曲线轨道钢轨扭转振动频率响应特性研究
杜林林 刘维宁 刘卫丰
摘要： 将曲线轨道视为周期性离散支承结构，根据周期性结构的振动特性，将曲线轨道动力响应的求解问题转化在一个基本元之内进行研究，将固定谐振荷载视为速度为零的移动谐振荷载，通过引入移动谐振荷载作用下曲线轨道钢轨的频域数学模态及广义波数，得出曲线轨道钢轨扭转振动频域响应的级数表达。在频域内采用模态叠加法表示钢轨的扭转振动，进而求解得出不同激振频率下钢轨的扭转振动频域响应，得到曲线轨道扭转振动频率响应函数。针对曲线轨道扭转振动频响特性，分析了扣件支点扭转刚度、扭转阻尼系数、扣件支点间距以及曲线半径等因素对频响函数的影响。
关键词： 曲线轨道； 弯扭耦合； 周期结构； 频域模态叠加法； 频响函数
中图分类号： U211.3； U213文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）04-0644-10
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.012
引言
为满足城市轨道交通疏解城市拥堵的功能，在城市轨道交通线路的规划设计中，需布置曲线轨道以适应地形、地物、地质等条件的约束，最大限度地满足城市既有布局对线路平面的布置要求[1-3]。然而列车通过曲线轨道时产生的振动问题却不容忽视，以北京地铁为例，曲线轨道钢轨处出现了大量异常波磨，影响车辆运行甚至危及行车安全[4-5]。由于曲线欠、过超高引起的横向荷载会产生较强的钢轨横向振动以及钢轨扭转振动，导致轨距增大，影响轮轨动态接触几何关系[6]。因钢轨扭转导致扣件系统承受较大的抗拔力，使得扣件被拔出或者断裂，危及行车安全[7]。
针对钢轨扭转振动的研究，魏先祥等[8]采用差分法获得了中国干线钢轨的扭转变形参数。张永兴等[9]通过建立钢轨扭转模型，分析了钢轨扭转变形以及由扭转变形引起的钢轨水平位移，并指出在分析计算钢轨水平位移时，必须考虑扭转变形。张宏海等[10]通过建立车轮、钢轨、扣件有限元模型，得到了钢轨扭转变形的变化规律。以上均是针对直线轨道的钢轨扭转振动进行研究，而对于曲线轨道来说，其扭转振动与弯曲振动是互相耦合的。针对曲线轨道扭转振动的研究，Kostovasilis等[11]通过建立曲线轨道有限元模型，研究了曲梁单元和直梁单元在计算曲线轨道动力响应上的差异；Dai Jian和Ang Kok Keng[12-13]采用三角函数法拟合曲线梁的振动，得到了连续支承曲线Euler-Bernoulli梁稳态动力响应；以上研究忽略了离散支承对钢轨扭转振动的影响。王开云、翟婉明等[14]将钢轨视为连续弹性离散点支承基础上的Euler-Bernoulli梁，采用Ritz法得到了钢轨扭转的二阶常微分方程组，运用车辆-轨道耦合动力学模型，研究了扭转变形对轮轨动态相互作用的影响，但研究中采用直线梁建立钢轨扭转振动平衡方程，忽略了曲率对扭转振动平衡方程的影响。
为此，本文将利用轨道结构周期性支承条件，在一个基本元之内对钢轨动力响应问题开展研究。不同于以往曲线车-轨动态耦合模型的研究，其中超高、轨底坡等对轨道所承受的轮轨力具有显著影响[15]，本文主要研究固定谐振荷载作用下曲线轨道的扭转振动频率响应特性，轨道所受荷载为固定谐振荷载，不受超高、轨底坡等因素的影响。故可忽略超高、轨底坡等因素，将曲线轨道钢轨简化为周期性离散支承的平面曲线梁进行研究。
1曲线轨道钢轨扭转振动响应求解
1.1圆弧曲梁自由振动微分方程在分析曲线轨道钢轨的动力响应特性时，可采用曲线Euler-Bernoulli梁模拟曲线钢轨。在推导曲线梁振动微分方程时，假定曲线梁为等截面的匀质梁且曲率半径为常数，横截面具有竖直的对称轴；曲线梁形心与剪切中心重合；曲率半径远大于横截面、梁长的尺寸。曲线梁坐标系按照右手螺旋法则规定，如图1所示。
2曲线轨道钢轨扭转振动频率响应函数分析
2.1轨道模型及钢轨扭转振动频响函数计算
为求得曲线轨道钢轨扭转振动频率响应函数，以北京地铁普通整体道床轨道为例研究曲线轨道钢轨动力响应特性，轨道采用DTVI2扣件，钢轨及DTVI2扣件参数如表1所示。
曲線轨道模型如图6所示，对于轨道系统来说，扣件的离散支承引起了轨道结构刚度的周期性变化，其中扣件支承点处刚度最大，相邻扣件支点跨中处刚度最小。为研究离散支承曲线轨道钢轨扭转振动频响特性，本文分别计算了不同位置处的扭转振动频响函数。其中激振点与拾振点布置如图6所示，d表示距扣件支点处的距离，计算中激振点与拾振点选取了d=0，L/2，L/3，L/4，L/8，分别对应求解支点处、跨中处、1/3跨处、1/4跨处、1/8跨处的扭转振动频响函数。为了对比离散支承与连续支承的区别，本文同时计算了连续支承曲线轨道钢轨扭转振动频率响应函数，结果如图7所示。
由图7可知：
（1）离散支承钢轨各点处以及连续支承钢轨-支承扭转共振频率为160 Hz，约等于单位长度钢轨与扣件支点构成的单自由度质量-支承扭转自振频率：4kφρI0L-c2φ/（4πρI0L）（165 Hz）；在该自振频率点，离散支承钢轨在跨中处、1/3跨处、1/4跨处、1/8跨处、支点处扭转振动响应幅值逐渐变小，跨中处取得最大值、支点处取得最小值，连续支承钢轨响应幅值介于跨中处和支点处之间，离散支承和连续支承钢轨响应相位基本相同，钢轨扭转振动响应与荷载同步性较强，钢轨绕支点产生整体扭转振动且以刚体转动为主，如图8（a）所示；
（2）由离散支承钢轨各点处与连续支承钢轨幅频、相频响应函数对比分析可知，离散支承引起了高频段的钢轨扭转共振；
（3）根据离散点支承钢轨扭转共振频率计算公式[30]fn=n2LGIdρI0，可知1阶、2阶、3阶钢轨扭转共振频率分别为637，1274，1911 Hz。由图7可知1阶、2阶、3阶钢轨扭转共振频率分别为635，1280，1914 Hz，与公式求解结果基本一致，验证了本文计算结果的正确性；
（4）离散支承曲线轨道1阶、2阶、3阶钢轨扭转共振以钢轨扭转变形振动为主，振动波幅值分布分别对应于图8（b）中1阶、2阶、3阶钢轨扭转共振；对于1阶钢轨扭转共振，其振动波半波长等于扣件支点间距，跨中处（d=L/2）响应幅值最大，支点处（d=0）响应幅值最小，d=L/3，L/4，L/8时响应幅值介于2者之间且依次减小；对于2阶钢轨扭转共振，其振动波波长等于扣件支点间距，d=L/4时响应幅值最大，支点处（d=0）、跨中处（d=L/2）响应幅值最小，d=L/3，L/8时响应幅值介于二者之间且依次减小；对于3阶钢轨扭转共振，扣件支点间距等于1.5倍的振动波波长，跨中处（d=L/2）响应幅值最大，支点处（d=0）、d=L/3处最小，d=L/4，L/8时响应幅值介于二者之间且依次减小；
（5）离散支承钢轨各点处相频函数在钢轨扭转共振频率附近频段发生显著变化；连续支承钢轨扭转振动相频函数较为平滑，随着频率的增高，相位差趋于稳定。
由以上分析可知，离散支承使得钢轨产生了高频扭转共振，接下来将针对离散支承轨道结构支承参数以及曲线半径等因素对扭转振动特性的影响进行分析研究。由于支点处及跨中处幅频、相频响应函数能够反应钢轨扭转共振各阶响应特点，因此下文只分析支点处和跨中处的响应。
2.2扣件支点扭转刚度及阻尼系数对频响函数的影响
为了研究支点扭转刚度对扭转振动频响函数的影响，本文分别计算了支点扭转刚度为56.25，112.5，337.5及450 kN·m/rad时支点处和跨中处的频响函数。为研究支点扭转阻尼系数对频响函数的影响，分别计算了扭转阻尼系数为40，160及280 N·m·s/rad时支点处和跨中处的频响函数。其余参数如表1所示。
图9给出了不同支点扭转刚度时跨中处及支点处的扭转振动幅频、相频响应函数。图10给出了不同扭转阻尼系数时跨中、支点处的钢轨扭转振动幅频、相频响应函数。
觀察图9可知：
（1）由计算公式求得不同支承刚度时单位长度钢轨与扣件支点构成的单自由度质量-扭转支承自振频率分别为53，105，209，245 Hz，与图9中本文求解结果吻合良好；钢轨-支承扭转自振频率受支点扭转刚度变化影响较大，支点扭转刚度的增加会提高钢轨-支承扭转自振频率，降低钢轨-支承扭转自振频率点处的响应幅值；
（2）扣件支点扭转刚度变化对钢轨扭转共振频率没有影响；
（3）随着支点扭转刚度的增加，钢轨振动响应与荷载相位差减少，振动响应同步性增强，但对钢轨扭转共振频率没有影响。
观察图10可知：
（1）根据计算公式求得不同支承阻尼系数所对应的单位长度钢轨与扣件支点构成的单自由度质量-扭转支承自振频率分别为180，165，128 Hz，与图10中本文求解结果吻合良好；钢轨-支承扭转自振频率受支承阻尼系数变化影响较小，增加阻尼系数时，钢轨-支承扭转自振频率略有减少，频响函数在钢轨-支承扭转自振频率点附近处的响应幅值有所降低；
（2）扣件支点扭转阻尼系数对钢轨扭转共振频率没有影响；随着阻尼系数的增加，跨中处响应幅值在扭转共振频率点处增加，支点处响应幅值在扭转共振频率点处降低；
（3）阻尼系数对扭转振动相位具有明显影响，在小于钢轨-支承扭转自振频率频段，随着支点扭转阻尼系数的增加，相位差逐渐增大，振动同步性降低；当荷载频率处于钢轨-支承扭转自振频率及钢轨扭转振动1阶共振频率之间时，相位差随着阻尼系数的增大而减小，振动同步性增强。
2.3扣件间距及曲线半径对频响函数的影响分析
为了研究曲线钢轨半径及扣件支点间距对扭转振动频响函数的影响，本文分别计算了曲线半径为150，300，500及1000 m时支点处和跨中处的频响函数。为了研究扣件支点间距对钢轨扭转振动频响函数的影响，本文分别计算了支点间距为0.5，0.6，0.7 m时支点处和跨中处的频响函数。其余参数如表1所示。
图11给出了不同曲线半径作用下跨中处及支点处的钢轨扭转振动幅频、相频响应函数。
由图11可知：
（1）钢轨-支承扭转自振频率几乎不受半径影响，半径的增加对钢轨-支承扭转自振频率没有影响；曲线钢轨扭转振动共振频率几乎不受半径影响，半径的增加对扭转振动共振频率没有影响；
（2）半径变化对于曲线钢轨扭转相位响应没有影响；
（3）地铁轨道一般地段正线最小曲线半径为300 m，随着曲线半径的增加，钢轨扭转振动频响函数基本一致，半径对曲线轨道扭转频响函数几乎没有影响。
图12所示为曲线半径为300 m时，不同扣件支点间距时跨中处及支点处的钢轨扭转振动幅频、相频响应函数。
观察图12可知：
（1）根据计算公式求得支点间距为0.5，0.6及0.7 m时所对应的单位长度钢轨与扣件支点构成的单自由度质量-扭转支承自振频率分别为177，165和155 Hz，与本文求解计算结果吻合良好；扣件支点间距对曲线轨道钢轨-支承扭转自振频率变化影响较大，支点间距减小时钢轨-支承扭转自振频率提高，钢轨-支承扭转自振频率处响应幅值降低；
（2）根据计算公式求得支点间距为0.5，0.6及0.7 m时所对应的1阶钢轨扭转共振频率分别为764，637和546 Hz，与程序求解计算结果吻合良好，支点间距减小时，1阶钢轨扭转共振频率增大；
（3）扣件间距对钢轨振动相位具有显著的影响，频率小于1阶钢轨扭转共振频率时，随着扣件间距的增加，扭转振动与荷载之间的相位差增大，振动与荷载的同步性降低；
（4）扣件支点间距对曲线钢轨1阶扭转共振响应具有显著的影响，跨中处1阶钢轨扭转共振响应幅值随支点间距的增加而变大。
3结论
（1）曲线轨道钢轨-支承扭转自振频率受支点扭转刚度、扭转阻尼系数、支点间距变化影响较大；支点扭转刚度增加时钢轨-支承扭转自振频率提高，响应幅值降低；扭转阻尼系数增加时钢轨-支承扭转自振频率略有减少，频响函数在钢轨-支承扭转自振频率附近的响应幅值降低；支点间距减小时钢轨-支承扭转自振频率提高，响应幅值降低；
（2）钢轨支点及跨中处在钢轨-支承扭转自振频率处相位信息相同，钢轨扭转振动共振频率处二者相位差为90°；增加支点扭转刚度、减小支点间距时，钢轨振动响应与荷载相位差减少，振动响应同步性增强；激振频率小于钢轨-支承扭转自振频率时，相位差随着扭转支承阻尼系数的增加而增大，振动同步性降低；激振频率大于钢轨-支承扭转自振频率时，相位差随着阻尼系数增大而减小，振动同步性增强；
（3）离散支承钢轨1阶、2阶、3阶扭转共振波波长为2倍扣件间距、扣件间距、2/3扣件间距；离散支承引起了高频段的钢轨扭转共振及反共振；扣件支点扭转刚度对钢轨扭转振动共振频率没有影响；增大支点扭转阻尼系数时跨中处1阶扭转振动共振峰幅值增加；支点间距对钢轨1阶扭转振动共振特性具有显著的影响，跨中处1阶扭转振动共振峰幅值随支点间距的增加而变大；支点间距减小时，1阶扭转振动共振频率增大；
（4）地铁轨道一般地段正线最小曲线半径为300 m，随着半径的增加，轨道扭转振动频率响应函数基本一致，半径对曲线轨道扭转振动频响函数几乎没有影响。
参考文献：
[1]顾保南，姜晓明，程曜彦，等.论城市轨道交通最小曲线半径标准的选择[J].同济大学学报（自然科学版）， 2003，31（4）：428—431.
GU Baonan， JIANG Xiaoming， CHENG Yaoyan， et.al. Study on radius standard of urban rail transit in China [J]. Journal of Tongji University （Natural Science）， 2003，31（4）： 428—431.
[2]袁揚，刘维宁，刘卫丰.基于现场测试的曲线段地铁地面振动传播规律[J]. 中国铁道科学， 2012，33（4）：133—138.
YUAN Yang， LIU Weining， LIU Weifeng. Propagation law of ground vibration in the curve section of metro based on in-situ measurement [J]. China Railway Science， 2012，33（4）： 133—138.
[3]柴小艳. 城市轨道交通小半径曲线设计探讨[J]. 城市轨道交通研究， 2016，19（9）：52—55.
CHAI Xiaoyan. On small radius curve design for urban rail transit[J] Urban Mass Transit， 2016， 19（9）：52—55.
[4]ZHANG Hougui， LIU Weining， LIU Weifeng， et al. Study on the cause and treatment of rail corrugation for Beijing Metro[J]. Wear， 2014，317（1）：120—128.
[5]ZHANG Hougui， LIU Weining， LI Kefei， et al. Analytical solution for dynamic response of curved rail subjected to moving train[J]. Journal of Vibroengineering， 2014，16 （4）：1392—8716.
[6]钱小益. 铁路钢轨扭转问题的研究[J]. 上海铁道科技， 2014，（02）：120—121.
QIAN Xiaoyi. Research on rail torsion of railway[J]. Shanghai Railway Technology， 2014，（02）：120—121.
[7]Nair S， Garg V， Lai Y. Dynamic stability of a curved rail under a moving load[J]. Applied Mathematical Modelling， 1985， 9（3）： 220—224.
[8]魏先祥，张淑荣.钢轨的扭转特性[J].铁道建筑， 1994，（2）： 2—5.
Wei Xianxiang， ZHANG Shurong.Characteristic of rail torsion[J].Railway Engineering，1994，（2）：2—5.
[9]张永兴， 练松良. 钢轨扭转时的水平位移分析[J]. 上海铁道大学学报， 1997，（03）：22—27.
ZHANG Yongxing， LIAN Songliang. Analysis of lateral displacement of rail while considering the twist of tail [J].Journal of Shanghai Tiedao University， 1997，（03）： 22—27.
[10]张宏海.钢轨横移及扭转变形研究[D].成都：西南交通大学， 2009.
Zhang Honghai. Research on horizontal deformation and reverse deformation of rail [D].Chengdu： Southwest Jiaotong University， 2009.
[11]Kostovasilis D， Koroma S G， Hussein M F M， et al. A Comparison between the use of straight and curved beam elements for modelling curved railway tracks[C]. 11th International Conference on Vibration Problems， Lisbon， Portugal， 2013：1—10.
[12]Ang Kok Keng， Dai Jian. Response analysis of a curved rail subject to a moving load[C]. 11th International Conference on Vibration Problem， Lisbon，Portugal，2013.
[13]Dai J， Ang K K. Steady-state response of a curved beam on a viscously damped foundation subjected to a sequence of moving loads [J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part F： Journal of Rail and Rapid Transit， 2015，229 （4）：375—394.
[14]王開云，翟婉明，蔡成标.钢轨扭转运动对轮轨动态相互作用的影响[J].中国铁道科学， 2008，29 （03）： 68—72.
WANG Kaiyun， ZHAI Wanming， CAI Cheng-biao. Effect of rail torsional motions on wheel-rail dynamic interaction [J]. China Railway Science， 2008， 29（03）： 68—72.
[15]朱颖， 易思蓉. 高速铁路曲线参数动力学分析理论与方法[M]. 北京： 中国铁道出版社， 2011.
Zhu Ying， Yi Sirong. Theory and Method of Dynamic Analysis on Curved Line Parameters of High Speed Railway [M]. Beijing： China Railway Publishing House， 2011.
[16]VLASOV V Z. Thin-wall Elastic Beams[M]. Washington D C： National Science Foundation， 1961.
[17]汉斯 C P. 结构杆件的弯曲与扭转[M]. 常岭，吴绍本，译. 北京： 人民交通出版社， 1981.
Heins C P. Bending and Torsion of Structural Members [M]. Beijing： China Communications Press， 1981.
[18]姚玲森. 曲线梁[M]. 北京： 人民交通出版社， 1989.
Yao Lingsen. Curved Beam [M]. Beijing： China Communications Press， 1989.
[19]孙广华.曲线梁桥计算[M].北京：人民交通出版社，1995.
Sun Guanghua. Calculation of Curved Bridges [M]. Beijing： China Communications Press，1995.
[20]李惠生， 张罗溪. 曲线梁桥结构分析[M]. 北京： 中国铁道出版社， 1992.
Li Huisheng， Zhang Luoxi. Structure Analysis of Curved Bridges [M]. Beijing：China Railway Publishing House， 1992.
[21]YANG Y B， WU C M， YAU J D. Dynamic response of a horizontally curved beam subjected to vertical and horizontal moving loads [J]. Journal of Sound and Vibration， 2001，242 （3）：519—537.
[22]Dai Jian. Analysis of High-speed Rail （HSR） System [D]. National University of Singapore， 2014.
[23]翟婉明. 车辆-轨道耦合动力学[M]. 第4版，北京： 科学出版社， 2015.
Zhai Wanming. Dynamic of Coupled Vehicle and Track [M]. Beijing： Science Press， 2015.
[24]Martínez-Casas José， Di Gialleonardo Egidio， Bruni Stefano， et al. A comprehensive model of the railway wheelset–track interaction in curves[J]. Journal of Sound and Vibration， 2014，333（18）：4152—4169.
[25]马龙祥， 刘维宁， 刘卫丰. 移动荷载作用下周期支承轨道结构振动研究[J]. 中国铁道科学， 2013，34（01）：1—7.
MA Longxiang， LIU Weining， LIU Weifeng. Study on vibration of periodic supported track structure under moving loads [J].China Railway Science， 2013，34 （01）： 1—7.
[26]Belotserkovskiy P M. Forced oscillations of infinite periodic structures. applications to railway track Dynamics [J]. Vehicle System Dynamics， 1998， 29 （S1）：85—103.
[27]馬龙祥， 刘维宁， 李克飞. 移动荷载作用下浮置板轨道振动响应的频域快速数值算法[J]. 铁道学报， 2014，（02）：86—94.
MA Longxiang， LIU Weining， LI Kefei. Fast numerical algorithm of floating slab track vibration response under moving loads in the frequency domain [J]. Journal of the China Railway Society， 2014，（02）： 86—94.
[28]刘维宁， 马龙祥， 姜博龙， 等. 浮置板轨道动力响应分析的广义波数法[J]. 中国铁道科学， 2016，37（01）：31—38.
LIU Weining， MA Longxiang， JIANG Bolong， et al. Generalized wavenumber method for dynamic response analysis of floating slab track[J]. China Railway Science， 2016， 37（01）：31—38.
[29]马龙祥.基于无限-周期结构理论的车轨耦合及隧道-地层振动响应分析模型研究[D]. 北京：北京交通大学， 2015.
Ma Longxiang. Study on the model of coupled vehicle & track and the prediction model for tunnel-ground vibration response based on the periodic-infinite structure theory [D]. Beijing：Beijing Jiaotong University， 2014.
[30]刘延柱，陈文良，陈立群.振动力学[M].北京：高等教育出版社， 2000.
Liu Yanzhu， Chen Wenliang， Chen Liqun. Vibration Mechanics [M]. Beijing： Higher Education Press， 2000.
Abstract： Modelling dynamic behavior of curved railway track subjected to fixed harmonic loads is important to understand its dynamic properties. In this paper， the discretely supported curved Euler-Bernoulli beam is used to simulate the curved track. Dynamic response of the curved track can be solved within one basic cell based on property of periodical structure in the frequency domain. The fixed harmonic loads are viewed as moving harmonic loads with zero velocity. By introduction of mathematic modes and generalized wave numbers of the track under moving harmonic loads， the torsional dynamic response of the curved track in the frequency domain is obtained in series form. Using the mode superposition method， the torsional dynamic responses of curved track with different excitation frequencies are achieved. Furthermore， the effects of torsional support stiffness， torsional support damping coefficient， the fastener support spacing and the curve radius on the frequency response function of torsional vibration are analyzed.
Key words： curved track； coupling of bending and torsion； periodical structure； modes superposition method in frequency domain； frequency response function
摘要： 将曲线轨道视为周期性离散支承结构，根据周期性结构的振动特性，将曲线轨道动力响应的求解问题转化在一个基本元之内进行研究，将固定谐振荷载视为速度为零的移动谐振荷载，通过引入移动谐振荷载作用下曲线轨道钢轨的频域数学模态及广义波数，得出曲线轨道钢轨扭转振动频域响应的级数表达。在频域内采用模态叠加法表示钢轨的扭转振动，进而求解得出不同激振频率下钢轨的扭转振动频域响应，得到曲线轨道扭转振动频率响应函数。针对曲线轨道扭转振动频响特性，分析了扣件支点扭转刚度、扭转阻尼系数、扣件支点间距以及曲线半径等因素对频响函数的影响。
关键词： 曲线轨道； 弯扭耦合； 周期结构； 频域模态叠加法； 频响函数
中图分类号： U211.3； U213文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）04-0644-10
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.012
引言
为满足城市轨道交通疏解城市拥堵的功能，在城市轨道交通线路的规划设计中，需布置曲线轨道以适应地形、地物、地质等条件的约束，最大限度地满足城市既有布局对线路平面的布置要求[1-3]。然而列车通过曲线轨道时产生的振动问题却不容忽视，以北京地铁为例，曲线轨道钢轨处出现了大量异常波磨，影响车辆运行甚至危及行车安全[4-5]。由于曲线欠、过超高引起的横向荷载会产生较强的钢轨横向振动以及钢轨扭转振动，导致轨距增大，影响轮轨动态接触几何关系[6]。因钢轨扭转导致扣件系统承受较大的抗拔力，使得扣件被拔出或者断裂，危及行车安全[7]。
针对钢轨扭转振动的研究，魏先祥等[8]采用差分法获得了中国干线钢轨的扭转变形参数。张永兴等[9]通过建立钢轨扭转模型，分析了钢轨扭转变形以及由扭转变形引起的钢轨水平位移，并指出在分析计算钢轨水平位移时，必须考虑扭转变形。张宏海等[10]通过建立车轮、钢轨、扣件有限元模型，得到了钢轨扭转变形的变化规律。以上均是针对直线轨道的钢轨扭转振动进行研究，而对于曲线轨道来说，其扭转振动与弯曲振动是互相耦合的。针对曲线轨道扭转振动的研究，Kostovasilis等[11]通过建立曲线轨道有限元模型，研究了曲梁单元和直梁单元在计算曲线轨道动力响应上的差异；Dai Jian和Ang Kok Keng[12-13]采用三角函数法拟合曲线梁的振动，得到了连续支承曲线Euler-Bernoulli梁稳态动力响应；以上研究忽略了离散支承对钢轨扭转振动的影响。王开云、翟婉明等[14]将钢轨视为连续弹性离散点支承基础上的Euler-Bernoulli梁，采用Ritz法得到了钢轨扭转的二阶常微分方程组，运用车辆-轨道耦合动力学模型，研究了扭转变形对轮轨动态相互作用的影响，但研究中采用直线梁建立钢轨扭转振动平衡方程，忽略了曲率对扭转振动平衡方程的影响。
为此，本文将利用轨道结构周期性支承条件，在一个基本元之内对钢轨动力响应问题开展研究。不同于以往曲线车-轨动态耦合模型的研究，其中超高、轨底坡等对轨道所承受的轮轨力具有显著影响[15]，本文主要研究固定谐振荷载作用下曲线轨道的扭转振动频率响应特性，轨道所受荷载为固定谐振荷载，不受超高、轨底坡等因素的影响。故可忽略超高、轨底坡等因素，将曲线轨道钢轨简化为周期性离散支承的平面曲线梁进行研究。
1曲线轨道钢轨扭转振动响应求解
1.1圆弧曲梁自由振动微分方程在分析曲线轨道钢轨的动力响应特性时，可采用曲线Euler-Bernoulli梁模拟曲线钢轨。在推导曲线梁振动微分方程时，假定曲线梁为等截面的匀质梁且曲率半径为常数，横截面具有竖直的对称轴；曲线梁形心与剪切中心重合；曲率半径远大于横截面、梁长的尺寸。曲线梁坐标系按照右手螺旋法则规定，如图1所示。
2曲线轨道钢轨扭转振动频率响应函数分析
2.1轨道模型及钢轨扭转振动频响函数计算
为求得曲线轨道钢轨扭转振动频率响应函数，以北京地铁普通整体道床轨道为例研究曲线轨道钢轨动力响应特性，轨道采用DTVI2扣件，钢轨及DTVI2扣件参数如表1所示。
曲線轨道模型如图6所示，对于轨道系统来说，扣件的离散支承引起了轨道结构刚度的周期性变化，其中扣件支承点处刚度最大，相邻扣件支点跨中处刚度最小。为研究离散支承曲线轨道钢轨扭转振动频响特性，本文分别计算了不同位置处的扭转振动频响函数。其中激振点与拾振点布置如图6所示，d表示距扣件支点处的距离，计算中激振点与拾振点选取了d=0，L/2，L/3，L/4，L/8，分别对应求解支点处、跨中处、1/3跨处、1/4跨处、1/8跨处的扭转振动频响函数。为了对比离散支承与连续支承的区别，本文同时计算了连续支承曲线轨道钢轨扭转振动频率响应函数，结果如图7所示。
由图7可知：
（1）离散支承钢轨各点处以及连续支承钢轨-支承扭转共振频率为160 Hz，约等于单位长度钢轨与扣件支点构成的单自由度质量-支承扭转自振频率：4kφρI0L-c2φ/（4πρI0L）（165 Hz）；在该自振频率点，离散支承钢轨在跨中处、1/3跨处、1/4跨处、1/8跨处、支点处扭转振动响应幅值逐渐变小，跨中处取得最大值、支点处取得最小值，连续支承钢轨响应幅值介于跨中处和支点处之间，离散支承和连续支承钢轨响应相位基本相同，钢轨扭转振动响应与荷载同步性较强，钢轨绕支点产生整体扭转振动且以刚体转动为主，如图8（a）所示；
（2）由离散支承钢轨各点处与连续支承钢轨幅频、相频响应函数对比分析可知，离散支承引起了高频段的钢轨扭转共振；
（3）根据离散点支承钢轨扭转共振频率计算公式[30]fn=n2LGIdρI0，可知1阶、2阶、3阶钢轨扭转共振频率分别为637，1274，1911 Hz。由图7可知1阶、2阶、3阶钢轨扭转共振频率分别为635，1280，1914 Hz，与公式求解结果基本一致，验证了本文计算结果的正确性；
（4）离散支承曲线轨道1阶、2阶、3阶钢轨扭转共振以钢轨扭转变形振动为主，振动波幅值分布分别对应于图8（b）中1阶、2阶、3阶钢轨扭转共振；对于1阶钢轨扭转共振，其振动波半波长等于扣件支点间距，跨中处（d=L/2）响应幅值最大，支点处（d=0）响应幅值最小，d=L/3，L/4，L/8时响应幅值介于2者之间且依次减小；对于2阶钢轨扭转共振，其振动波波长等于扣件支点间距，d=L/4时响应幅值最大，支点处（d=0）、跨中处（d=L/2）响应幅值最小，d=L/3，L/8时响应幅值介于二者之间且依次减小；对于3阶钢轨扭转共振，扣件支点间距等于1.5倍的振动波波长，跨中处（d=L/2）响应幅值最大，支点处（d=0）、d=L/3处最小，d=L/4，L/8时响应幅值介于二者之间且依次减小；
（5）离散支承钢轨各点处相频函数在钢轨扭转共振频率附近频段发生显著变化；连续支承钢轨扭转振动相频函数较为平滑，随着频率的增高，相位差趋于稳定。
由以上分析可知，离散支承使得钢轨产生了高频扭转共振，接下来将针对离散支承轨道结构支承参数以及曲线半径等因素对扭转振动特性的影响进行分析研究。由于支点处及跨中处幅频、相频响应函数能够反应钢轨扭转共振各阶响应特点，因此下文只分析支点处和跨中处的响应。
2.2扣件支点扭转刚度及阻尼系数对频响函数的影响
为了研究支点扭转刚度对扭转振动频响函数的影响，本文分别计算了支点扭转刚度为56.25，112.5，337.5及450 kN·m/rad时支点处和跨中处的频响函数。为研究支点扭转阻尼系数对频响函数的影响，分别计算了扭转阻尼系数为40，160及280 N·m·s/rad时支点处和跨中处的频响函数。其余参数如表1所示。
图9给出了不同支点扭转刚度时跨中处及支点处的扭转振动幅频、相频响应函数。图10给出了不同扭转阻尼系数时跨中、支点处的钢轨扭转振动幅频、相频响应函数。
觀察图9可知：
（1）由计算公式求得不同支承刚度时单位长度钢轨与扣件支点构成的单自由度质量-扭转支承自振频率分别为53，105，209，245 Hz，与图9中本文求解结果吻合良好；钢轨-支承扭转自振频率受支点扭转刚度变化影响较大，支点扭转刚度的增加会提高钢轨-支承扭转自振频率，降低钢轨-支承扭转自振频率点处的响应幅值；
（2）扣件支点扭转刚度变化对钢轨扭转共振频率没有影响；
（3）随着支点扭转刚度的增加，钢轨振动响应与荷载相位差减少，振动响应同步性增强，但对钢轨扭转共振频率没有影响。
观察图10可知：
（1）根据计算公式求得不同支承阻尼系数所对应的单位长度钢轨与扣件支点构成的单自由度质量-扭转支承自振频率分别为180，165，128 Hz，与图10中本文求解结果吻合良好；钢轨-支承扭转自振频率受支承阻尼系数变化影响较小，增加阻尼系数时，钢轨-支承扭转自振频率略有减少，频响函数在钢轨-支承扭转自振频率点附近处的响应幅值有所降低；
（2）扣件支点扭转阻尼系数对钢轨扭转共振频率没有影响；随着阻尼系数的增加，跨中处响应幅值在扭转共振频率点处增加，支点处响应幅值在扭转共振频率点处降低；
（3）阻尼系数对扭转振动相位具有明显影响，在小于钢轨-支承扭转自振频率频段，随着支点扭转阻尼系数的增加，相位差逐渐增大，振动同步性降低；当荷载频率处于钢轨-支承扭转自振频率及钢轨扭转振动1阶共振频率之间时，相位差随着阻尼系数的增大而减小，振动同步性增强。
2.3扣件间距及曲线半径对频响函数的影响分析
为了研究曲线钢轨半径及扣件支点间距对扭转振动频响函数的影响，本文分别计算了曲线半径为150，300，500及1000 m时支点处和跨中处的频响函数。为了研究扣件支点间距对钢轨扭转振动频响函数的影响，本文分别计算了支点间距为0.5，0.6，0.7 m时支点处和跨中处的频响函数。其余参数如表1所示。
图11给出了不同曲线半径作用下跨中处及支点处的钢轨扭转振动幅频、相频响应函数。
由图11可知：
（1）钢轨-支承扭转自振频率几乎不受半径影响，半径的增加对钢轨-支承扭转自振频率没有影响；曲线钢轨扭转振动共振频率几乎不受半径影响，半径的增加对扭转振动共振频率没有影响；
（2）半径变化对于曲线钢轨扭转相位响应没有影响；
（3）地铁轨道一般地段正线最小曲线半径为300 m，随着曲线半径的增加，钢轨扭转振动频响函数基本一致，半径对曲线轨道扭转频响函数几乎没有影响。
图12所示为曲线半径为300 m时，不同扣件支点间距时跨中处及支点处的钢轨扭转振动幅频、相频响应函数。
观察图12可知：
（1）根据计算公式求得支点间距为0.5，0.6及0.7 m时所对应的单位长度钢轨与扣件支点构成的单自由度质量-扭转支承自振频率分别为177，165和155 Hz，与本文求解计算结果吻合良好；扣件支点间距对曲线轨道钢轨-支承扭转自振频率变化影响较大，支点间距减小时钢轨-支承扭转自振频率提高，钢轨-支承扭转自振频率处响应幅值降低；
（2）根据计算公式求得支点间距为0.5，0.6及0.7 m时所对应的1阶钢轨扭转共振频率分别为764，637和546 Hz，与程序求解计算结果吻合良好，支点间距减小时，1阶钢轨扭转共振频率增大；
（3）扣件间距对钢轨振动相位具有显著的影响，频率小于1阶钢轨扭转共振频率时，随着扣件间距的增加，扭转振动与荷载之间的相位差增大，振动与荷载的同步性降低；
（4）扣件支点间距对曲线钢轨1阶扭转共振响应具有显著的影响，跨中处1阶钢轨扭转共振响应幅值随支点间距的增加而变大。
3结论
（1）曲线轨道钢轨-支承扭转自振频率受支点扭转刚度、扭转阻尼系数、支点间距变化影响较大；支点扭转刚度增加时钢轨-支承扭转自振频率提高，响应幅值降低；扭转阻尼系数增加时钢轨-支承扭转自振频率略有减少，频响函数在钢轨-支承扭转自振频率附近的响应幅值降低；支点间距减小时钢轨-支承扭转自振频率提高，响应幅值降低；
（2）钢轨支点及跨中处在钢轨-支承扭转自振频率处相位信息相同，钢轨扭转振动共振频率处二者相位差为90°；增加支点扭转刚度、减小支点间距时，钢轨振动响应与荷载相位差减少，振动响应同步性增强；激振频率小于钢轨-支承扭转自振频率时，相位差随着扭转支承阻尼系数的增加而增大，振动同步性降低；激振频率大于钢轨-支承扭转自振频率时，相位差随着阻尼系数增大而减小，振动同步性增强；
（3）离散支承钢轨1阶、2阶、3阶扭转共振波波长为2倍扣件间距、扣件间距、2/3扣件间距；离散支承引起了高频段的钢轨扭转共振及反共振；扣件支点扭转刚度对钢轨扭转振动共振频率没有影响；增大支点扭转阻尼系数时跨中处1阶扭转振动共振峰幅值增加；支点间距对钢轨1阶扭转振动共振特性具有显著的影响，跨中处1阶扭转振动共振峰幅值随支点间距的增加而变大；支点间距减小时，1阶扭转振动共振频率增大；
（4）地铁轨道一般地段正线最小曲线半径为300 m，随着半径的增加，轨道扭转振动频率响应函数基本一致，半径对曲线轨道扭转振动频响函数几乎没有影响。
参考文献：
[1]顾保南，姜晓明，程曜彦，等.论城市轨道交通最小曲线半径标准的选择[J].同济大学学报（自然科学版）， 2003，31（4）：428—431.
GU Baonan， JIANG Xiaoming， CHENG Yaoyan， et.al. Study on radius standard of urban rail transit in China [J]. Journal of Tongji University （Natural Science）， 2003，31（4）： 428—431.
[2]袁揚，刘维宁，刘卫丰.基于现场测试的曲线段地铁地面振动传播规律[J]. 中国铁道科学， 2012，33（4）：133—138.
YUAN Yang， LIU Weining， LIU Weifeng. Propagation law of ground vibration in the curve section of metro based on in-situ measurement [J]. China Railway Science， 2012，33（4）： 133—138.
[3]柴小艳. 城市轨道交通小半径曲线设计探讨[J]. 城市轨道交通研究， 2016，19（9）：52—55.
CHAI Xiaoyan. On small radius curve design for urban rail transit[J] Urban Mass Transit， 2016， 19（9）：52—55.
[4]ZHANG Hougui， LIU Weining， LIU Weifeng， et al. Study on the cause and treatment of rail corrugation for Beijing Metro[J]. Wear， 2014，317（1）：120—128.
[5]ZHANG Hougui， LIU Weining， LI Kefei， et al. Analytical solution for dynamic response of curved rail subjected to moving train[J]. Journal of Vibroengineering， 2014，16 （4）：1392—8716.
[6]钱小益. 铁路钢轨扭转问题的研究[J]. 上海铁道科技， 2014，（02）：120—121.
QIAN Xiaoyi. Research on rail torsion of railway[J]. Shanghai Railway Technology， 2014，（02）：120—121.
[7]Nair S， Garg V， Lai Y. Dynamic stability of a curved rail under a moving load[J]. Applied Mathematical Modelling， 1985， 9（3）： 220—224.
[8]魏先祥，张淑荣.钢轨的扭转特性[J].铁道建筑， 1994，（2）： 2—5.
Wei Xianxiang， ZHANG Shurong.Characteristic of rail torsion[J].Railway Engineering，1994，（2）：2—5.
[9]张永兴， 练松良. 钢轨扭转时的水平位移分析[J]. 上海铁道大学学报， 1997，（03）：22—27.
ZHANG Yongxing， LIAN Songliang. Analysis of lateral displacement of rail while considering the twist of tail [J].Journal of Shanghai Tiedao University， 1997，（03）： 22—27.
[10]张宏海.钢轨横移及扭转变形研究[D].成都：西南交通大学， 2009.
Zhang Honghai. Research on horizontal deformation and reverse deformation of rail [D].Chengdu： Southwest Jiaotong University， 2009.
[11]Kostovasilis D， Koroma S G， Hussein M F M， et al. A Comparison between the use of straight and curved beam elements for modelling curved railway tracks[C]. 11th International Conference on Vibration Problems， Lisbon， Portugal， 2013：1—10.
[12]Ang Kok Keng， Dai Jian. Response analysis of a curved rail subject to a moving load[C]. 11th International Conference on Vibration Problem， Lisbon，Portugal，2013.
[13]Dai J， Ang K K. Steady-state response of a curved beam on a viscously damped foundation subjected to a sequence of moving loads [J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part F： Journal of Rail and Rapid Transit， 2015，229 （4）：375—394.
[14]王開云，翟婉明，蔡成标.钢轨扭转运动对轮轨动态相互作用的影响[J].中国铁道科学， 2008，29 （03）： 68—72.
WANG Kaiyun， ZHAI Wanming， CAI Cheng-biao. Effect of rail torsional motions on wheel-rail dynamic interaction [J]. China Railway Science， 2008， 29（03）： 68—72.
[15]朱颖， 易思蓉. 高速铁路曲线参数动力学分析理论与方法[M]. 北京： 中国铁道出版社， 2011.
Zhu Ying， Yi Sirong. Theory and Method of Dynamic Analysis on Curved Line Parameters of High Speed Railway [M]. Beijing： China Railway Publishing House， 2011.
[16]VLASOV V Z. Thin-wall Elastic Beams[M]. Washington D C： National Science Foundation， 1961.
[17]汉斯 C P. 结构杆件的弯曲与扭转[M]. 常岭，吴绍本，译. 北京： 人民交通出版社， 1981.
Heins C P. Bending and Torsion of Structural Members [M]. Beijing： China Communications Press， 1981.
[18]姚玲森. 曲线梁[M]. 北京： 人民交通出版社， 1989.
Yao Lingsen. Curved Beam [M]. Beijing： China Communications Press， 1989.
[19]孙广华.曲线梁桥计算[M].北京：人民交通出版社，1995.
Sun Guanghua. Calculation of Curved Bridges [M]. Beijing： China Communications Press，1995.
[20]李惠生， 张罗溪. 曲线梁桥结构分析[M]. 北京： 中国铁道出版社， 1992.
Li Huisheng， Zhang Luoxi. Structure Analysis of Curved Bridges [M]. Beijing：China Railway Publishing House， 1992.
[21]YANG Y B， WU C M， YAU J D. Dynamic response of a horizontally curved beam subjected to vertical and horizontal moving loads [J]. Journal of Sound and Vibration， 2001，242 （3）：519—537.
[22]Dai Jian. Analysis of High-speed Rail （HSR） System [D]. National University of Singapore， 2014.
[23]翟婉明. 车辆-轨道耦合动力学[M]. 第4版，北京： 科学出版社， 2015.
Zhai Wanming. Dynamic of Coupled Vehicle and Track [M]. Beijing： Science Press， 2015.
[24]Martínez-Casas José， Di Gialleonardo Egidio， Bruni Stefano， et al. A comprehensive model of the railway wheelset–track interaction in curves[J]. Journal of Sound and Vibration， 2014，333（18）：4152—4169.
[25]马龙祥， 刘维宁， 刘卫丰. 移动荷载作用下周期支承轨道结构振动研究[J]. 中国铁道科学， 2013，34（01）：1—7.
MA Longxiang， LIU Weining， LIU Weifeng. Study on vibration of periodic supported track structure under moving loads [J].China Railway Science， 2013，34 （01）： 1—7.
[26]Belotserkovskiy P M. Forced oscillations of infinite periodic structures. applications to railway track Dynamics [J]. Vehicle System Dynamics， 1998， 29 （S1）：85—103.
[27]馬龙祥， 刘维宁， 李克飞. 移动荷载作用下浮置板轨道振动响应的频域快速数值算法[J]. 铁道学报， 2014，（02）：86—94.
MA Longxiang， LIU Weining， LI Kefei. Fast numerical algorithm of floating slab track vibration response under moving loads in the frequency domain [J]. Journal of the China Railway Society， 2014，（02）： 86—94.
[28]刘维宁， 马龙祥， 姜博龙， 等. 浮置板轨道动力响应分析的广义波数法[J]. 中国铁道科学， 2016，37（01）：31—38.
LIU Weining， MA Longxiang， JIANG Bolong， et al. Generalized wavenumber method for dynamic response analysis of floating slab track[J]. China Railway Science， 2016， 37（01）：31—38.
[29]马龙祥.基于无限-周期结构理论的车轨耦合及隧道-地层振动响应分析模型研究[D]. 北京：北京交通大学， 2015.
Ma Longxiang. Study on the model of coupled vehicle & track and the prediction model for tunnel-ground vibration response based on the periodic-infinite structure theory [D]. Beijing：Beijing Jiaotong University， 2014.
[30]刘延柱，陈文良，陈立群.振动力学[M].北京：高等教育出版社， 2000.
Liu Yanzhu， Chen Wenliang， Chen Liqun. Vibration Mechanics [M]. Beijing： Higher Education Press， 2000.
Abstract： Modelling dynamic behavior of curved railway track subjected to fixed harmonic loads is important to understand its dynamic properties. In this paper， the discretely supported curved Euler-Bernoulli beam is used to simulate the curved track. Dynamic response of the curved track can be solved within one basic cell based on property of periodical structure in the frequency domain. The fixed harmonic loads are viewed as moving harmonic loads with zero velocity. By introduction of mathematic modes and generalized wave numbers of the track under moving harmonic loads， the torsional dynamic response of the curved track in the frequency domain is obtained in series form. Using the mode superposition method， the torsional dynamic responses of curved track with different excitation frequencies are achieved. Furthermore， the effects of torsional support stiffness， torsional support damping coefficient， the fastener support spacing and the curve radius on the frequency response function of torsional vibration are analyzed.
Key words： curved track； coupling of bending and torsion； periodical structure； modes superposition method in frequency domain； frequency response function
