁棒性能的差异。仿真分析结果表明，模型参数和环境激励的不确定性对控制系统控制效果有较大影响，所述控制系统设计方法相较其他两类方法具有更好的鲁棒性。
关键词： 振动控制； 鲁棒控制； 线性矩阵不等式； Gegenbauer多项式； 有界实引理
中图分类号： TB535； TU311.3文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）04-0629-07
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.010
引言
近几十年来，由于结构主动控制相对于传统被动控制技术具有振动控制效果好、适应范围广、检测修复便捷等优点，逐渐引起了各国学者的广泛研究 [1-2]。但是在以往的研究中，控制系统的设计多需依赖精确的控制模型[3-5]，然而控制模型只是实际结构的近似和简化，其本质上仍存在不确定性[6]；同时外界环境激励如地震、海浪和风等也具有很强的不确定性。这些广泛存在的不确定性都会影响控制系统的控制效果，甚至破坏结构系统的稳定性。一个良好的控制系统应具有一定的鲁棒性来应对模型和外界环境的不确定性[7]。因此，发展结构的鲁棒控制策略具有重要的理论意义和实际应用價值[8-10]。
在鲁棒控制策略研究中，闭环系统传递函数的H∞范数是最重要的性能指标之一，H∞控制可不依赖控制系统的精确模型，能较好地抑制结构参数和外界环境的不确定性对控制性能的影响[11-15]。文献[11]以H∞性能作为控制目标之一，提出了考虑结构参数不确定性的鲁棒控制器设计方法；文献[12]将地震激励视作一干扰信号集，研究了最优及次优H∞状态反馈控制器；文献[13]研究了多层偏心结构的鲁棒H∞控制问题；文献[14]基于随机有界实引理（stochastic bounded real lemma），研究了离散时间系统的鲁棒控制问题；文献[15]提出了分散输出反馈H∞控制系统的设计方法，并研究了地震激励下控制系统对于结构的控制效果。虽然研究者们已对H∞控制系统进行了深入研究，但在以往的研究中，考虑环境激励的不确定性的研究较多，针对不确定结构进行鲁棒控制系统研究的相对较少，并且在已有的不确定结构的H∞控制器设计研究中，模型的不确定性参数也常被假设为范数有界形式[16]，即在设计的过程中仅考虑参数的上下界，以最不利状态进行控制系统设计。对于最坏扰动发生概率较小的结构，前述设计方法将以牺牲系统其他性能为代价来保证控制系统鲁棒性，其设计的控制系统将过于保守。
针对上述问题，本文通过赋予参数的取值区间以合适的概率，以含有界随机参数结构模型为控制模型，研究了不确定结构的鲁棒H∞控制问题。首先，基于Gegenbauer多项式将控制模型化为均方残差最小意义下的确定性等效扩阶系统，再选取该扩阶系统进行鲁棒控制系统设计。在整个控制系统设计过程中，基于有界实引理和线性矩阵不等式（LMI）将最优H∞控制问题转化为带有线性矩阵不等式凸约束的极值问题，从而简化了控制系统设计。最后通过算例比较了基于不同控制模型设计的最优H∞控制器对于不确定结构响应的控制效果，验证了本文所述方法具有更好的鲁棒性。
3仿真分析
如图2所示，某3层剪切型不确定框架结构，结构顶层设置主动质量阻尼器（Active Mass Damper，简称AMD）控制系统，相应结构名义模型和AMD参数如表1所示。假设结构的1层刚度k1具有不确定性，其取值区间为k1∈[k0-3υk0，k0+3υk0]，k0为1层刚度名义值（如表1所示），变异系数υ设为0.2。控制系统基于3种结构模型进行设计，分别为不考虑结构参数的不确定性，直接基于结构名义模型设计的最优H∞控制AMD1；仅考虑结构不确定参数的上下界，基于传统不确定模型设计的鲁棒最优H∞控制AMD2[13，16]；以及本文所述方法设计的AMD3。
对于AMD2系统，设为不确定性实数，满足<1，则1层刚度k1=（1+δk）k0，其中δk=3υ。对于本文所述方法，假设1层刚度在取值区间内的概率分布如式（15），其概率密度曲线如图3所示pλ=aλb[1-（k-k0b）2]λ-0.5（15）式中aλ=Γ（λ+1）Γ（0.5）Γ（λ+0.5），Γ（·）为gamma函数b=3σ=3υk0，λ=4.2。以上参数使式（15）在取值区间内与实际工程中常用的截尾正态分布函数（相同均值和方差）具有很高的相似性[17]。对前述AMD3控制模型，取三阶Gegenbauer多项式Gλ0～Gλ2作为展开基底带入式（5），依据1.2节所述形成扩阶系统。
在实际地震和随机地震作用下，不同控制系统在无偏差、首层刚度偏差±30%条件下的控制性能如图5所示，图中控制率定义为（IU-IC）/IU，其中IU，IC分别为未控结构和受控结构层间位移响应峰值。图5（a）～（c）显示了在实际地震动作用下，控制系统对于结构1～3层层间位移峰值的控制效果；随机地震作用下控制系统对于结构层间位移均方差的控制效果如图5（d）所示。通过对图5分析可知，随着楼层的增高，控制系统的控制效果逐步增强，并且不同的外激励对于控制效果的影响也随之减弱。这是由于AMD布置在结构的顶层，随着楼层的增高，控制力的影响将逐渐增强。对不同的AMD系统比较可以发现，无论对于层间位移响应的峰值还是均方差，AMD2的控制效果相对较优，AMD1的控制效果相对较差。当结构1层刚度发生±30%的偏差时，在不同的地震作用下，控制效果有着不同的变化规律。对于El Centro波，随着1层刚度的逐渐增大，在1，2两层控制效果显著降低，其中相对于AMD3，AMD1和AMD2控制效果降低较快，在结构的第3层，AMD1控制效果逐渐降低，AMD3控制效果先升后降，AMD2控制效果逐渐增强。而在Northridge地震波和随机地震作用下，控制系统表现出了较好的鲁棒性。因此，针对外界激励的不确定性对控制系统控制效果的影响，在控制系统设计和评价过程中需加以考量。
图6给出了地震动作用下AMD2和AMD3控制力峰值、均方差相对于AMD1的比率。结合图5，6分析可知，相较于AMD1，AMD2和AMD3通过较大的瞬时控制能量和总能量输入确保了较好的控制效果和鲁棒性。这是因为在控制系统设计过程中，AMD2和AMD3考虑了结构参数的不确定性，并且随着选取的结构模型参数不确定性的增强，鲁棒控制系统需要更多的控制能量减小扰动抑制度γ∞，因此，仅考虑结构不确定参数上下界的AMD2所需控制能量最大。
为了消除3种控制系统控制力峰值差异对控制效果的影响，进一步深入比较控制系统的鲁棒性能，现定义J1（控制效果的标准差）、J2（控制效果的变异系数）、J3（J3=（I1-I2）/I3；I1，I2，I3分别为不确定性结构控制效果的最大值、最小值和平均值）作为控制系统鲁棒性能的评价指标，其中，对于实际地震动，分别采用前述El Centro波和Northridge波作用下不确定性结构的6个控制效果样本进行评价指标的计算，以消除激励的不确定性所产生的影响。
表2，3分别列出了在实际地震或随机地震作用下控制系统评价指标。从表2中可以看出，对于结构层间位移响应峰值，除表2中2行4列J1指标外，AMD2和AMD3的评价指标都明显小于AMD1，控制系统表现出了较好的鲁棒性，通过进一步的比较，AMD3的鲁棒性能又稍好于AMD2。对于随机地震作用下结构层间位移响应均方差，在评价指标J2和J3下，AMD3的鲁棒性能优于AMD1，AMD2。进一步比较J1可以发现，AMD1控制效果的标准差较小，AMD2的标准差最大。但相较于控制效果标准差（指标J1），指标J2和J3给出了控制效果离散程度的相对值，能更好地代表控制系统的鲁棒性能。因此，在进一步结合表2，3中控制力峰值和均方差的评价指标，可以看出相较于其他控制系统，AMD3在较小的控制力波动下取得了更好的鲁棒性能。
4结论
本文基于线性矩阵不等式（LMI）、Gegenbauer多项式和鲁棒控制理论，研究了针对不确定结构的控制系统鲁棒性能，并通过算例比较了基于不同控制模型的最优H∞控制设计方法对结构响应的控制效果和控制效果鲁棒性能，给出了鲁棒性能最优的H∞控制器设计方法。研究结果表明：
1）基于不同控制模型设计的控制系统对不确定结构响应峰值和均方差都有一定的控制效果，其中基于结构名义模型设计的AMD1系统其控制效果最差，基于传统不确定模型设计的AMD2控制效果最优，但控制系统设计相对保守，所需能量较大，基于本文所述方法设计的AMD3系统，其控制效果优于AMD1次于AMD2。
2）針对最优H∞控制，随着结构模型参数不确定性的增强，降低扰动抑制度γ∞的代价将逐渐增大。相较于AMD1， AMD2和AMD3要通过较大的瞬时控制能量和总能量输入确保较优的控制效果，其中，AMD3的控制模型中参数的不确定性较AMD2弱，所以其对于γ∞的控制代价较AMD2小，所需控制能量较AMD2少。
3）结构首层刚度的偏差和地震动的不确定性将直接影响AMD系统的控制效果。通过自定义的鲁棒性能评价指标的比较，表明本文所述H∞控制设计方法相较传统设计方法具有更好的鲁棒性。
参考文献：
[1]Soong T T ， Dargush G F.结构工程中的被动消能系统[M].董平，译.北京：科学出版社，2003.
[2]欧进萍.结构振动控制—主动、半主动和智能控制[M].北京：科学出版社，2003.
[3]Pang Miao， Lou Tiejiong，Zhao Ming.On modal energy in civil structural control[J].Journal of Zhejiang University （Science A），2008，9（7）：878—887.
[4]Hosein Ghaffarzadeh，Amir Younespour.Active tendons control of structures using block pulse functions[J].Structural Control and Health Monitoring，2014，DOI：10.1002/stc.1656.
[5]Ambrosio P，Cazzulani G，Resta F，et al. An optimal vibration control logic for minimizing fatigue damage in flexible structures[J].Journal of Sound and Vibration，2014，333：1269—1280.
[6]王光远.论不确定性结构力学的发展[J].力学进展，2002，32（2）：205—211.
Wang Guangyuan. On the development of uncertain structural mechanics[J]. Advances in Mechanics，2002，32（2）：205—211.
[7]周克敏，Doyle J C，Glover K.鲁棒与最优控制[M].北京：国防工业出版社，2006.
[8]Guo Shuxiang，Li Ying. Non-porbalistic reliability method and reliability-based optimal LQR design for vibration control of structures with uncertain-but-bounded parameters[J].Acta Mechanical Sinica，2013，29（6）：864—874.
[9]Eduardo F Costa，Vilma A Oliveira.On the design of guaranteed cost controllers for a class of uncertain linear system[J].Systems and Control Letters，2003，46：17—29.
[10]Pang Haiping，Yang Qing.Robust LQR tracking control for a class of affine nonlinear uncertain systems[C].24th Chinese Control and Decision Conference（CCDC），2012，23（1）：1192—1202.
[11]宁响亮，刘红军，谭平，等.基于LMI的结构振动多目标鲁棒H2/H∞控制[J].振动工程学报，2010，2（2）：167—172.
Ning Xiangliang，Liu Hongjun，Tan Ping，et al. Multi-objective robust H2/H∞ control for structural vibration based on LMI[J].Journal of Vibration Engineering，2010，2（2）：167—172.
[12]张远勤，林桐，穆静，等.基于线性矩阵不等式（LMI）的建筑结构抗震H∞控制[J].地震工程与工程振动，2003，23（5）：169—173.
Zhang Yuanqin，Lin Tong， Mu Jing，et al. H∞ control for seismic-excited buildings based on linear matrix inequalities（LMI）[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2003，23（5）：169—173.
[13]李志軍，刘园园，王社良，等.偏心结构基于LMI的鲁棒H∞控制[J].振动、测试与诊断，2014，34（5）：857—863，975.
Li Zhijun，Liu Yuanyuan，Wang Sheliang，et al.Robust H∞ control for eccentric buildings via LMI approach[J].Journal of Vibration，Measurement and Diagnosis，2014，34（5）：857—863，975.
[14]Zhang Weihai，Huang Yulin，Xie Lihua. Infinite horizon stochastic H2/H∞ control for discrete-time systems with state and disturbance dependent noise[J]. Automatica，2008，44：2306—2316.
[15]Rubió-Massegú J，Palacios-Quionero F，Rossell J M.Decentralized static out-feedback H∞controller designer for buildings under seismic excitation[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2012，41：1199—1205.
[16]俞立.鲁棒控制-线性矩阵不等式处理方法[M].北京：清华大学出版社，2002.
[17]Wu Cunli，Ma Xiaoping，Fang Tong. A complementary note Gegenbauer polynomial approximation for random response problem of stochastic structure[J]. Probabilistic Engineering Mechanics，2006，21：410—419.
Abstract： A mathematical model for dynamics of any real structure is always just an approximation for the physical reality of the structure. There are always uncertainties in the structure modeling. The robust control for an uncertain structure is discussed based on the model with bounded random parameters. Bounded random parameters of the model are first introduced into the deterministic equivalent model through Gegenbauer polynomial. Then the proposed robust controller is obtained by linear matrix inequalities （LMI） based on bounded real lemma，meanwhile，the H∞ disturbance suppression of the closed-loop control system is satisfied for all allowable uncertainties. To facilitate the computation of the proposed optimization problem，an efficient solution procedure based on the LMI toolbox of Matlab is employed. A 3-story structure with stiffness uncertainty is simulated to compare the performance of three robust controllers. The results of vibration control analysis show that the proposed controller design method is more efficient and robust than the other two robust controllers.
Key words： vibration control； robust control；linear matrix inequality（LMI）；Gegenbauer polynomial；bounded real lemma
摘要： 以含有界随机参数结构模型为控制模型，研究了不确定结构的鲁棒H∞控制问题。在控制系统设计过程中，通过Gegenbauer多项式将不确定结构控制模型中随机参数引入到结构的确定性扩阶系统之中；再基于该扩阶系统，结合有界实引理，采用线性矩阵不等式（linear matrix inequality，LMI）推导得到控制系统的增益矩阵，使得闭环系统传递函数对不确定性扰动满足H∞干扰抑制。最后通过一结构算例，结合自定义的鲁棒性能评价指标，分析比较了基于不同控制模型设计的控制系统鲁棒性能的差异。仿真分析结果表明，模型参数和环境激励的不确定性对控制系统控制效果有较大影响，所述控制系统设计方法相较其他两类方法具有更好的鲁棒性。
关键词： 振动控制； 鲁棒控制； 线性矩阵不等式； Gegenbauer多项式； 有界实引理
中图分类号： TB535； TU311.3文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）04-0629-07
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.010
引言
近几十年来，由于结构主动控制相对于传统被动控制技术具有振动控制效果好、适应范围广、检测修复便捷等优点，逐渐引起了各国学者的广泛研究 [1-2]。但是在以往的研究中，控制系统的设计多需依赖精确的控制模型[3-5]，然而控制模型只是实际结构的近似和简化，其本质上仍存在不确定性[6]；同时外界环境激励如地震、海浪和风等也具有很强的不确定性。这些广泛存在的不确定性都会影响控制系统的控制效果，甚至破坏结构系统的稳定性。一个良好的控制系统应具有一定的鲁棒性来应对模型和外界环境的不确定性[7]。因此，发展结构的鲁棒控制策略具有重要的理论意义和实际应用價值[8-10]。
在鲁棒控制策略研究中，闭环系统传递函数的H∞范数是最重要的性能指标之一，H∞控制可不依赖控制系统的精确模型，能较好地抑制结构参数和外界环境的不确定性对控制性能的影响[11-15]。文献[11]以H∞性能作为控制目标之一，提出了考虑结构参数不确定性的鲁棒控制器设计方法；文献[12]将地震激励视作一干扰信号集，研究了最优及次优H∞状态反馈控制器；文献[13]研究了多层偏心结构的鲁棒H∞控制问题；文献[14]基于随机有界实引理（stochastic bounded real lemma），研究了离散时间系统的鲁棒控制问题；文献[15]提出了分散输出反馈H∞控制系统的设计方法，并研究了地震激励下控制系统对于结构的控制效果。虽然研究者们已对H∞控制系统进行了深入研究，但在以往的研究中，考虑环境激励的不确定性的研究较多，针对不确定结构进行鲁棒控制系统研究的相对较少，并且在已有的不确定结构的H∞控制器设计研究中，模型的不确定性参数也常被假设为范数有界形式[16]，即在设计的过程中仅考虑参数的上下界，以最不利状态进行控制系统设计。对于最坏扰动发生概率较小的结构，前述设计方法将以牺牲系统其他性能为代价来保证控制系统鲁棒性，其设计的控制系统将过于保守。
针对上述问题，本文通过赋予参数的取值区间以合适的概率，以含有界随机参数结构模型为控制模型，研究了不确定结构的鲁棒H∞控制问题。首先，基于Gegenbauer多项式将控制模型化为均方残差最小意义下的确定性等效扩阶系统，再选取该扩阶系统进行鲁棒控制系统设计。在整个控制系统设计过程中，基于有界实引理和线性矩阵不等式（LMI）将最优H∞控制问题转化为带有线性矩阵不等式凸约束的极值问题，从而简化了控制系统设计。最后通过算例比较了基于不同控制模型设计的最优H∞控制器对于不确定结构响应的控制效果，验证了本文所述方法具有更好的鲁棒性。
3仿真分析
如图2所示，某3层剪切型不确定框架结构，结构顶层设置主动质量阻尼器（Active Mass Damper，简称AMD）控制系统，相应结构名义模型和AMD参数如表1所示。假设结构的1层刚度k1具有不确定性，其取值区间为k1∈[k0-3υk0，k0+3υk0]，k0为1层刚度名义值（如表1所示），变异系数υ设为0.2。控制系统基于3种结构模型进行设计，分别为不考虑结构参数的不确定性，直接基于结构名义模型设计的最优H∞控制AMD1；仅考虑结构不确定参数的上下界，基于传统不确定模型设计的鲁棒最优H∞控制AMD2[13，16]；以及本文所述方法设计的AMD3。
对于AMD2系统，设为不确定性实数，满足<1，则1层刚度k1=（1+δk）k0，其中δk=3υ。对于本文所述方法，假设1层刚度在取值区间内的概率分布如式（15），其概率密度曲线如图3所示pλ=aλb[1-（k-k0b）2]λ-0.5（15）式中aλ=Γ（λ+1）Γ（0.5）Γ（λ+0.5），Γ（·）为gamma函数b=3σ=3υk0，λ=4.2。以上参数使式（15）在取值区间内与实际工程中常用的截尾正态分布函数（相同均值和方差）具有很高的相似性[17]。对前述AMD3控制模型，取三阶Gegenbauer多项式Gλ0～Gλ2作为展开基底带入式（5），依据1.2节所述形成扩阶系统。
在实际地震和随机地震作用下，不同控制系统在无偏差、首层刚度偏差±30%条件下的控制性能如图5所示，图中控制率定义为（IU-IC）/IU，其中IU，IC分别为未控结构和受控结构层间位移响应峰值。图5（a）～（c）显示了在实际地震动作用下，控制系统对于结构1～3层层间位移峰值的控制效果；随机地震作用下控制系统对于结构层间位移均方差的控制效果如图5（d）所示。通过对图5分析可知，随着楼层的增高，控制系统的控制效果逐步增强，并且不同的外激励对于控制效果的影响也随之减弱。这是由于AMD布置在结构的顶层，随着楼层的增高，控制力的影响将逐渐增强。对不同的AMD系统比较可以发现，无论对于层间位移响应的峰值还是均方差，AMD2的控制效果相对较优，AMD1的控制效果相对较差。当结构1层刚度发生±30%的偏差时，在不同的地震作用下，控制效果有着不同的变化规律。对于El Centro波，随着1层刚度的逐渐增大，在1，2两层控制效果显著降低，其中相对于AMD3，AMD1和AMD2控制效果降低较快，在结构的第3层，AMD1控制效果逐渐降低，AMD3控制效果先升后降，AMD2控制效果逐渐增强。而在Northridge地震波和随机地震作用下，控制系统表现出了较好的鲁棒性。因此，针对外界激励的不确定性对控制系统控制效果的影响，在控制系统设计和评价过程中需加以考量。
图6给出了地震动作用下AMD2和AMD3控制力峰值、均方差相对于AMD1的比率。结合图5，6分析可知，相较于AMD1，AMD2和AMD3通过较大的瞬时控制能量和总能量输入确保了较好的控制效果和鲁棒性。这是因为在控制系统设计过程中，AMD2和AMD3考虑了结构参数的不确定性，并且随着选取的结构模型参数不确定性的增强，鲁棒控制系统需要更多的控制能量减小扰动抑制度γ∞，因此，仅考虑结构不确定参数上下界的AMD2所需控制能量最大。
为了消除3种控制系统控制力峰值差异对控制效果的影响，进一步深入比较控制系统的鲁棒性能，现定义J1（控制效果的标准差）、J2（控制效果的变异系数）、J3（J3=（I1-I2）/I3；I1，I2，I3分别为不确定性结构控制效果的最大值、最小值和平均值）作为控制系统鲁棒性能的评价指标，其中，对于实际地震动，分别采用前述El Centro波和Northridge波作用下不确定性结构的6个控制效果样本进行评价指标的计算，以消除激励的不确定性所产生的影响。
表2，3分别列出了在实际地震或随机地震作用下控制系统评价指标。从表2中可以看出，对于结构层间位移响应峰值，除表2中2行4列J1指标外，AMD2和AMD3的评价指标都明显小于AMD1，控制系统表现出了较好的鲁棒性，通过进一步的比较，AMD3的鲁棒性能又稍好于AMD2。对于随机地震作用下结构层间位移响应均方差，在评价指标J2和J3下，AMD3的鲁棒性能优于AMD1，AMD2。进一步比较J1可以发现，AMD1控制效果的标准差较小，AMD2的标准差最大。但相较于控制效果标准差（指标J1），指标J2和J3给出了控制效果离散程度的相对值，能更好地代表控制系统的鲁棒性能。因此，在进一步结合表2，3中控制力峰值和均方差的评价指标，可以看出相较于其他控制系统，AMD3在较小的控制力波动下取得了更好的鲁棒性能。
4结论
本文基于线性矩阵不等式（LMI）、Gegenbauer多项式和鲁棒控制理论，研究了针对不确定结构的控制系统鲁棒性能，并通过算例比较了基于不同控制模型的最优H∞控制设计方法对结构响应的控制效果和控制效果鲁棒性能，给出了鲁棒性能最优的H∞控制器设计方法。研究结果表明：
1）基于不同控制模型设计的控制系统对不确定结构响应峰值和均方差都有一定的控制效果，其中基于结构名义模型设计的AMD1系统其控制效果最差，基于传统不确定模型设计的AMD2控制效果最优，但控制系统设计相对保守，所需能量较大，基于本文所述方法设计的AMD3系统，其控制效果优于AMD1次于AMD2。
2）針对最优H∞控制，随着结构模型参数不确定性的增强，降低扰动抑制度γ∞的代价将逐渐增大。相较于AMD1， AMD2和AMD3要通过较大的瞬时控制能量和总能量输入确保较优的控制效果，其中，AMD3的控制模型中参数的不确定性较AMD2弱，所以其对于γ∞的控制代价较AMD2小，所需控制能量较AMD2少。
3）结构首层刚度的偏差和地震动的不确定性将直接影响AMD系统的控制效果。通过自定义的鲁棒性能评价指标的比较，表明本文所述H∞控制设计方法相较传统设计方法具有更好的鲁棒性。
参考文献：
[1]Soong T T ， Dargush G F.结构工程中的被动消能系统[M].董平，译.北京：科学出版社，2003.
[2]欧进萍.结构振动控制—主动、半主动和智能控制[M].北京：科学出版社，2003.
[3]Pang Miao， Lou Tiejiong，Zhao Ming.On modal energy in civil structural control[J].Journal of Zhejiang University （Science A），2008，9（7）：878—887.
[4]Hosein Ghaffarzadeh，Amir Younespour.Active tendons control of structures using block pulse functions[J].Structural Control and Health Monitoring，2014，DOI：10.1002/stc.1656.
[5]Ambrosio P，Cazzulani G，Resta F，et al. An optimal vibration control logic for minimizing fatigue damage in flexible structures[J].Journal of Sound and Vibration，2014，333：1269—1280.
[6]王光远.论不确定性结构力学的发展[J].力学进展，2002，32（2）：205—211.
Wang Guangyuan. On the development of uncertain structural mechanics[J]. Advances in Mechanics，2002，32（2）：205—211.
[7]周克敏，Doyle J C，Glover K.鲁棒与最优控制[M].北京：国防工业出版社，2006.
[8]Guo Shuxiang，Li Ying. Non-porbalistic reliability method and reliability-based optimal LQR design for vibration control of structures with uncertain-but-bounded parameters[J].Acta Mechanical Sinica，2013，29（6）：864—874.
[9]Eduardo F Costa，Vilma A Oliveira.On the design of guaranteed cost controllers for a class of uncertain linear system[J].Systems and Control Letters，2003，46：17—29.
[10]Pang Haiping，Yang Qing.Robust LQR tracking control for a class of affine nonlinear uncertain systems[C].24th Chinese Control and Decision Conference（CCDC），2012，23（1）：1192—1202.
[11]宁响亮，刘红军，谭平，等.基于LMI的结构振动多目标鲁棒H2/H∞控制[J].振动工程学报，2010，2（2）：167—172.
Ning Xiangliang，Liu Hongjun，Tan Ping，et al. Multi-objective robust H2/H∞ control for structural vibration based on LMI[J].Journal of Vibration Engineering，2010，2（2）：167—172.
[12]张远勤，林桐，穆静，等.基于线性矩阵不等式（LMI）的建筑结构抗震H∞控制[J].地震工程与工程振动，2003，23（5）：169—173.
Zhang Yuanqin，Lin Tong， Mu Jing，et al. H∞ control for seismic-excited buildings based on linear matrix inequalities（LMI）[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2003，23（5）：169—173.
[13]李志軍，刘园园，王社良，等.偏心结构基于LMI的鲁棒H∞控制[J].振动、测试与诊断，2014，34（5）：857—863，975.
Li Zhijun，Liu Yuanyuan，Wang Sheliang，et al.Robust H∞ control for eccentric buildings via LMI approach[J].Journal of Vibration，Measurement and Diagnosis，2014，34（5）：857—863，975.
[14]Zhang Weihai，Huang Yulin，Xie Lihua. Infinite horizon stochastic H2/H∞ control for discrete-time systems with state and disturbance dependent noise[J]. Automatica，2008，44：2306—2316.
[15]Rubió-Massegú J，Palacios-Quionero F，Rossell J M.Decentralized static out-feedback H∞controller designer for buildings under seismic excitation[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2012，41：1199—1205.
[16]俞立.鲁棒控制-线性矩阵不等式处理方法[M].北京：清华大学出版社，2002.
[17]Wu Cunli，Ma Xiaoping，Fang Tong. A complementary note Gegenbauer polynomial approximation for random response problem of stochastic structure[J]. Probabilistic Engineering Mechanics，2006，21：410—419.
Abstract： A mathematical model for dynamics of any real structure is always just an approximation for the physical reality of the structure. There are always uncertainties in the structure modeling. The robust control for an uncertain structure is discussed based on the model with bounded random parameters. Bounded random parameters of the model are first introduced into the deterministic equivalent model through Gegenbauer polynomial. Then the proposed robust controller is obtained by linear matrix inequalities （LMI） based on bounded real lemma，meanwhile，the H∞ disturbance suppression of the closed-loop control system is satisfied for all allowable uncertainties. To facilitate the computation of the proposed optimization problem，an efficient solution procedure based on the LMI toolbox of Matlab is employed. A 3-story structure with stiffness uncertainty is simulated to compare the performance of three robust controllers. The results of vibration control analysis show that the proposed controller design method is more efficient and robust than the other two robust controllers.
Key words： vibration control； robust control；linear matrix inequality（LMI）；Gegenbauer polynomial；bounded real lemma
